一类带有组合非线性项Kirchhoff方程解的多重性

孙歆, 段誉, 邓慧琳

(贵州工程应用技术学院理学院, 贵州 毕节 551700)

1.引言

近年来如下Kirchhoff型方程

解的存在性和多解性引起众多学者的兴趣, 众多关于非线性项g在无穷远处的可解性条件被陆续给出, 如超线性条件[1-9]; 渐进线性条件[10-14]; 次线性条件[15-17].据了解, 当非线性项g是由线性有界项和次线性项组成的混合非线性项时上述问题的三个非平凡解的存在性研究暂时还没有结果.本文的主要目的是考虑如下带有组合非线性项的Kirchhoff型方程

其中λ ＞0是一个参数,N ≥3, 1＜s ＜2.当非线性项f在满足比渐进线性条件更弱的线性有界条件下, 利用变分法给出了问题(1.1)解的多解性结果, 并讨论了次线性非线性项对问题(1.1)解的多重性的具体影响.针对V,K,f, 本文做如下假设:

若问题(1.1)无次线性项K(x)|u|s-2u, 本文第一个结果如下:

注1.2虽然文[13-14]也考虑了Kirchhoff型方程(1.1)三个非平凡解的存在性问题, 但是本文在非线性项满足更弱的条件下获得了同样的结论并且还研究了一列负能量解的多重性问题.因此, 本文的结论可看作是上述已有文献的相关结果的推广和补充.

注1.3定理1.2和定理1.3给出了凹项非线性项K(x)|u|s-2u对问题(1.1)解的多重性的具体影响.

2.预备知识

显然在条件(V)下, 对任意的2≤p ≤2*, 嵌入映射(R3)是连续的, 故存在Sp ＞0,使得

‖u‖p ≤Sp‖u‖ ∀u ∈H.

问题(1.1)所对应的能量泛函定义如下：

引理2.1[18]假设X是一个Banach空间,I ∈C1(X,R)是偶泛函、下方有界且满足(PS)条件,I(0)=0.若对任意的k ∈N, 存在有限维子空间Xk及ρk ＞0使得

其中Sρ={u ∈X:‖u‖=ρ}, 则I有一列临界值ck ＜0且满足ck →0,k →∞.

3.主要结果的证明

为了证明定理1.1-1.3, 下面给出几个引理.

引理3.1假设(V), (K1)及(F3)(或(V)及(F3))成立, 则Jλ(u)(或Iλ(u))在H中是下方有界的.

证由(F3)知, 对任意的(x,t)∈RN ×R

由条件(3.1)及Sobolev不等式知, 对任意的u ∈H

因此结合条件(K1)知

这意味着：在空间H中, 泛函Jλ(u)是强制的.故在空间H中,Jλ是下方有界的.显然,Iλ(u))在H中也是下方有界的.

引理3.2假设(V), (F1)及(F3)-(F4)成立, 则泛函Iλ(u)满足如下山路结构：

(i) 存在α ＞0,ρ ＞0使得0;

(ii) 存在λ* ＞0及e ∈H满足‖e‖＞ρ使得对任意的λ ∈(0,λ*),Iλ(e)＜0.

证(i) 由(F1)知, 对充分小的ε ＞0, 存在δ=δ(ε)＞0使得对任意的|t|≤δ,x ∈RN,

故结合Fatou引理知

及

其中C1＞0是某个与R无关的常数.类似于文[19]中引理3.4的证明知, 对任意的ε ＞0, 存在n(ε)＞0,R1(ε)＞R0使得当n ≥n(ε),R ≥R1(ε)时分别有

故根据条件(3.7) 得

由(3.13)知,

由于

即

〈un,un-u〉→0, n →∞.

易知〈u,un-u〉→0, n →∞.故〈un-u,un-u〉→0, n →∞.即un →u.

引理3.5假设(V)及(F1)-(F3)成立, 则泛函Iλ(u)满足(PS)条件.

证同引理3.4的证明过程, 略去证明.

定理1.1的证明下面分三步证明此定理.

1) 证明问题(1.1)存在一个具有正能量的山路解.由引理3.2知,Iλ具有山路结构; 再由引理3.5知,Iλ满足(PS)条件.故由山路定理(见文[20]中的定理2.2) 知, 问题(1.1)存在一个非平凡解u ∈H且Iλ(u)＞0.

2) 证明问题(1.1)存在一个具有负能量的全局极小解.由引理3.1知, 在空间H中,Iλ是下方有界的, 故可定义其下确界如下:cλ:=Iλ; 由引理3.2知,cλ ＜0; 再由引理3.5知,Iλ满足(PS)条件.故由文[20]中的定理2.7知,cλ是泛函Iλ的一个临界值.即, 存在v ∈H满足Iλ(v)=cλ ＜0使得v是泛函Iλ的一个非零临界点.因此, 问题(1.1)存在一个负能量的全局极小解.

3) 证明当参数λ充分大时, 问题(1.1)无非平凡解.由于此证明过程类似于文[12]中定理1的相关结论的证明, 故在此略去证明过程.

定理1.2的证明下面分四步证明此定理.

1) 证明问题(1.1)存在一个具有正能量的山路解.由引理3.3知,Jλ具有山路结构; 再由引理3.4知,Jλ满足(PS)条件.故由山路定理(见文[20]中的定理2.2)知, 问题(1.1)存在一个非平凡解u1∈H且Jλ(u1)＞0.

2) 证明问题(1.1)存在一个具有负能量的全局极小解.由引理3.1知, 在空间H中,Jλ是下方有界的, 故可定义其下确界如下:dλ:=Jλ; 由引理3.3知,dλ ＜0; 再由引理3.4知,Jλ满足(PS)条件.故由文[20]中的定理2.7知,dλ是泛函Jλ的一个临界值.即, 存在u2∈H满足Jλ(u2)=dλ ＜0使得u2是泛函Jλ的一个非零临界点.因此, 问题(1.1)存在一个负能量的全局极小解.

因此

定理1.3的证明由(F5)知,Jλ是偶泛函.由引理3.1知, 在空间H中,Jλ是下方有界的, 再由引理3.4知,Jλ满足(PS)条件.由引理2.1知, 下面只需证明存在有限维子空间Xk及ρk ＞0使得