一类7次Liénard系统的中心判据

刘 娜， 余志恒

(1. 成都工贸职业技术学院 通识教育学院， 四川 成都 611731； 2.西南交通大学 数学学院， 四川 成都 611756)

0 引言

若平面微分系统的孤立平衡点的某邻域被周期轨所充满, 则称此平衡点为中心. 我们考虑如下平面向量场或微分系统

(0.1)

由于我们很难通过计算有限阶的Lyapunov量来作出中心判定, 而需要利用可积性或对称性来分析相应的向量场, 迄今为止, 许多微分系统的中心问题还没有得到解决, 甚至连一般三次多项式微分系统的中心问题也没有被完全回答. 因此, 人们把注意力放到了多项式Liénard系统的中心判定.

Liénard系统

(0.2)

(0.3)

的平衡点. 如果O为系统(0.3)的一个中心, 那么我们称其为Liénard中心. 如果f和g均为多项式, 则我们称O为多项式Liénard中心. 许多学者在f和g均为连续的奇函数, 并且满足当x> 0时,g(x)>0的条件下给出了O为系统(0.3)的Liénard中心的充分条件 (参见文献[4-9]).

1972年Cherkas[10]利用广义对称性给出了原点O为解析Liénard系统中心的一个充分必要条件, 这个条件是一个函数方程组解析解的存在性. 尽管Cherkas也讨论了多项式Liénard系统的中心问题, 但仅仅运用多项式结式分别给出了充分条件和必要条件, 并未告诉我们如何找出满足上述条件的系统. 在Cherkas工作的基础上, 1999年Christopher[12]考虑f和g为如下形式的多项式

(0.4)

其中ai,bi∈,b1>0, 他利用时间尺度变换(x,t)将(0.3)规范化, 使得b1=1,并运用Lüroth定理[11], 得到了如下关于多项式Liénard系统中心判定的一个充要条件:

Christopher的条件[12]:f和g如(0.4)所定义, 原点O为系统(0.3)的中心当且仅当f和g的原函数F和G满足

F(x)=A(M(x)),G(x)=B(M(x)),

(0.5)

其中A,B,M是多项式, 并且

Christopher的条件实际上把原点O是否为系统(0.3)的Liénard中心的问题转化成了(0.5)所涉及的两个函数方程是否有多项式解的问题. 尽管该条件为我们提供了一种判定原点O为Liénard系统中心的方法, 但是, 这个方法所衍生出的函数方程组的多项式解的存在性还需进一步的判定. 文献[13]中，作者运用消元定理及代数簇的极小不可约分解等多项式代数中的相关理论给出了一个可在计算机代数系统Singular上实现的算法, 可以用于5次以下的多项式Liénard系统，对由Christopher的条件所导出的函数方程组给出了存在多项式解的代数条件 (亦即多项式Liénard系统原点O为中心的条件).

本文我们考虑系统PL(6,7), 即次数为7的多项式Liénard系统, 其中degf=6,degg=7.我们将给出关于f和g系数ai,bi的最简代数条件以保证O为PL(6,7)的中心.

1 Christopher中心条件的一个算法

考虑引言中介绍的Christopher的条件, 由于实数域不是一个代数闭域, 这里我们把(0.5)中的所有实多项式视作[x]中的多项式, 并将获得的关于多项式Liénard系统中阻尼函数和回复函数系数的代数条件与实数域“相交”, 最终得到原点O为多项式Liénard系统中心的最简代数条件. 令

将他们带入(0.5), 我们可以得到环[αis,βis,mis,ais,bis]中的多项式代数系统

PS:={p1,…,plk+sk-2}.

Christopher中心条件的一个算法：

Input: (0.4)中的多项式f和g.

Output: 原点O为系统(0.3)的中心的最简代数条件.

Procedure:

Step 1根据函数方程组(0.5)选取

其中

k:=max{m+1,n+1}≥3,l,s≥[k/2].

令PS:={p1,…,plk+sk-2}⊂[αis,βis,mis,ais,bis].

Step 4设定项序为字典序, 变元序为αis>βis>mis>ais>bis, 运用多项式代数系统Singular中的命令eliminate消去变元αi,βi和mi并得到一个仅含ai和bi的代数系统, 记作PS′.

Step 5运用Singular中的库primdec.lib中的命令minAssGTZ计算PS′的代数簇的极小不可约分解, 并由此获得函数方程组(0.5)有多项式解关于多项式f和g系数ai和bi的最简代数条件.

Step 6将Step 5中获得的条件重新带入PS, 反解αi,βi和μi并判定它们是否为实数, 即Step 5中的条件在实数域中是否成立, 最终找出原点O为系统(0.3)的中心的条件.

2 PL(6,7)的中心条件

根据上述算法, 我们可以获得PL(6,7)原点O为中心的代数条件.

定理1在PL(6,7)中, 原点O为Liénard中心当且仅当以下条件之一成立：

(i)a2=a4=a6=b2=b4=b6=0;

(ii)a1b2-a2=a1b3-a3=a1b4-a4=a1b6-a6=b7=0;

自2016年，科技部国家重点研发计划项目立项“河套平原盐碱地生态治理关键技术研究与集成示范”后，2017年2月，内蒙古自治区人民政府下发了《内蒙古自治区“改盐增草（饲）兴牧”示范工程实施方案》，遵照内蒙古自治区政府“先做好示范”的指示精神，五原县率先启动实施5万亩“改盐增草（饲）兴牧”试验示范项目。

此外，在(i)中

在(ii)中

在(iii)中

证明基于以上判断原点O是中心的算法，当f和g满足degf=6,degg=7时，为了求解系统(0.5)对应的函数方程组，我们选择:

将(2.1)代入系统(0.5)中的形式化的多项式，然后比较系数，我们就得到了一个如下的多项式代数系统：

…

…

(1)m8=0;(2)α4=β4=0.

我们以情形(1)为例来展示定理1中的条件的导出过程. 情形(1)又可以分解为以下4种子情形：

2)m8=m7=m6=m5=α4=β4=0,

3)m8=m7=m6=α4=β4=0,

4)m8=m7=α4=β4=0.

我们现在只讨论子情形>2)给出的条件的导出过程.其他的情形可以类比子情形>2)得出.

在子情形>2)的条件下，多项式系统APS(6,7)可以改写成如下的子系统APS′(6,7):

由上节算法的第四步，利用计算机代数系统Singular中的消元包eliminate消去变元αi,βi和mi，我们可以得到一个较为简洁的多项式系统PS：

对于系统PS用上述算法的第五步，即运用minAssGTZ包对上述代数系统进行极小不可约分解，我们可以找出系统PS对应的代数簇的极小不可约分解：V(h1,…,h21)=SI∪SII，其中

显然的条件SII包含于条件(ii)中，因此在这种子情形下我们只需要考虑SI, 运用算法的第六步，将其返代回APS(6,7),我们可以反解出αi,βi,mi,即:

证毕.

3 结语

定理1的过程告诉我们系统PL(6,7)所对应的中心条件都是必要且充分的. 另外, 我们的算法对于高次 (m>6或n>7)情形也是有效的.