立足课堂反思 培养小学生数学建模能力

陈爱钦

（福州高新区第二中心小学，福建 福州 350109）

数学建模即把复杂的现实生活问题概括抽象成简单的数学内容，能选择适当的方法解决问题。如概念、公式定律等内容，都可以算是数学模型［1］，很多问题都可以转化成数学模型进行教学，将复杂的问题简单化。而最后留在学生脑海中的，也一定是这些数学模型，这些模型将成为学生解决生活问题的方法，对今后的学习起到重要的作用。数学建模素养的内涵是极其丰富的，不仅体现在解决一个数学应用的问题，还蕴涵着内容、方法、步骤、手段、策略，乃至数学的精神。无论是课程标准还是教材的编写，都对数学模型思想给予足够的重视，让学生在学到知识的同时，培养数学建模能力。如何让学生向建模思维的深处行，落实建模的目标设定与实施，从而提高学生的建模能力呢？课堂的总结和反思是关键。

一、反思问题类型，形成建模目标

例如，教学“简单的周期”一课，设计以下练习活动和反思环节：

环节一：我是设计师：你能用○△□设计一组周期规律的图形序列吗？并且要让第28 个图形是△。画完想一想，在小组里说一说，你是怎么画的。

问题一出来，学生有的做沉思状，迟迟不动笔，有的拿出练习纸写写画画。不一会儿，就有学生举手示意完成题目，陆陆续续的，全部学生都有成果了。显然，这些设计图来得并不容易，从学生明显的擦拭痕迹能看出，应该是在反复试了画、画了擦的基础上，才得到最后的设计图的。不管过程有多曲折，结果都是对的，说理都是通的。

环节二：回顾刚才你是怎么画的，怎么做才能又快又好？刚才的题目是哪个类型的问题，以后遇到这种类型的问题时应该怎么做呢？先想一想，再和同桌说一说。

生1：我先用这三个图形画一组，共五个，又画了同样的五组，发现还要画3 个，就是28 个，三角形要排在第三个，所以把前面的每一组第三个都改成三角形。

生2：我认为做这道题目，一开始先不要动手画。要先计算，只要看余数，余数是几，就把△排在每组第几个；如果没有余数，就把△排在每组最后一个，计算完再画就会简单一些。

教师适时抓住重点追问：“是哪个类型的问题，以后遇到这种类型的问题应该怎么做呢？”学生迫不及待地补充：“这是周期问题，这种问题其实就是确定每组几个后，先列一道除法算式，然后看余数，再来画图。”至此，学生不仅能说出逻辑清楚的话，更重要的是思维不再局限于问题的表面，已然触及一种重要的数学思想——模型思想。上述活动设计，教师放手让学生尝试，他们最终也能设计出各种方案。相当一部分最终的结果，是在反复试错的过程中逐渐调整而来的，是缺乏方向性指导的。相对于数学学科的严谨规范的标准而言，这样带有侥幸心理的尝试和成功显然并不是我们所期待的。

模型的构建重在体验和探究，学生的学习也是体验和探究科学知识的过程。［2］然而，经历体验后，学生是否发现蕴含在问题解决过程中的丰富的数学思想，并主动总结？答案显然是否定的。此时，需要教师带领学生进行反思，在反思中总结问题类型，掌握解决此类问题的一般方法，形成建模目标。模型思想揭示的是数学对象内在的数学关系结构，它直接指向数学本质，抓住数学最核心的部分。细细分析，学生尝试画出的图其实是一种直观模型，接着要处理好直观与抽象的关系，充分发挥画图对除法模型的直观诠释作用。比如，除法算式中，“被除数、除数、商、余数”分别表示什么意思，帮助学生弄清除法模型的实际意义，感受到除法模型表示规律的一般性和高度的概括性，由此建立起具有统摄性、符号化的除法模型，这就是周期问题的建模目标。通过反复反思问题类型，形成建模目标，强调数学的内在架构，突出数学结构的形式化表达［3］，对学生而言，就是一种简约化的理性思维训练。再遇到类似问题，相信学生就能有章可循。

二、反思思考方法，学会建模手段

“怎样计算？”“为什么这样计算？”“有多少种计算方法？”一直是计算教学绕不开的话题。抽象的算理、枯燥的算法，往往让学生厌烦。如何把算理和算法模型变得直观、生动、深刻呢？以《小数加减法》研讨课为例，设计以下环节：

环节一：及时反思计算过程的思考方法，形成建立计算模型的手段。

师：小数计算2.75+1.4 算式的结果是多少？把你计算思考的过程记录下来。可以写一写或画一画。

师：谁愿意和我们分享你的思考过程？

生1：把2.75 和1.4 看作用元做单位，通过换算，得到415 分，就是4.15 元。

生2：把2.75 当作2.75 米，1.4 当作1.4 米，再化成厘米做单位。

生3：我是用2 元加1 元，7 角加4 角，还剩一个5分，这样一眼就看出结果是4.15 元。（见图1）

图1

师：这三位同学的方法有没有相同之处？

生4：都用了单位换算法，把两个小数转化成整数。

师：还有其他的解法吗？

生5：2.75 表示2 个1，7 个0.1 和5 个0.01，1.4 表示1 个1，4 个0.1 合在一起就是3 个1+11 个0.1+5 个0.01，也就是4 个1+1 个0.1+5 个0.01=4.15。我的方法虽然有点麻烦，但是容易理解，我是把每个小数拆开来计算的。

