理清困惑，使教学更自然

【摘 要】 教材是教师实施教学的抓手，教材中每个知识点都是有理可依、有据可循的.然而由于教材中呈现的知识点大多数都是静止的，缺少知识形成过程中思维的再现，需要教师对教材中的内容进行解读.对解读中遇到的困惑，能积极思考，勤于钻研，通过类比联想，贯通知识间的联系，从而理清困惑，使教学更加自然，使学生知其然，知其所以然，知何由以知其所以然.

【关键词】 困惑;因式分解;教学体验

1 现状分析

提到“因式分解”这节课，很多教师都觉得不好上，很多学生听完这节课后，感觉一头雾水，不知所以然.经过调查，发现很多教师对因式分解的认识是肤浅的，碎片化的，只是一味地传授知识，对于因式分解的学习，让学生只知其然，却不知其所以然，最终导致学生课后产生很多困惑[1].学生的困惑主要有如下三个方面：（1）不知道为什么要学习因式分解;（2）对因式分解的概念理解不清，不知道什么是因式分解;（3）不知道怎样进行因式分解等等.笔者针对学生所产生的这三个主要困惑，进行追根溯源，深入分析，把这些问题解释清楚，使得教师对因式分解的教学能有所启发和感悟，使得学生学完这节课后不仅要“知其然”，还要“知其所以然”，更要“知何由以知其所以然”.

2 教材分析

筆者翻开江苏科学技术出版社七年级下册第9章“整式乘法和因式分解”和人民教育出版社八年级上册第14章“整式的乘法与因式分解”，对其内容进行仔细解读，发现这两本教材都是由整式的乘法引入，然后把等号左边和右边反过来，就开始定义“因式分解”.

很多教师觉得因式分解是整式乘法的逆向形式，把它安排在整式乘法之后，这是理所当然的，是很“自然”的.由于教材中每一章的知识点大多数都是静止的，缺少知识形成过程中思维的再现，如果教师照本宣科进行教学，只是传授知识，那么他的学生就只知道是什么，却不知道为什么，对于刚学习因式分解的学生来说，他们得到的认知就是因式分解是整式乘法的逆向形式，对于为什么要学习因式分解并不清楚.

事实上，教材中每一章的知识其实都是有联系的，自然的，清楚的，这就要求教师要深入思考，类比联想，贯通知识间的联系，思考这个新知识为什么要这样定义？为什么要学习它？其实这些疑问并不是难以搞懂，只要教师积极去探究，去思考，去交流，就有产生顿悟的时候.教师弄明白了，教学时才会得心应手，以后再遇到这节课时，才能自信满满，胸有成竹.

再仔细推敲课题“整式乘法和因式分解”，很多教师和学生会感觉很困惑，为什么把因式分解和整式乘法联系在一起，难道就是因为把整式乘法左右两边的整式反过来写，就变成了因式分解的原因吗？答案是不全面的.

3 类比联想

按照常理，当整式的乘法学完后，我们应该学习整式的除法，这样安排才合情合理.教材中紧接着为什么不学习整式的除法，反而学习因式分解呢？整式的除法和因式分解会不会存在一定的联系？

3.1 为什么要学习“因式分解”

对于整数的乘法来说，结果仍是整数，但是整数的除法，结果就不一定是整数了，比如：2÷3=2[]3，有时也会出现能约分的情况，比如：6÷8=68，把68约分后得到34才是最终结果.

对于整式的乘法来说，结果仍是整式，那么，整式的除法的结果呢？比如：整式a除以整式a+1，只能表示为aa+1，这并不是整式.当然也会出现能约分的情况，比如：2aa2，显然分子和分母都存在公因式a，把a约掉，得到结果2a.这是以后学生要学习的分式约分.如果遇到a2-b2a+b，根据整式乘法的逆向形式把分母a2-b2进行恒等变形，变成（a+b）（a-b）.分子和分母中都存在公因式a+b，也要进行约分，如果分子和分母有公因式，没有进行约分，显然不是最终结果.所以，学习“因式分解”是为了以后学习整式的除法，尤其是学习分式，进行分式的运算时，才学习“因式分解”的，这就是学习“因式分解”的必要性.

3.2 什么是“因式分解”

为什么要把一个“多项式”变成几个“整式”的“积”的形式，学生对此并不是很清楚，有的学生甚至把一个多项式因式分解后，又用整式乘法计算，最后又变回原来的多项式.类比整数的除法，在小学对于两个整数的除法约分，约去的是分子和分母的最大公因数，对于整式的除法，如果整式除以整式，这两个整式都是单项式，比如：2aa2，其分子和分母就已经是数字和字母的积的形式，可以直接进行因式约分，不需要转化;

如果整式除以整式，这两个整式至少有一个是多项式，当分子和分母存在公因式时，就需要把这个多项式进行“因式分解”，才能找出分子和分母的公因式，比如：aa2-a，就需要将a2-a转化为积的形式，即a2-a=a（a-1），把分子和分母中的公因式a约去，才能得到最终的结果，所以，因式分解是把“多项式”进行分解，而“单项式”并不需要.

对于整式的除法2a2a+1，学生为了能够进行除法计算，往往会把2a+1变成2（a+12）或者a（2+1a），可以想象，小学学习分数约分时，由于23已经是最简分数，学生不会把23再化成22×1.5而得到11.5.所以，对一个多项式进行因式分解，要保证分解后的每一个因式都是“整式”，一般地，每个因式中的每一项的系数以及常数项都是整数.

