立足问题本质 激发创新思维（上）——导数题的求解思路探究

潘梅耘

导数在研究复杂函数单调性时，方法直观，功能强大：能求斜率，求切线、求单调区间、比较大小、求极值，求值域、探索图象分布等，从而能跟函数、解析几何、不等式、数列等联系，也使它成为新教材高考命题的热点．

常规套路：简单粗暴地求导，思路往往受阻，计算量大；

创新选择：选择新角度，构造新函数；

难点：需要有敏锐的观察力，数形结合、分类讨论的能力及理论上严谨性的探究要求高，主要体现在构造法、放缩法和反推法等的灵活运用．

不过一切问题的本质都是相通的，本文通过几道导数题的剖析，以期揭示问题的根源，激发思维的创新．

一、两次求导，旨在单调

例1已知函数f(x)=excosx−x，求函数f(x)在区间上的最值．

本质分析:导数正负性，函数单调性，极值端点比大小，函数最值可知晓．

解析函数定义域f′(x)=ex(cosx−sinx)−1．

一次求导，无法判号

令h(x)=ex(cosx−sinx)−1，

构造二阶函数

则h′(x)=ex(cosx−sinx−sinx−cosx)=−2exsinx.

二次求导

当x∈，可得h′(x)≤0，即h(x)在递减，

根据二阶导数正负性判断一阶导数的单调性

（思考一下，如果此时二阶导数的正负性不能明显确定，该怎么办？）

可得h(x)≤h(0)=f′(0)=0，则f(x)在递减，

得到一阶导数的正负性就得到原函数的单调性

所以f(x)max=f(0)=1,f(x)min=

得到原函数的最值

思维创新主导函数为超越型，“二次求导判号”，得函数单调性求最值．

二、恒存一家,分合转化

例2已知函数f(x)=(2−a)(x−1)−2lnx(a∈R)，对任意的恒成立，求a的最小值．

本质分析:不等式左右分，“全分半分可不分”，数形结合易理解，分类讨论显真功．

解法一（变量全分离）

变量分离构造函数

令l(x)=

则l′(x)=

一次求导，无法判号

构造局部有效函数

则m′(x)=

所以m(x)在上为减函数．

二次求导判号，得有效数单调性

于是m(x)>m=2−2ln 2 >0，

从而，l′(x)>0，

判断局部有效函数正负性即得一次求导函数的正负性

于是l(x)在上为增函数，

所以l(x)<=2−4ln 2．

得原函数的增减性和上限

故要a> 2−恒成立，只要a∈ [2−4ln 2,+∞)，即a的最小值为2−4ln 2．

得a的最小值

解法二（变量半分离）

因为函数f(x)=(2−a)(x−1)−2lnx(a∈R)，对任意的x∈,f(x)>0恒成立，

即(2−a)(x−1)−2lnx>0对任意的0

条件具体化

构造双函数

所以函数y1=(x−1)图象恒在y2=lnx，0

图象分布法

可求过(1,0)作y=lnx切线为y=x−1，过(1,0)和直线斜率为2ln 2，

图象临界位置

数形结合

所以a∈ [2−4ln 2,+∞)，即a的最小值2−4ln 2．

注意等号取舍

注意本解法采用二次求导研究函数图象，构造函数研究其单调性，观察其零点求解切点坐标，虽然缺少理论上的论证，但可作客观题求解，并可为理论研究作向导．

解法三（变量不分离）

因为f(x)=(2−a)(x−1)−2lnx，x>0，

所以f′(x)=(2−a)−，x>0.

导数含参讨论判号

(1)若a≥2，则f′(x)< 0，f(x)=(2−a)(x−1)−2lnx在上递减，

优先观察恒号之情形

(2)若a<2，则>0，f′(x)=

由于x>0，2−a>0，

故当0

确定可疑极点左、右单调性

当x>时，f′(x)≥0，f(x)递增．

优先考虑无极点之情形

所以f(x)>得2−4ln 2 ≤a<2，合题意．

利用单调性反推无解之情形

观察到f(1)=0，所以f<0，

所以a<−2不合题意．

综上，a≥ 2−4ln 2，所以a的最小值为2−4ln 2．

思维创新利用a<−2时f(x)min=>0，很难直接求解a的范围，结合单调性，就比较好说明f(x)min=

例3已知函数f(x)=x+xlnx，若k∈Z，且存在x>1，有k>成立，求k的最小值．

解析存在x>1，有所以k>

令g(x)=则g′(x)=

构造函数一次求导，无法判号

考虑分子h(x)=x−lnx−2,

h′(x)=

构造有效函数二次求导，能判号

所以h(x)在(1,+∞)单调递增．

二阶函数虽单调，但不恒号

由于h(3)=1−ln3 < 0,h(4)=2−ln 2 > 0，（想一想，3 和4 这两个值是如何想到的呢？）

由零点存在定理，∃b∈ (3,4)，使得h(b)=0 ．

零点理论确保隐零点的存在

所以x∈(1,b)时，h(x)< 0 ⇒g′(x)<0．

同理，x∈b(,+∞)时，g′(x)>0，

所以g(x)在(1,b)单调递减，在(b,+∞)单调递增，

反推一阶导数的正负性

故g(x)min=g(b)=

由h(b)=0得b−lnb−2=0 ⇒ lnb=b−2，

最值隐零点表示

可化简g(b)=b∈(3,4).

又k>b，k∈Z，得k的最小值为4．

化简限范围，得整数参数最小值

思维创新参变分离求最值，“零点理论保零点，设而不求限范围，隐零点关系表最值，化简求整得结论”，存恒本是同根生，“半分不分”自探真．