师：你明白他的意思吗？这里的11 个0.1 是怎样得到的？

生6：是7 个0.1 加4 个0.1 得到的。

师：把两个小数分别拆成几个1、几个0.1 和几个0.01 来思考，这种方法的依据是什么？

生7：小数的组成。

师：同学们不仅理解方法，还知道方法的依据。

上述活动中，教师抛出“他们的方法有没有相同之处？”“这种方法依据是什么？”等问题，引导学生归纳思考方法，积累计算算理的经验，形成建构。仅“单元换算”的方法，学生的计算过程就各有不同，且视角不同，有繁有简。正是这种不同，才使得学习素材更加多元，方法更加多样。由于每个学生的学习起点是不同的，思维方法是丰富多彩的，教师要让个性化的思维路径得以展现。

生8：我是用方格图来表示。（见图2）

图2

师：同学们创造了这么多的作品图。无论是图形图、计数器图还是方格图，都特别关注到什么？

生9：满十进一。

生10：把相同数位上的数相加。

学生用各种数学图形来呈现解题思路。通过对思考方法的相互评价，质疑创新、实现学习互补，在思维碰撞中加深对小数加减法算理的理解。思考方法越丰富，对数学知识的认识和理解就越全面、越丰盈，越接近其算理本质。

环节二：一步一思，由表及里，理解运算法则。

生11：我是用竖式来计算的。

师：为什么要把小数点对齐？而不把末尾对齐？

生12：因为小数点对齐了，数位才能对齐。

教师总结促反思：“同学们用文字表述、画图理解、单位换算、竖式计算等多种方法，把新知转化成旧知，这就是数学能力，这些不同的方法，有什么共同的特点？相互之间有什么联系呢？”

生13：相同点在于计数单位相同的数才能相加。

生14：这些方法是有联系的。无论哪种方法，都可以在竖式计算中找到过程，其实这几种方法，计算的道理都是一样的。

师：你们认为哪种方法最简洁呢？

生15：竖式计算最简洁。

教师结合对算理思考方法的梳理反思，引导学生对不同方法进行比对，发现异同，归纳概括。抽象的程度由浅入深，通过思维加工，使新旧知识模型构架融为一体，内化为学生自己的认知模型结构，有助于学生从不同的视角理解算理的内涵，完成对算理的本质建构。在梳理反思进程中，教师要关注思考方法，引导学生勾连各种表征之间的联系，并透过这种联系，全面理解数学对象的本质，透过多元表征透视知识内核，在习得方法的同时，促进思维向纵深发展，实现知识的多元建构、经验的多元积累、数学思维的多元发展。加深学生对数学对象的认识，完善认知结构，形成稳固的知识体系，促进学生的数学思维拔节生长，提升数学建模素养。

三、反思解决过程，掌握建模步骤

渗透模型思想，培养建模能力，反思解决过程，形成建模步骤，人教版教材也是有意如此编排的。在教材解决问题的教学中，低年级教材编排呈现解决问题的三个步骤：“知道了什么？”“怎样解答？”“解答正确吗？”中高年级则凝练成三部曲：阅读与理解、分析与解答、回顾与反思。教师要按照三个步骤组织教学，培养学生发现问题的能力、提出问题的能力以及分析并解决问题的能力。

例如，低年级“解决问题”教学时，引导学生把“解决问题”中叙述的生活语言抽象成数学语言，进而转化成数学运算的能力和习惯。把“应用题”先转化为“文字题”后，再进行列式解答，同时弥补了新教材中没有“文字题”例题的缺陷。如分析“15 人做游戏，平均每组5 人，可以分成几组？”的解题思路后，要写出“15 里面有几个5”，再列式解答。及时引导学生回顾反思，在解决这个问题时，经历了哪些步骤？又如，在具体教学中，可通过专项练习，引导学生述说思路。如根据哪些信息可以解决什么问题；要解决这个问题，需要什么信息；补信息补问题；画示意图或线段图等。让学生在讲述解题思路的过程中，引发自我反思，明确解题步骤，提高建模能力。

从核心素养角度来看数学建模能力，就是教学时，在现实情境的基础上进行数学抽象，在数学抽象的过程中构建数学模型，除了让学生经历“发现问题—提出问题—分析问题—解决问题”这四个过程，进而发展学生的四种能力：发现问题能力、提出问题能力、分析问题能力、解决问题能力，更应引导反思解决问题过程，以此达到“四会”：会用数学的眼光看生活、会用数学的思维想问题、会用数学的语言表述世界、会用模型思想解决问题。［4］教师适时把解决问题的几个步骤在回顾与反思环节让学生反思梳理，学生自然在每次梳理中，加深解决问题步骤的认识，形成自己的建模步骤。同理，每一次课堂教学中，教师要积极引导学生反思解决问题的过程，得出解决此类问题的一般步骤。

总之，在课堂教学中及时反思，让学生在反思中形成建模目标，学会建模手段，掌握建模步骤，才能切实提高学生的数学建模能力。