空化泡表面附近马兰戈尼力的数值模拟研究

王小伍，李双君，虎骁

(华南理工大学物理学院，广州 510640)

由于表面张力与温度有关，当表面温度不一致时，将在表面上产生热毛细力，受这个切向应力作用，液体形成马兰戈尼(Maragoni)对流或热毛细对流。在薄膜喷涂[1]、液滴蒸发[2]和熔体单晶生长[3]等领域中，马兰戈尼对流或热毛细对流起到重要作用。

一般液体的表面张力都随温度升高而降低，因此温度高的地方表面张力相对较小，该处的流体就会向温度低的地方流动。在一些换热设备中，工质需要由温度较低处流回温度较高处，以实现工质的循环，如果以一般液体为工质，马兰戈尼对流使得液体由温度较高处流回温度较低处，此时马兰戈尼对流将不利于换热。一些醇类水溶液表面张力与温度的关系与一般液体不同，在一定浓度和温度范围内，其表面张力随温度升高而增大[4]，从而将形成由温度较低处到温度较高处的马兰戈尼对流，这种对流与换热设备要求的液体循环方向一致，能增强换热设备的传热性能。

在超声波作用下，当液体局部压力低于某一临界压力时，液体内部或液固界面处产生空化泡，在超声场和热动力联合作用下，空化泡将经历膨胀、收缩和崩溃。本文研究了超声波在2.5%的正戊醇水溶液和纯水中产生的空化泡的气液界面附近的马兰戈尼力，以期为进一步研究超声波强化传热提供参考。

1 物理数学模型

根据陈淑玲等[4]的实验研究，在一定温度范围内，2.5%的正戊醇水溶液的表面张力随温度增加而增大的现象较为明显，由最小二乘法拟合得到的2.5%的正戊醇水溶液的表面张力σ与温度T的关系为：

σ=[0.016 7×(T-273)2-1.268(T-273)+48.714)]×10-3

(1)

如图1(a)所示，简化后的空化泡模型为附着在固体表面的一球冠状气泡，在超声波的作用下气泡半径r随时间发生变化。假设：1)空化泡球心固定并保持以球心对称；2)液体不可压缩；3)忽略重力作用和扩散作用；4)泡内气体为理想气体；5)除了表面张力，空化泡外的液体和空化泡内的气体的物理特性均为常数。如图1(b)所示，空化泡壁附近存在一厚度为δ的热边界层，空化泡内气体通过热边界层与周围液体进行热量交换。

图1 空化泡物理模型

空化泡边界方程：

x2+y2+z2=r(t)2z>h

(2)

式(2)中，h为球心到达空化泡附着固体面的距离。r(t)为某时刻空化泡半径，满足方程：

(3)

式(3)中，ρl、ρv分别为液体、空化泡内气体的密度；c为液体中的声速；pwall及pfar分别为空化泡壁外侧及远处液体中的压强，pwall满足方程：

(4)

式(4)中，r0为空化泡初始半径；γ为空化泡内气体的绝热指数；μ为粘滞系数；pv为空化泡内的蒸汽压。若将空化泡内气体视为理想气体，pv可以根据理想气体状态方程近似求得。

(5)

(6)

热边界层内与球心距离为r'处某点的温度Tδ为：

(7)

式(7)中，Twall、Tfar分别为空化泡壁和远处液体的温度。空化泡壁温度为：

(8)

式(8)中，kl、kg分别为液体和空化泡内气体的导热系数；Tc为空化泡中心的温度，将空化泡的膨胀、压缩视为理想气体绝热过程，Tc可以根据理想气体绝热过程方程算得。

空化泡内与球心距离为r'的某点的温度Tr为：

(9)

计算中用到的相关参数取值为：Tfar=353 K，ρl=1 000 kg/m3，ρv=1.205 kg/m3，pv=3.169×103MPa，c=1 483m/s，pfar=1.013×105Pa，μ=1.022×104kg·s/m3，超声波声压p=-pmsin2πft，pm取为0.5 MPa，f为超声波频率，本文取为20 kHz。

