浅析圆的标准方程的分层教学设计

郑昱

[摘           要]  基于中职数学新课标的提出以及课程思政的大背景，五年专学生的数学课程不仅要授业，更要传道。聚焦职教特色的数学核心素养，融入彰显职教特色的课程思政元素，将立德树人的根本任务落实到每堂数学课中，发展具有职教特色的素质教育功能。以五年专教材第三册第七章第四课“圆的标准方程”为载体，合理利用教学资源，引导学生初步学会“用数学眼光观察世界、用数学思维分析世界、用数学语言表达世界”。通过创设合理的问题情境，以知识为主线，设置不同难度的题型，层层推进教学，培养学生数形结合的数学能力，以达到教学目标。

[关    键   词]  圆的标准方程;分层教学设计;数学核心素养

[中图分类号]  G712                   [文献标志码]  A                 [文章编号]  2096-0603（2022）02-0073-03

一、追憶解析几何的浪漫历史

17世纪，“我思故我在”的笛卡尔的几何学推动了用坐标法研究平面几何的热潮，其中关于圆锥曲线的定义方式和方程的推导真是精彩纷呈。大家耳熟能详的莫过于“笛卡尔坐标系”的平面直角坐标系以及在此基础上建立的平面解析几何。笛卡尔将几何坐标体系公式化，因而被称作是解析几何之父。

传说，笛卡尔被瑞典王室聘请到皇宫做公主的家庭教师，讲授数学和哲学。笛卡尔向公主介绍了他研究的新领域——直角坐标系，通过它，代数与几何可以结合起来，也就是日后笛卡尔创立的解析几何的雏形。

在笛卡尔的带领下，公主进入了奇妙的坐标世界，对曲线着了迷，他们每天朝夕相处，深度交流，一段美好的爱情在瑞典这个浪漫的国度悄然萌发。国王知道后，勃然大怒，笛卡尔被流放到了法国。笛卡尔在给公主寄出第13封信后，黯然离世。最后一封信上只有一个方程P=a（1-sinθ），聪慧的公主看了一眼就明白了笛卡尔的纸短情长，着手把方程的图形画出来，一个心形图案出现在眼前，这条曲线就是著名的“心形线”。

以上这种探究的方法激发了后人更多的思考和研究，在笛卡尔之前，几何学在数学中一直占据最优地位。解析几何使代数和几何在更高层次上进行一次新的融合，获得了比代数更广的意义和更高的地位。

正如恩格斯对笛卡尔的评价：“数学中的转折点是笛卡尔的变数，有了变数，运动进入了数学;有了变数，辩证法进入了数学。”

圆的标准方程是在学习了直线方程的基础上，对曲线和方程的进一步探究，用笛卡尔数形结合的数学思想，在了解圆的几何意义即到定点的距离等于定长的动点的轨迹基础上，用平面直角坐标系把圆与圆的标准方程对应起来。利用代数给几何带来最自然的分类原则和最自然的方法层次，从几何研究转移到代数研究。

二、提出问题与解答问题

我们的生活中有很多物体需要应用到圆，圆有其特性，需要我们去观察和发现，加强对圆形的感性认知。例如，汽车的轮毂就不能是方形的，也不能是轮轴不对称的圆形，只有轮轴是中心对称的圆形轮毂才能让汽车平稳地跑起来。

逻辑推理作为核心素养中很重要的一个要素，可以有效训练学生的数学推理、解题能力。为了循序渐进地训练学生的数学思维能力，教师要根据学生的实际认知能力通过有条理的引导，让学生学会简单的逻辑推理。教师在教学“圆的标准方程”知识时，创设具有专业特色的问题情境，引发学生积极思考，对圆的认知从感性过渡到理性，教师通过演示推导圆的标准方程，提高学生的逻辑推理能力、数形结合的思维能力。设计教学过程，抽丝剥茧，层层递进，使学生在教师的有效引导下，在自己动脑思考、动手演练的过程中逐渐形成一定的逻辑推理能力和数形结合的数学技能，让逻辑推理这一重要的核心素养在课堂教学中落到实处，并得以达成。

