立足生本，在“证据”中探寻思维本质

王娟

【摘 要】数学是思维的体操，但如何让学生的思维“寻迹可现”，就需要我们去把握学生思维生长的“证据”，让“证据”去体现学生的思维过程。本文将基于学生学习过程中的“证据”，从课前的自学导航、课中的实际操作、课后的作业草稿和思维导图几个方面着手，探寻学生的思维成长路径，培养学生良好的数学学习习惯，进而优化学生的思维品质。

【关键词】数学思维 学习力 数学学习习惯

数学作为一门研究数量关系和空间形式的科学，具有严密的逻辑性、高度的抽象性和概括性。因此，教学活动应当围绕学生的思维生长规律开展，这是数学思维本质属性的必然要求，它决定了教师的“教”和学生的“学”都要有“据”可循。比如，课前的自学导航、课中的实际操作、课后的作业草稿和思维导图等，这些事实性的材料均可以展现学生的思维过程，促使学生的思维过程从内隐到外显，提升学生数学思维的能见度。在此基础上，教师能够更加精准地把握学生的真实学情，从而及时调整教学策略，提高课堂教学效率。

但在传统的课堂教学中，教师的备课往往是依据以往的教学经验和教材，对学生的课堂呈现进行预设，然后再按照教案按部就班地教学，教学策略死板、生硬，对于课前、课中、课后的“生成”关注不够，错失了大量的优质教学资源。究其根本原因，是因为教师在备课时仅仅关注到了“备教材”而忽视了“备学生”。这就要求教师需要通过多种方式鼓励学生个性化地表达自己的思考过程，从而真实有效地展示出不同层次学生思维发展情况，在交流碰撞中深化对知识点的理解，发展学生的数学思维，实现“不同的学生在数学上得到不同的发展”的教学目标。

一、自学导航，让每一次教学优化都“有理有据”

自学导航作为学生前置性学习的有效载体，能够有效引导学生课前的自主学习、动手操作、独立思考等，是架构学生自主学习和课堂教学的桥梁。教师在设计自学导航时通过提出明确的自学要求，通过任务分解、学习指导、练习检测等方式让学生提前介入学习。学生在自学导航中呈现的学习痕迹就是思维发展的重要“证据”。教师需要在实际上课之前分析学生的自学导航情况，“寻迹”学生的思维发展过程，做出判断并分析，进而及时调整教学策略。所以说，自学导航在强化学生的自主学习能力的同时，也为教师的教学优化提供了依据——教师通过学生的自学导航做出判断、分析，在实际课堂教学时再以“关键性的追问”引导学生向思维更深处漫溯。它是探寻学生思维过程、优化课堂教学、促进思维发展的一个重要“证据”。

【案例】在教学小数乘小数之前，学生已经掌握了小数加减法和小数乘整数的计算法则，因此在已有经验的基础上，教师要求学生先借助自学导航自学这部分内容，由于学生已经知道在计算小数加减法时小数点要对齐，小数乘整数时小数点是和乘数中的小数的小数点对齐，导致学生在自学计算一位小数乘一位小数时，受经验思维和习惯性思维的影响，认为积的小数点也应该和乘数的小数点对齐（如图1）。

通过收集、分析学生的自学导航，教师发现大多数学生在自学过程中都认为“积的小数点应该和乘数的小数点对齐”，于是在授课时教师将重点放在了引导学生理解小数乘法计算中小数点的确定上（如图2）：

把3.8扩大到10倍看作38，把3.2扩大到10倍看作32，那么积就扩大到100倍，所以1216要除以100，也就是12.16。

在这一环节中，教师引导学生通过观察、比较分析，主动地抽象、寻找出小数乘小数计算中乘数与积的小数位数的关系，明确点小数点的方法，进一步体会知识点之间的内在联系。基于自学导航中的“证据”，教师了解到学生受经验思维的影响产生了错误的结论。借此教师通过优化的教学设计，用大量的时间引导学生理解、体会正确方法的形成，发展学生的理论思维和分析思维，感受数学知识和方法的应用价值，促进学生良好思维品质的发展。

二、实验操作，让每一次思维进阶都“有路可循”

数学课程标准在“基本理念”中指出，“学生的数学学习内容应当是现实的、有意义的、富有挑战性的，这些内容要有利于学生主动进行观察、实验、猜测、验证、推理与交流等数学活动”;在“关于目标”中强调，“探索主动参与特定的数学活动，通过观察、实验、推理等活动发现对象的某些特征或与其他对象的区别和联系”;在培养学生推理能力方面要求，“经历观察、实验、猜想、证明等数学活动过程，发展合情推理能力和初步的演绎推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点”。由此可见，“实验操作”是促进学生思维发展的重要途径。