2 结果与讨论

空化泡半径随时间的变化如图2所示，从图2中可以看出，一开始空化泡半径随时间增大，达到峰值以后急速减小。当t为9.9×10-6s时，空化泡处于膨胀状态，空化泡内温度低于远处液体温度；当t为23.6×10-6s时，空化泡处于压缩状态，空化泡内温度高于远处液体温度。

图2 空化泡半径随时间的变化

图3为t=9.9×10-6s时热边界层和空化泡内的温度分布。从图3可见，随着与球心距离的增加，边界层内温度增加，温度梯度值减小，在接近外部正戊醇水溶液时趋近于远处液体温度。随着与球心距离的增加，空化泡内温度增加，温度梯度值变大。

图3 时间为9.9×10-6 s时热边界层和空化泡内温度分布

图4为t=23.6×10-6s时热边界层和空化泡内的温度分布。从图4可见，随着与球心距离的增加，边界层内温度减小，温度梯度值减小，在接近外部正戊醇水溶液时趋近于远处液体温度。随着与球心距离的增加，空化泡内温度减小，温度梯度值变大。

图4 时间为23.6×10-6 s时热边界层和空化泡内的温度分布

图5为t=9.9×10-6s时2.5%的正戊醇水溶液中的空化泡壁面附近的马兰戈尼力。从图5可见，空化泡壁面附近沿X轴和沿Y轴方向的马兰戈尼力呈马鞍状分布，除x>0且y>0区域的部分位置外，马兰戈尼力的方向均指向坐标轴正轴；等高线呈抛物线状，沿X轴方向的马兰戈尼力的等高线开口向X轴正方向，沿Y轴方向的马兰戈尼力的等高线开口向Y轴正方向。空化泡壁面附近沿Z轴方向的马兰戈尼力呈勺状分布，以y=x平面对称，y>0且x>0区域的马兰戈尼力小于y<0且x<0区域的，大部分区域的力的方向指向Z轴正轴，部分y>0且x>0区域的力的方向指向坐标轴负轴，部分等高线为闭合曲线。由矢量图可知，大部分区域的马兰戈尼力的方向指向空化泡外侧。

图5 时间为9.9×10-6 s时2.5%的水溶液中的空化泡壁面附近的马兰戈尼力

图6(a)给出的是t=9.9×10-6s时，纯水中的空化泡壁面附近的马兰戈尼力。从图6可见，空化泡壁面附近沿X轴和沿Y轴方向的马兰戈尼力呈马鞍状分布，除x>0且y>0的部分位置外，马兰戈尼力的方向均指向坐标轴负轴；等高线呈抛物线状，沿X轴方向的马兰戈尼力的等高线开口向X轴正方向，沿Y轴方向的马兰戈尼力的等高线开口向Y轴正方向。空化泡壁面附近沿Z轴方向的马兰戈尼力呈倒置的勺状分布，勺把向Z轴正反向翻转，以y=x平面对称，部分y>0且x>0位置的马兰戈尼力指向Z轴正轴，其它区域的马兰戈尼力均指向Z轴负轴，部分等高线为闭合曲线。由矢量图可知，大部分区域的马兰戈尼力的方向指向空化泡内侧。

图6 时间为9.9×10-6 s时纯水中的空化泡壁面附近的马兰戈尼力

对比图5和图6可见，2.5%的正戊醇水溶液中的空化泡壁面附近的马兰戈尼力要远远大于纯水中的马兰戈尼力，因此，2.5%的正戊醇水溶液中由马兰戈尼力引起的对流强度也将较大。此外，由于2.5%的正戊醇水溶液中的表面张力对温度的相关特性与纯水中的不同，两种液体中沿X、Y以及Z轴方向的马兰戈尼力的方向相反，因此由马兰戈尼力引起的对流方向也将不同。由于t=9.9×10-6s时，空化泡正处于膨胀期，热边界层内温度沿径向增加，2.5%的正戊醇水溶液中的马兰戈尼力指向空化泡外侧，由此引起的马兰戈尼对流有利于空化泡膨胀以及热量传递。

