关于累积剩余(r,s)熵的研究*

王甜甜, 汪加梅

(安徽工业大学 数理科学与工程学院,安徽 马鞍山 243032)

0 引 言

在许多文献中，以不同的方式概括了上式，Havrda等[1]推广了Shannon熵的一种不可加形式:

当r→1时，上面的测度趋于Shannon熵，虽然熵测量Hr(x)最初是由Havrda等在控制论的背景下首次提出的，但Tsallis发现了它的非广延性的特征，并将其放在物理背景下研究，所以熵测度Hr(x)叫做Tsallis熵。1991年，Rathie等[2]引入了统一的(r,s)熵，它包含了许多经典熵，其关于具有概率密度函数f(x)的非负随机变量的形式为

在生命分析和生命测试中，系统的当前年龄也应考虑在内。系统在t时刻仍在运行时的剩余寿命为Xt={X-t|X>t}。1996年，Ebrahimi[3]提出剩余寿命Xt的熵为

2006年，Nanda等[4]提出了Tsallis剩余熵为

2004年，Rao等[5]提出了累积剩余熵的概念，定义为

累积剩余熵(CRE)是基于累积分布函数的一种广义不确定性度量，相比Shannon提出的基于概率密度的测度，该测度具有更稳定的性质。累积剩余熵在连续域和离散域都有一致的定义，它可以很容易地从样本数据中计算出结果且渐进地收敛到真实值。Rao[6]，Wang和Vemuri[7]分别在2005年、2007年得出了该测度的若干性质，并在可靠性工程和计算机视觉方面提供了一些应用；2007年，Asadi等[8]考虑了累积剩余熵的动态版本，定义为

已有学者对于累积剩余熵的参数化推广进行了尝试。2010年，Abbasnejad等[9]提出了r阶的动态生存熵(DSE)，并解释了其与平均剩余寿命函数的关系。通过考虑CRE与某一部件的平均剩余寿命之间的关系，2015 年，Mohan等[10]在Tsallis熵的基础上提出了累积剩余Tsallis熵及其动态版本：

Mohan刻画了一些著名的寿命分布和概率模型。Kumar[11]在Mohan等的研究基础上继续研究了累积剩余Tsallis熵及其动态版本的性质。但是基于Renyi熵或者是Tsallis熵的累积剩余测度都是不含参数或者仅一个参数。针对前人的研究，将研究基于含有多参数的(r,s)熵定义的累积剩余测度的一些性质与刻画结果。

本篇文章的结构如下：第一节中提出了累积剩余(r,s)熵，同时给出了一些特定分布的表达式；第二部分提出了动态剩余(r,s)熵，研究了其性质刻画；第三部分中，利用平均剩余寿命函数和风险率函数与累积剩余(r,s)熵的关系来刻画一些特定分布的性质。

1 累积剩余(r,s)熵

r>0,r≠1,s>0

(1)

下面的引理给出了累积剩余(r,s)熵有界的充分条件：

证明令X∈L1，则有E(x)<1，可以得到：

以下是非负随机变量的一些不同单变量连续分布的测度表达。

推论1 (1)X服从参数为b>0的有限维分布，则

(2) 若X在(a,b),a

(3) 若X服从参数a>1的Pareto分布，则

(4) 若X服从参数λ>0的指数分布，则

2 动态累积剩余(r,s)熵

2015年，Mohan等[10]给出了动态累积剩余Tsallis熵测度的定义，相应地，下面定义了动态累积剩余(r,s)熵测度：

r>0,r≠1,s>0

(2)

X的平均剩余寿命定义为

引理2 当t>0,s>0,r>1(0

证毕。

证明由式(2)得：

(3)

对式(3)关于t微分，有

即有

(4)

3 特定寿命分布的特征结果

在这一节中，利用平均剩余寿命函数和风险率函数来刻画一些分布。平均剩余寿命和风险率函数的关系为

(5)

其中，λF(t)为风险率函数。

在给出定性结果前，先来证明下面的定理。

(6)

则有

证明充分性：若非负随机变量X服从指数分布，其概率密度函数、生存函数、平均剩余寿命分别是

f(t)=λe-λt,λ>0,t>0

因此，由定义式(2),有

若非负随机变量X服从Pareto分布，其概率密度函数、生存函数、平均剩余寿命分别是

因此根据定义式(2)，简化为

这里若r>1，则

若非负随机变量X服从有限维分布，其概率密度函数、生存函数、平均剩余寿命分别是

f(t)=b(1-t)b-1,b>0,0

因此，经过简化得

这里若r>1,则

必要性：令式(6)成立，根据式(2)有

(7)

式(7)左右两边对t微分，得到

根据平均剩余寿命和风险率之间的关系：

λF(t)δF(t) = 1 +δF′(t)

(8)

则有

(9)

将式(9)两边同时对t在(0,x)上积分，得到

接下来，将结果推广到一个更一般的情形，将k作为t的函数。

定理3 若X是非负连续随机变量，满足

(10)

那么

证明由式(2)，有

代入式(10)，得

也即

(11)

两边同时对t微分，得

代入式(5)和式(11),得

k′(t)δF(t) +sk(t)δF′(t)

(12)

简化式(12),得

解这个非齐次线性微分方程，有

即证。

接下来，用风险率函数来描述动态累积剩余(r,s)熵的寿命模型，有以下结果。

(13)

那么

证明假设式(13)成立，那么有

由此可得

(14)

式(14)可转化为

等式两边同时对t微分，得

(9)

定理的唯一性易证。

4 结 论

将累积剩余熵推广到参数更多的(r,s)熵，定义了其相关的累积剩余熵及其动态版本，并研究了这些广义信息测度的一些性质和刻画结果。值得注意的是，当r≠1,s=1时，可由累积剩余(r,s)熵得到累积剩余Tsallis熵；当r≠1,s=0时，可由累积剩余(r,s)熵得到累积剩余Renyi熵。根据r和s的其他不同取值也可得到相应的基于其他熵的累积剩余熵，即累积剩余(r,s)熵涵盖了其他多种基于单参数熵定义的累积剩余熵，具有重要参考意义。