基于B样条的形态创构方法在薄壳结构中的应用研究

崔国勇 崔昌禹 汪江红

（1.中国中元国际工程有限公司，北京 100089；2.哈尔滨工业大学土木工程学院，哈尔滨 150090；3.哈尔滨工业大学结构工程灾变与控制教育部重点实验室，哈尔滨 150090）

0 引言

自由曲面由于形式自由轻盈且充满韵律受到越来越多建筑师的喜爱。近几年国内外涌现出一大批自由曲面建筑，如2010 年上海世博会中国航空馆、博物馆“欢庆之云”、阳光谷、日本国家馆“紫蚕岛”、阿联酋国家馆“沙丘”、以色列馆“海贝”。

这些建筑多是根据建筑的创意首先确定“形”再由结构工程师通过网壳的形式来逼近所需的“形”，缺少合理的结构形式，更有甚者影响结构的安全性。

对合理曲面形状的研究可以追溯到20 世纪初期，西班牙建筑师高迪利用“逆吊实验法”设计了圣家族大教堂［1-2］。此阶段的研究多集中在观察模仿自然界的现象。20世纪80年代以来，数值计算的形态创构方法得到了重视，以日本的半谷教授为代表提出了“广义逆矩阵”并解决了不稳定结构初始形态的问题［3］。姜宝石对杆系结构形态创构方法在平面框架结构中的应用进行了研究，指出杆系结构形态创构方法可以提高结构承载效率，使框架结构以受轴力为主［4］。沈世钊对结构形态学的发展进行了梳理总结，并提出了下一步发展的意见［5］。将形态创构理论应用到实际工程领域，主要以崔昌禹为代表，他提出了“改进进化论法”和“高度调整法”，并将该方法运用到数十个具体工程中，比较知名的项目有日本福冈市中央公园、上海喜马拉雅艺术中心、卡塔尔教育城会展中心、日本kakamigahara殡仪馆等［6-7］。

1 形态创构问题的提出

自由曲面结构的形态创构问题可表述为［8］

式中：C表示目标函数，由于应变能是一个可以反映结构综合性能的指标，且为标量，因此常被用来作为目标函数；S表示设计变量，此处为B 样条曲面的关键点；δmax、δ0分别代表最大位移和结构允许最大位移，结构优化过程中最大位移应不大于所允许的最大位移；σmax、σ0分别表示最大应力和允许最大应力，优化过程中最大应力应不大于所允许的最大应力。

2 复杂边界自由曲面建立

2.1 自由边界生成

采用拓展的参数化B 样条曲线，可以表达任意复杂的边界形式。

拓展的参数化B样条曲线表达式如下：

式中：N表示封闭曲线的个数；Mi表示每条封闭曲线中的曲线类型数，曲线类型包含B 样条0 阶、1阶、2 阶等；表示第i曲线第j区间的起始号，nij表示第i曲线第j区间的参数分割总数，(2mij-1)表示第i曲线第j区间的曲线次数，α、β、B(t)分别表示为x、y方向的线性组合系数和B样条基函数。

图1 示意了采用拓展的B 样条曲线所表达的曲线形式，其中图1（a）示意了外边界采用4 段0阶B 样条曲线和一段2 阶B 样条曲线组成的外边界，采用3阶B样条表达的圆形和3阶的自由边界组成的内边界。图1（b）示意了采用1 段2 阶B 样条曲线组成的外边界，4 段3 阶B 样条表达的圆形组成的内边界。