图7 为t=23.6×10-6s时2.5%的正戊醇水溶液中的空化泡壁面附近的马兰戈尼力。从图7可见，空化泡壁面附近沿X轴和沿Y轴方向的马兰戈尼力仍旧呈马鞍状分布，方向均指向坐标轴正轴。在y<0区域，沿X轴方向的马兰戈尼力的等高线呈抛物线状，开口指向X轴正方向；在y>0区域，沿X轴方向的马兰戈尼力的等高线为不相交的曲线。在x<0区域，沿Y轴方向的马兰戈尼力的等高线呈抛物线状，开口指向Y轴正方向；在x>0区域，沿Y轴方向的马兰戈尼力的等高线为不相交的曲线。空化泡壁面附近沿Z轴方向的马兰戈尼力呈倒置的勺状分布，以y=x平面对称，y<0且x<0区域的力的方向指向Z轴正轴，部分y>0且x>0区域的力的方向指向Z轴负轴。由马兰戈尼力的矢量图可知，部分位置的马兰戈尼力的方向指向空化泡内侧。

图7 时间为23.6×10-6 s时 2.5%正戊醇水溶液中的空化泡附近的马兰戈尼力

对比图5和图7可以发现，在t=9.9×10-6s、t=23.6×10-6s时，虽然2.5%的正戊醇水溶液中的沿X与Y轴方向的马兰戈尼力分布轮廓均呈现马鞍状，沿Z轴方向的马兰戈尼力分布轮廓均呈倒置的勺状，但对应t=23.6×10-6s时的马鞍平坦，勺把也没有反向翻转，这是由于在t=23.6×10-6s时，空化泡迅速收缩，边界层厚度较大，温度梯度值较小，因此，t=23.6×10-6s时的马兰戈尼力要远远小于t=9.9×10-6s时的马兰戈尼力，由此产生的马兰戈尼对流强度也将小于膨胀时的对流强度。此外，t=23.6×10-6s时，沿Z轴负方向的马兰戈尼力对应的区域增加，即指向空化泡内侧的马兰戈尼力对应的区域增加，由于此时空化泡处于压缩期，指向空化泡内侧的马兰戈尼力有利于空化泡压缩以及热量传递。

3 结语

正戊醇水溶液表面张力随温度的变化关系与纯水不同，本文研究了超声波在2.5%的正戊醇水溶液中产生的空化泡的气液界面附近的马兰戈尼力，并与纯水中的空化泡的气液界面附近的马兰戈尼力进行了比较。主要结论如下：

(1)空化泡膨胀时，2.5%的正戊醇水溶液和纯水中的空化泡壁面附近的马兰戈尼力的分布轮廓相似，但方向相反，2.5%的正戊醇水溶液中的空化泡壁面附近大部分区域的马兰戈尼力指向空化泡外侧。此外，2.5%的正戊醇水溶液中的马兰戈尼力要远远大于纯水中的马兰戈尼力，由马兰戈尼力引起的对流强度也将较大，有利于空化泡膨胀以及热量传递。

(2)空化泡收缩时，相比膨胀时，2.5%的正戊醇水溶液中的空化泡壁面附近更多的区域的马兰戈尼力的方向指向空化泡内侧。由于空化泡收缩时，热边界层厚度较大，温度梯度值较小，因此，2.5%的正戊醇水溶液中空化泡受到的马兰戈尼力小于其在膨胀时受到的马兰戈尼力，由此产生的马兰戈尼对流强度也将小于空化泡膨胀时的马兰戈尼对流强度。