在数理相通中让初中生学到“能用的数学”

徐静芳

中图分类号：G4 文献标识码：A

对于学习数学的意义，不少学生是困惑的，即使是数学教师对此也不见得明晰达理，偶尔也会有片刻的迷茫。但作为数学老师又必须对自己所教的学科充满信心，并以理直气壮、不容置疑的口吻告诫学生：“生活处处是数学，学好数学就能在生活中解决很多难题”，以此来警醒学生，鞭策学生，督促他们对数学学习予以足够的重视。笔者曾经教过一位男生，在进入初三的第一次期中考试后找到我，沮丧地说：“老师，我不想学习了，老师们现在教的都是‘没用’的东西。”我思忖了一会儿，含糊其词地回应他：“就算你学习再不好，老师也不许你这么瞧不起自己，老师教的学生将来都会对社会或多或少有用的。”当时他就一下笑出了声，说道：“我不是这个意思，学了那么多，真的不知道有什么用，能用在哪里？”且又申明道：“我不是因数学成绩不好而找借口。”对于此类带有普遍性的质疑，我沉默了……

常说的“有用”和“能用”是有一定区别的。“有用”是理性意义上的价值判断，而“能用”则是实践运用上的价值体现。博大精深的数学知识，能让初中生认识其“有用”的价值体现，虽只是浅尝辄止，但数学思维的严谨性、逻辑性、深刻性使人获益匪浅。当然，就初中生而言，数学的“有用”应借助实践印证的“能用”来体现，唯此，才能激发广大同学学习数学的兴趣和积极性。笔者曾撰写过“数学与生活”关联度的文章，现以一些学生在学习物理时遇到的困惑为切入点，让学生在“能用”的体验中领悟数学的“有用”。

一、数、理相通，凸现数学的“能用”

（一）“能用”情景一

例1、甲、乙两个实心均匀的正方体放在水平地面上，它们对地面压强相等，已知甲的密度大于乙的密度，若在两个正方体上分别沿水平方向切去相等的高度，剩余部分的质量分别为m’甲和m’乙，则（ ）

A. m’甲一定小于m’乙 B.m’甲一定等于m’乙

C.m’甲一定大于m’乙 D.m’甲可能等于m’乙

此题的答案是A，翻阅学生作业时，发现很多同学都选对了，我很高兴，也想寻找原因，便好奇地问道：“你们是如何算出来的？”周围的学生都异口同声地说：“极限法。”学生们口中的“极限法”就是取极值的特殊情况：

于是乎，学生说：“既然切去相等的高度，两个正方体就切去相等的h甲，那么正方体甲留下质量0，正方体乙还有剩余质量，所以就选A了。”

笔者随即又问：“如果这是一题解答题，需要你写解题过程，这时候是不能用特殊情况代替普遍情况的，怎么办？”一片肃静，班中竟然没有同学使用计算方法解决本题。于是我叫来了物理课代表，请他用所学过的物理知识结合数学知识进行计算，且鼓励他：“作为课代表，你应该具备一题多解的能力，老师相信你！同时你应该明白，理科知识往往不是独立存在的，而是相互联系的，联系的桥梁时数学这门基础学科。“随即，他用了十分钟来思考和计算，最后解决了本题，笔者也顺水推舟邀请他为全班解答。这就有了下面的算式：

在本题正确解答后，我乘势为学生们梳理了知识点：“除去你们应该知道的物理公式，本题涉及的大部分计算都是运用了初二数学的分式化简，最后再结合不等式中相对比较难的知识点——比较代数式的大小，可见，运用的数学知识点多于物理知识点。”

之后，笔者请教了物理老师，固体压强中的切割问题本身就是初中物理的考点之一，也是难点之一，于是再结合初中数学中运用比较少的代数式比大小知识点破解此题。对缺乏知识迁移、数学建模思想的学生来说，难度是大的。通过本例题的分析讲解，我告诉学生：“知识不是独立存在的，而是有机联系的。也许你并不知道生活中哪里能让你使用勾股定理和黄金比例，但当你把所学的知识融会贯通，就会产生熟能生巧的灵感，顿悟破解的思路和方法，从而收获学习的自信、成功和乐趣。”

（二）：“能用”情景二

例2、在图1（a）所示的电路中，电源电压为18伏保持不变，电阻R1的阻值为5欧，滑动变阻器R2上标有“50Ω  2A”，闭合电键S后电压表示数如图1（b）所示。

求通过电阻R1的电流I1;

求此时滑动变阻器R2消耗的电功率P2;

移动滑片P，在确保电路中各元件正常工作的前提下，求电压表示數的变化范围，以及滑动变阻器R2接入的阻值范围.

2014年普陀区初三物理一模卷第21题，其中①、②两题的解题方法套用所学的电学公式即可解决，我们要探究的是本题第③小题：

综上所述，电压表示数的变化范围8～15V;

滑动变阻器R2接入的阻值范围4～25Ω.