图1 自由边界的生成Fig.1 The generation of free form boundary

2.2 复杂边界自由曲面建立

自由曲面采用B 样条曲面来表述，B 样条曲面由x、y两个方向的B 样条曲线表达，表达式如下：

式中：M表示x方向的关键点数；N表示y方向的节点数；ri,j是常数；Bi,k(x)表示x方向k阶B样条基函数，Bj,l(y)表示y方向l阶B样条基函数。

复杂边界自由曲面建立采用以下步骤：

（1）根据B 样条曲线外边界大小定义参考平面，参考平面略大于B样条曲线外边界。

（2）在参考平面上根据建筑意图设置关键点，在参考平面上进行有限元网格划分。

（3）根据建筑意图生成B 样条曲面，并将参考平面的网格投影到B样条曲面上。同时记录边界条件信息，即获得了复杂边界条件的自由曲面。

3 节点移动的实现

通过移动B样条曲面的关键点使目标函数最小，目标函数移动的方法采用梯度法，梯度法的迭代格式如下：

式中：zk+1表示k+1步关键点坐标；zk表示k步关键点坐标；αk表示步长；dk表示应变能梯度。

应变能关于关键点的梯度如下式求解：

式中：{U}表示结构的位移向量；表示结构刚度矩阵对受关键点坐标影响的插值点坐标的敏感度；表示B 样条函数对关键点zi,j的敏感度。

图2 B样条曲面生成Fig.2 The generation of B-spline surface

4 方法的工程应用

4.1 外边界自由，无内部边界

图3（a）为一多功能活动中心，主要分布一大一小两个剧院，活动中心平面长45 m、宽30 m，外边界自由、无内部边界，采用稀疏的圆形柱子为支撑条件。图4 为关键点网格，关键点网格水平方向在大剧院稍密，间距为6 m，小剧院间距9 m；关键点网格竖向从中间向两侧逐渐稀疏。均布荷载q=3 kN/m2，材料参数采用弹性模量E=3×104MPa，泊松比ν=0.2，厚度t=10 cm。

图3 结构进化示意图Fig.3 The process of structure evolution

图4 关键点网格图4 Key points grid

图5 为应变能随进化步的变化情况，应变能前期下降很快，进化到第100 步时，应变能降低到原来的40%左右，后逐渐降到原来的25%。应变能降低明显，应变能是衡量结构性能的一个综合指标。根据以前的研究表明：应变能降低，结构的平均位移和最大位移都有不同程度的降低，而且弯曲应力和薄膜应力都有不同程度的下降，弯曲应力比薄膜应力下降更为明显［9］。

图5 应变能随进化步的变化Fig.5 Changes of the strain energy with evolution steps

4.2 外边界规则，内边界自由

图6（a）为瑞士劳力士学习中心初始形状，劳力士学习中心平面图和关键点情况见图7 所示。劳力士学习中心外边界为矩形，内边界为多个自由边界，内边界采用二次B 样条曲线表达。内部采用点约束，约束条件为铰接，关键点采用等间距布置，间距为20 m。均布荷载q=3 kN/m2，材料参数采用弹性模量E=3×104MPa，泊松比ν=0.2，厚度t=10 cm。

图6 结构进化示意图Fig.6 The process of structure evolution

图7 关键点网格Fig.7 Key points grid

图8 为应变能随进化步的变化情况，规律与前述一致，最终结构应变能约为初始结构的26%。进化步从200步到最终511步收敛，应变能从32%减少到26%，应变能变化不大，建筑师可以选择其中的任意一个建筑外形，而对结构力学性能影响不大。

图8 应变能随进化步的变化Fig.8 Changes of the strain energy with evolution steps

4.3 外边界自由，内边界规则

图9（a）为某体育场馆初始形状，体育场馆平面布置在边长80 m 的正方形内。图10 为关键点网格布置情况，关键点采用等间距布置，间距为10 米，在建筑边界采用点约束，约束条件为铰接，内部边界采用两个圆形和一个自由曲线边界。均布荷载q=3 kN/m2，材料参数采用弹性模量E=3×104MPa，泊松比ν=0.2，厚度t=10 cm。最终应变能约为初始结构的29%。