（一）结合专业特点，创设预习情境

结合不同专业的学科特点，合理创设问题情境，可以在课前准备阶段激发学生的学习热情，在做中学，在做中回顾旧知，比如数字媒体高职专业可以让学生在课前制作以圆为元素的手抄报，鼓励学生博览群书，自主查阅数学史的相关资料，运用教育机智，融入思政元素。让学生利用自己擅长制作视频的专业技能，拍摄生活中圆的照片，结合课本上扫描预习的圆的标准方程的形成过程，加入大家喜闻乐见的元素，制作生动有趣的教学预习视频。通过结合专业特色的预习方式，发现自己在知识上的盲点，积极思考，拓展思路，提升思维品质的同时，体验数学的生活美。

（二）推演方程，解决系列问题

1.问题引入 初识概念

圆的几何意义：平面内到定点的距离等于定长的动点的轨迹叫作圆，定点叫作圆心，定长叫作半径。

在讲解这个概念时，教师可以提问学生手抄报中的圆大家是怎么画的？大家可以自己动手画圆吗？引发学生思考的同时，教师可以用教具圆规，在黑板上画圆，教师不能自己画圆，应该以一边发问一边描述如何用尺规做圆的形式，在黑板上画出圆。教师将圆规的其中一个脚放在固定点C，另一个脚张开一定的角度，紧贴黑板转动圆规一周，这时候形成的图形会是什么？由学生回答形成的图形是圆。然后再由教师给出圆的几何意义即平面内到定点的距离等于定长的动点的轨迹叫作圆，定点叫作圆心，定长叫作半径。

这样的提问引发思考的导入方式有利于引发学生自主思考，不仅复习巩固了初中学过的圆的几何意义，还为下一步建立直角坐标系推导圆的标准方程做准备。符合学生从感性认知到理性认知的思维过程，学生在教师尺规作图的引导下，感受圆的形成过程，认识圆，一步步培养学生直观想象的核心素养。

在推导圆的标准方程的过程中可以运用知识迁移，利用学过的两点间的距离公式教师板书，师生共同推导圆的标准方程。设圆心坐标为C（a，b），半径为r，点M（x，y）为圆上的任意一点，|MC|=r，学过的两点间的距离公式是什么？由学生回答，运用学过的两点间距离公式，得=r，将上式两边平方，得（x-a）2+（y-b）2=r2。方程叫作以点C（a，b）为圆心，r为半径的圆的标准方程。强调圆的标准方程是用来确定圆的位置和大小的，其中圆心确定位置，半径确定大小，培养学生从直观想象到抽象出方程的核心素养。

当圆心坐标为原点O（0，0）时，半径为r的圆的标准方程是什么？引发学生思考，教师板书，应用学过的代入法，把原点O（0，0）的坐标代入圆的标准方程（x-a）2+（y-b）2=r2，此时，圆的标准方程为x2+y2=r2。

通过引导学生观察直角坐标系中的圆，锻炼学生数形结合的技能，利用学过的数学公式推导圆的标准方程，层层推入，加深学生对所学数学公式的运用和联想，一步步培养学生有条理地观察问题，进行推理的逻辑思维能力。

在记法上，教师帮助学生分析圆的标准方程的结构特征，可以运用口诀识别和记忆圆的标准方程，“两个减号，两个平方的和等于平方”。强调两个小括号里面是减号，圆心坐标a，b的值可以是正数、零或者负数。

圆的标准方程推导过程的讲解与记忆方程不仅能锻炼学生的数学思维，层层推入，同时还培养了学生细致观察问题的能力，进一步培养学生用代数的思想解决几何问题的思维习惯。

2.基础问题 层层探索

问题1：已知圆的圆心和半径，如何求圆的标准方程？

首先，教师给出一道例题：求以点C（-2，0）为圆心，r=3为半径的圆的标准方程。教师通过提问的方式，学生口答，教师板书写出圆的标准方程（x+2）2+y2=9。接着教师趁热打铁，提出让学生到黑板上写出圆的标准方程，根据下列条件，求出圆的标准方程。练习1.圆心C（-1，2），半径r=2;练习2.圆心C（0，3），半径r=1。根据以往的教学经验，在解题的过程中，练习1，有一小部分学生可能会把圆的标准方程写成（x-1）2+（y-2）2=4，教师可以针对这个问题，给出两个方程（x-1）2+（y-2）2=4与（x+1）2+（y-2）2=4让学生选出正确的方程，这种对比答案的方式有助于学生发现自己的易错点，帮助学生养成细心、认真的学习习惯。