【案例】通过课堂教学，学生已经掌握三角形的面积=底×高÷2，并且能够理解三角形面积公式的推导过程：把两个完全一样的三角形拼成一个平行四边形，再把平行四边形的面积除以2。由于学生之前已经学习过平行四边形的面积计算，对于这种转化方法也比较容易接受。但在备课的时候，教师发现在教材第10页“你知道吗”又介绍了关于《九章算术》中三角形的面积计算。（图略）

为此，教师不禁有这样的疑问：想要推导三角形的面积公式是不是只能通过转化成平行四边形？很显然答案是否定的。基于这样的想法以及学生已经掌握的知识，教师设计了如下的实验方案（见下表）：

通过教师的引导，学生之间的小组合作、交流讨论，最终学生得出了多个三角形面积的推导方法。（如图3-1、3-2、3-3）

在上述实验操作中，学生经历了再发现、再创造的探究，在此过程中学生的思维在不断进阶，对三角形的面积计算有了进一步的巩固，并且掌握得更加扎实，对转化的数学思想也有了进一步的感悟，促使数学知识的再次生长。

三、作业草稿，让每一次思考过程都“留有痕迹”

数学课程标准在数学思考方面明确地提出了：在解决问题的过程中能进行简单的有条理的思考。如果再适当地加上思考的“痕迹”，那么会在学生学习的过程中呈现充分的思考“依据”。另外，将复杂的文字描述转换成数学语言，也能培养学生的抽象逻辑思维以及应用意识和创新意识，利用图像表征，将数学符号意识和数学几何直观意识运用到数学学习中，这样的转换思维模式所留下的“痕迹”是弥足珍贵的。因此，在实际教学中，教师要鼓励学生在作業或试卷中保留思考的“痕迹”，并以“草稿”的形式表现出来。

在实际教学中，教师们经常会发现，学生的作业答案明明是正确的，却说不出自己的思考过程。这是因为学生在写作业或考试时思维往往是“灵光一现”，随着作业的完成或者考试的结束，这“一现”也就“销声匿迹”了。为了提升学生思维的持久性，也为了便于学生进行回顾反思，教师应要求学生在答题的过程中尽量写下一些重要的步骤、简要的过程，留下自己思考推理的“痕迹”。

【案例】在分数乘法和分数除法的学习中，由于单位“1”的变化，学生对于分数意义的理解最容易出错，因此在实际教学中，教师应要求学生在遇到这样的题目时，要先标注单位“1”，再写下具体的份数，然后再分析数量之间的关系，最后推理结果（如图4）。

这样的题目学生能全做对的很少，有些学生看到题目里的几个量颠来倒去就已经迷糊，接下来就只能靠运气了。通过这样的方法引导学生分析数量之间的关系，写出一些简要的过程，留下自己推理的“痕迹”，既能加深理解，也能为日后的回顾留下“依据”。

此外，在教授完《分数的基本性质》后，学生都知道“分数的基本性质”是指：分数的分子和分母同时乘或除以一个相同的数（0除外），分数的大小不变。可是在做题目时，一旦题目出现“分子增加几”，他们也想当然地认为“分母也增加几”。因此，教师要引导学生用草稿的形式将自己的思考过程写下来。（如图5）

俗话说：“好记性不如烂笔头。”在上述两个案例中，学生可以通过写出简要的思考过程，将需要记忆的或思考的内容呈现出来，以减少学生在脑中进行信息加工的时间，提高效率。同时，留下推理的“痕迹”也有利于学生在复习时迅速唤醒思维，提升学习力。

四、思维导图，让每一次学习能力都生长提升

数学知识之间是有联系的，具有严密性和系统性的特点。教师要引导学生将平时所学到的知识进行分类，形成知识网，延续学生的思维过程。同时还要将知识点进行比较、分析，从而达到“学一点懂一片，学一片会一面”的目的，加深对所学知识的理解，举一反三、触类旁通，提高学生的发散思维和创造性思维。

【案例】在新授之前，教师要求学生在自学的基础上，将所学到的知识点以思维导图的形式整理出来，在授课结束后，再进行补充、完善。同时教师还把学生中一些比较好的思维导图在全班学生面前进行展示。（图略）

不可否认，数学中一些知识点的学习是枯燥乏味的，但像上述案例中思维导图的应用不仅可以有效提高学生理解掌握数学知识的效率，还可以发展学生的思维，增强学生的数学素养，甚至还有利于营造轻松和谐的课堂氛围，激发学生的学习兴趣，让课堂变得更加精彩。巧妙地运用思维导图，会让学生逐渐爱上数学课，主动地学习数学，从而有效提高学生学习数学的能力。

立足生本，从来都不能只是一句口号。教师要通过探寻学生在学习过程中留下的思考“痕迹”，在“证据”中探寻学生的思维发展历程，把握思维生长本质，最终实现学生思维的进阶。这是当下主流教学理念的一种继承与创新，对于提升学生的数学学习力，发展数学思维，提升数学核心素養有着重要的现实意义。