本题第③小题旨在讨论电压表示数的变化范围和滑动变阻器R2接入的阻值范围。计算公式虽是欧姆定律，但从解题思路分析，用到的是数学中的分类讨论法，即在滑动变阻器取不同极值时，对应的电压或电流如何变化。以及当R2最大时，出现电压大于电压表量程的情况，这就类似数学中的函数综合题，自变量x取值不在定义域内。分类讨论思想作为初中数学的重点及难点，却渗透进了物理题型，且是较大难度的压轴题。我告诉学生：“原本大家认为独立的数学知识点，甚至怀疑无处‘能用’的数学知识点，不仅会运用于实际生活和科技发展中，而且会伴随学段的升高，知识的丰富，难度的增加，越来越多的数学知识可解决理科方面的较难题型。和语文的工具性一样，数学是学习理科、发展科技的基础性、工具性学科。数学思维与能力决定着学习其他某些科目的深度和高度。现在你们应该发现，所学的数学知识是有用的，并且是‘能用的’。”

（三）“能用”情景三

（上海2005年）甲、乙两小车同时同地同方向做匀速直线运动，它们的S-t图像如图所示。经过6秒，两车的位置关系是（ ）

A甲在乙前面0.6米处

B甲在乙前面1.2米处

C在甲前面0.6米处

D在甲前面1.2米处

本题是2005年物理中考真题，在初三总复习时，我们都会对历年考点进行总结复习。此时，学生已学习了初中阶段的数学知识，从本题的S-t图形分析，求路程、速度、时间这三个量之间的关系，能直接、准确地找到问题的答案。但利用数学中的数形结合思想解本题，可以让解题思路归于函数关系的建构，从本质上揭示匀速运动的规律。很明显，这两条线段都是正比例函数图形的一部分，将两个正比例函数解析式求出，把t=6代入两个正比例函数解析式中，即可求出对应S的值（即得两个横坐标相同的点坐标）。如此分析，无论题目问的是6秒或8秒，都可以用函数解析式解出。

笔者告诉学生，本题原本是物理中的S-t图像问题，是数学中一次函数y=kx在物理中运用，可采用数形结合的思想解题。答题情况良好，说明大家确实能用数学方法解决物理问题，同时也验证了作为初三学生，你们已具备了一题多解的综合能力，这是一件多么让人感到高兴的事啊！需注意的是，当遇到较难的物理问题而难以入手时，不妨打开自己的思路，想想能否在数学中调遣攻坚克难的“特种兵”，发挥其能用善战的奇特作用。

因为数学是理科学习的基础，与理科特别是物理学科，存在着种种逻辑联系，故而笔者在日常教学中都会适时地渗透相关的物理知识。除上述三例外，学习初一的整式、分式计算，初二的整式方程、分式方程等内容时，会把物理中的常用字母P、F、S、ρ、g、h等物理量符号引入数学学习中。又比如物理电学中的欧姆定律三个物理量U、I、R之间的关系，可出现在初二正比例函数学习中;而物理中计算并联电路的总电阻问题，可运用初一分式计算时有机渗透，，那么通过计算可以得到。

初二向量的平行四邊形法则，初三向量的线性运算中画一个向量在两个指定向量方向上的分向量，这些作图知识，都应该让学生多体验、多思考，为在高中物理的力的合成与分解等矢量计算时作些铺垫。

二、让数学知识变得能用的实施要点

为了使挂在嘴上的理性“有用”，切实成为学生能感知、体验的“能用”，作为数学教师的我们，似应关注若干实施要点。

（一）教师教学：意识、设计、适切

其一，需要教师对学生的学情有足够的了解，对知识点在课程中的承前启后作用充分把握，并对数学知识与其他学科特别是物理中相关知识的关联和作用做到心中有数。其二，教师备课必须充分，除精备本学科外，还须增强跨学科意识，多与物理等学科的教师切磋交流，了解相互的教学进度及已学知识。在此基础上，教师才有可能从容地设计教学，丰富数学知识结构，使数理等学科之间实现知识的自由转换和有机迁移。在实施该跨学科教学时，应循序渐进、灵活渗透，适切把握。在适切上下功夫，切不可脱离学生实际、生搬硬套，或喧宾夺主、偏离主干。

（二）学生学习：兴趣、方法、自主

“能用”的数学必然与实际问题的解决紧密关联，或涉及相关学科的知识，属于应用型数学的范畴，自然对学生的学习态度、学习能力、学习意志提出了较高的要求。出类拔萃的学生毕竟凤毛麟角，我们的教学是面向所有的学生，这对我们数学教师提出了较高要求，开展数理相通的适切教学外，还应激发学生的探究兴趣，使较多学生掌握一些数理结合、探究问题的基本方法，培养自主探究的基本能力，将数学思想、数学思维活用于以物理为主的相关学科学习中。

（三）习题编制：关联、梯度、应用

教师在编制习题，布置课后作业时，应根据数学课程标准，既要夯实学生的基础知识、基本技能，又要在培养学生数学思维品质（包括迁移运用能力）上统筹兼顾。这就要求教师在研析数学命题、编制数学习题时，注重知识的关联性、梯度性、应用性。关联性，和学生已学知识相关联，和其他学科相关知识相关联，和实际问题相关联;梯度性，关注题目设计的层级和梯度，尽量符合不同能力水平的学生的需要，使学生在各自的“最近发展区”内累积递进，发展学能。应用性，习题编制，除纯数学的概念、演算外，尽量结合学生的生活实际，并与科技发展相结合，与理科中的物理等学科学习学习相结合，体现其学以致用的价值追求。

经验证明，只有学生们认为所学的知识是“能用的”，他们学习数学的兴趣和内驱力才会被真正激活，对于这门公认的“难科”才会真正产生迎难而上、主动探究的信心和毅力。

随着中考改革，对学生综合运用知识的能力和思维品质提出了更高的要求。笔者以数理相通为切入点，持续开展的初中生“能用的数学”的教学探究，也算作对当前教学改革的一种回应。笔者的观点是：既要夯实学生的数学基础，又要善于打通数学与物理、数学与生活间的认知障碍，这将是我们一线数学教师需要面对和突破的一个重要命题。