问题2：已知圆的标准方程，能否写出圆心坐标和半径？

首先，教师先给出一道例题：根据圆的标准方程（x-2）2+（y+1）2=5写出圆心和半径。学生基本都具备通过观察圆的标准方程写出圆心和半径的能力，学生写出的圆心坐标和半径有以下几种：圆心（2，1），圆心（2，-1），半径，半径5。我们会发现学生的易错点在于没有认真观察识记圆的标准方程的结构，（x-a）2+（y-b）2=r2。小括号里面是两个减号，等号右边是半径的平方不是半径。

显然学生对圆的标准方程的结构观察还不够细致，这时候教师如果换一种讲解方式，直接给出以上几种结论，提问引发学生通过对比进行思考，学生的印象会更深刻，也更容易记住正确结构。这时候可以要求学生认真观察，勤于思考，在做题时训练学生养成严谨、认真的习惯。

通过以上两个问题，学生初步理解了圆心坐标和圆的半径与圆的标准方程的对应关系。

问题3：通过两道例题的讲解，同学们是否可以小试牛刀，检验一下自己对这堂课重点内容的掌握程度？

根据上课学生反映的情况，基本上所有学生都能比較好地掌握教师之前讲授的两种类型的例题，即已知圆心和半径可求圆的标准方程，已知圆的标准方程也可以准确写出圆心和半径。基于以上学情分析，教师可以将学生分成四组，进行抢答，对题目的设置可以充分考虑到圆心落在平面直角坐标系四个象限内以及落在坐标轴上的情况，适当增强题目的复杂性。教师提出根据下列圆的标准方程，找出圆心和半径，（x+1）2+（x+3）2=4，（x-3）2+（y+4）2=16，（x-1）2+y2=3。

学生通过小组合作、组间竞赛，培养了合作精神，收获了学习成就感。

问题4：能否通过观察几何画板中平面直角坐标系内的圆，写出圆的标准方程？

数形结合的能力是解析几何中很基础的数学能力，学生画图少，从直观想象中抽象出方程的能力相对薄弱，在学生已经对圆的标准方程的结构烂熟于心的基础上，教师利用多媒体手段，让学生观察几何画板中平面直角坐标系内的圆，写出圆的标准方程，初步培养学生的观察能力以及数形结合能力，教师可以通过发问的方式引发学生思考，圆的标准方程用来确定圆的哪两个条件？部分学生会回顾起问题1中提过的位置和大小，这时候教师继续发问，圆心在第几象限？通过观察半径是几个单位长度？大部分学生都能说出圆心在第三象限，教师继续问那圆的标准方程中小括号内这时候是加号还是减号？大部分学生回答负负得正，是加号，最后大家一起写出圆的标准方程（x+4）2+（y+2）2=9，教师通过层层设问，引导学生共同探索，避开易错点，通过数形结合的思维方式写出正确的圆的标准方程，进一步理解了圆和圆心坐标和圆的标准方程之间的对应关系。

问题5：给出四个点，同学们能否通过正确的计算方法判断出哪个点在圆上？

教师提出问题：下列哪个点是圆上（x-1）2+（y+2）2=5的点？A（0，4），B（-1，2），C（1，-2），D（0，0），在学生解题时，发现部分学生容易把这些点看成是圆心坐标，因此，针对这个问题教师可以引导学生回顾满足直线方程的点的判断，大部分学生可以想到用代入法，教师将点A的坐标代入圆的标准方程的左边发现不等于5，于是学生判断该点不在圆上，接着，教师引导学生自己动手练习在作业纸上，将另外三个点的坐标代入圆的标准方程的左边，判断哪个值等于5，大部分学生已经比较熟练掌握代入法，这个过程中教师可以通过巡视，个别辅导帮助学困生学会使用代入法，判断点是否在圆上，不难发现点D满足圆的标准方程。最后，教师要点出题目背后更深层次的知识含义，即圆上的点满足圆的标准方程，反之，满足圆的标准方程的点在圆上，通过强调对应关系，引发思维能力较强的学生进行更深层次的抽象思考，培养数学抽象的核心素养，分层教学。