图9 结构进化示意图Fig.9 The process of structure evolution

图10 关键点网格Fig.10 Key points grid

4.4 内、外边界自由

图11 应变能随进化步的变化Fig.11 Changes of the strain energy with evolution steps

图12（a）为一内外边界均为自由的体育场馆，体育场馆布置在60 m×90 m 的长方形内。图13 为关键点布置情况，长向间距为15 m，短向间距为10 m，一共49 个关键点，在建筑外边界采用点约束，约束条件为铰接。图14 为应变能随进化步的变化情况，进化到第20 步的时候，应变能为初始结构的20%，最终应变能仅为初始结构的6%，说明初始结构极为不合理，优化后的结构承载力可以大幅度的提高。

图12 结构进化示意图Fig.12 The process of structure evolution

图13 关键点网格Fig.13 Key points grid

图14 应变能随进化步的变化Fig.14 Changes of the strain energy with evolution steps

4.5 复杂荷载条件

实际项目主要承受以均布荷载形式存在的恒荷载和活荷载，同时也存在竖向或者水平集中荷载。由于结构物理模型最终需要转化为有限元模型进行计算，在有限元模型层面，任意的荷载形式都是可行的。结构的外荷载转化为有限元节点荷载采用文献［10-11］的方法。

图15（a）为结构的初始形状，结构布置在100 m×60 m 的长方形内。图16 为关键点布置情况，采用等间距布置，间距为10 m，一共77个关键点，在建筑外边界采用点约束，约束条件为铰接。结构除承受均布荷载q=3 kN/m2，还承受两点受集中荷载F=3 kN。材料参数采用弹性模量E=3×104MPa，泊松比ν=0.2，厚度t=10 cm。图17 为结构应变能随进化步的变化情况，结构最终的应变能为初始结构的18%。

图15 结构进化示意图Fig.15 The process of structure evolution

图16 关键点网格Fig.16 Key points grid

图17 应变能随进化步的变化Fig.17 Changes of the strain energy with evolution steps

4.6 复杂约束条件

实际工程中会出现许多复杂的约束条件，比如各种类型的约束、已知节点位移和弹性支座等。有限单元法本质是归结为求一系列方程解的问题，在实际编程计算时各种类型的约束、已知节点位移可以采用修改方程式法或者修改荷载列阵法，弹性支座则采用修改刚度矩阵的方法，具体编程实现参考文献［12］。

图18（a）为一体育场馆初始形状，结构布置在边长50 m 的正方形内。图19 为关键点布置情况，采用等间距布置，间距为5 m，一共121个关键点，在建筑外边界采用点约束，约束条件为铰接和固结约束。结构除承受均布荷载q=3 kN/m2，材料参数采用弹性模量E=3×104MPa，泊松比ν=0.2，厚度t=10 cm。图20 为结构应变能随进化步的变化情况，结构最终的应变能为初始结构的50%，初始结构较为合理。

图18 结构进化示意图Fig.18 The process of structure evolution

图19 关键点网格Fig.19 Key points grid

图20 应变能随进化步的变化Fig.20 Changes of the strain energy with evolution steps

5 结论

本文研究了基于B样条的形态创构方法的工程应用，为自由曲面结构应用到实际工程中提供借鉴和理论依据，所得结论如下：

（1）基于B 样条的形态创构方法可以应用于外边界自由，无内部边界、外边界规则，内边界自由、外边界自由，内边界规则、内外边界均自由，解决了自由曲面应用过程中边界的问题。

（2）可以考虑约束在结构任意位置的问题，且可以考虑约束任意自由度的问题。解决了工程应用过程中复杂的约束问题。

（3）不仅可以考虑均布荷载，而且还可以考虑集中荷载，集中荷载可以是竖向或者水平向荷载。基于B样条的形态创构方法可以考虑任意荷载形式，满足各种荷载条件。

（4）通过各种类型的算例，可以看到在进化过程中，结构的应变能逐步下降，结构朝着充分利用材料强度方向进化。