当然，对于“因式分解”，也不能出现为了约分而错误分解的情况，比如：2a2a+1，有的学生就会直接把2a+1中的2a和分子中的2a约分，得到2a2a+1=1，这显然是错误的，因为2a并不是2a+1的因式，不能和分子中的2a进行约分.整数的除法，约分约的是分子和分母中的因数，类似地，整式的除法，约分约的是分子和分母中的因式，所以，一定要把一个多项式化成几个整式的“积”的形式才能进行整式的除法运算.

3.3 因式分解为什么要“分解到不能再分解为止”

很多学生在刚刚学习因式分解时，会拿着书来问我：“老师，书上说的把一个多项式写成几个整式的积的形式，叫做多项式的因式分解.因式分解为什么要分解到不能再分解为止呢？把2a2-2b2写成2（a2-b2）难道不是因式分解吗？”这时就需要给学生讲清楚道理，让学生知其然，并知其所以然.类比联想整数的除法，比如：6÷20=620，如果把6分成2×3，20分成4×5，620=2×34×5，显然无法进行约分，要想进行约分还需要对4进行质因数分解，把4变成2×2，得到2×32×2×5=310，从而完成约分.对于整式的除法，比如：a+1a3-a，如果只把分母a3-a分解为a（a2-1），得到a+1a3-a=a+1a（a2-1），无法进行约分，还需要把a（a2-1）继续进行分解，即a（a2-1）=a（a+1）（a-1），则a+1a3-a=a+1a（a2-1）=a+1a（a+1）（a-1）=1a（a-1）.可知，整数除法中对合数进行分解质因数和整式除法中把多项式分解到不能再分解为止，其道理是一样的，所以，因式分解一定要把多项式“分解到不能再分解为止”.

3.4 怎样进行因式分解

我们知道：（1）单项式乘以单项式结果仍然是单项式，其逆向形式不属于因式分解;（2）单项式乘以多项式结果是多项式，其逆向形式属于因式分解;（3）多项式乘以多项式结果是多项式，其逆向形式也属于因式分解.所以，因式分解的结果要么是单项式乘以多项式，要么是多项式乘以多项式，在学习因式分解时遵循从简单到复杂的过程，先学习提公因式法，再学习公式法.由于对于很多多项式来说，如果不先提取公因式，是不能运用公式法来因式分解的，比如：2a2-8.对于用提公因式法进行因式分解，对于公因式是多项式时，让学生先观察多项式有几项，找出每一项的因式，然后再确定公因式，把公因式作为一个整体提取出来，比如2a（x-y）+3b（x-y）.

4 教学设计

理清了学生产生的困惑，基于以上对因式分解的认知体验，笔者设计如下的教学环节：

活动一 （针对为什么要学习“因式分解”而设计）

问题1 同学们，我们小学曾学习过整数的运算，当整数的乘法学习后，我们会学习

整数的除法，类似地，我们学习了整式的乘法后，接下来该学习什么？

设计意图 通过学习整数的加减乘除运算，很自然地，学生会把学习整数运算的经验迁移到学习整式运算的过程中去，让学生把学习整数运算的过程和学习整式运算的过程进行类比联想.

问题2 整式有单项式和多项式，该如何研究整式的除法呢？

设计意图 引导学生自然地想到单项式与单项式的除法，单项式和多项式的除法，多项式和多项式的除法.

问题3 那我们就来探究这三种类型的整式除法，思考该如何计算？

计算：（1）2a3a;（2）a（a+1）a;（3）a2+aa;（4）（a+b）（a-b）a+b;（5）a2-b2a+b.

设计意图 通过（1）让学生明白，整式都是单项式的除法，因为单项式是数字和字母的积的形式，可以直接约去分子和分母中的因式.

通过把算式（2）和（3）中的多项式除以单项式进行比较，把算式（4）和（5）中的多项式除以多项式进行比较，学生发现要想计算（3）和（5），就需要把其分别转化成（2）和（4）才能计算，而这个思考的过程是让学生感悟到要想约分，首先应该对“多项式”进行这样的恒等变换，而“单项式”已经是数字与字母的积的形式，不需要变换.通过把一个多项式变成几个整式的积的形式后，就能完成整式的除法运算，这就是我们为什么要学习“因式分解”.

活动二 （针对什么是“因式分解”而设计）

问题4 我们把30化成2×3×5这三个整数的积的形式，叫做30这个数的因数分解，类比因数分解，把a2+a写成a（a+1），a2-b2写成（a+b）（a-b）的形式叫做什么？

追问：说一说什么是因式分解？

设计意图 通过类比因数分解，引导学生很自然地，对一个多项式变成几个整式的积的形式命名为“因式分解”，然后对因式分解的定义进行强调：等号的左边一定是一个多项式，右边是整式的积的形式.

问题5 计算：（6）a+1a（a+1）（a-1）;（7）a+1a（a2-1）;（8）a+1a3-a.

追問：你觉得把一个多项式进行因式分解需要注意什么？

设计意图 通过学生对三个相同的除法计算进行比较，发现：要想计算（8），如果只把a3-a分解为a（a2-1），将其转化为（7），显然是不能计算的，还需要将其分母继续转化，把a（a2-1）再分解为a（a+1）（a-1），才能进行计算，所以，因式分解一定要分解彻底，即“分解到不能再分解为止”.

问题6 下列属于因式分解的变形有哪些？

（1）4ab=2a·2b;（2）x2+2x+1=x（x+2）+1;

（3）x（x+2）=x2+2x;（4）a2-2=（a+1）（a-1）;

（5）2a+1=a（2+1a）;（6）x2-4=（x+2）（x-2）.

设计意图 通过学生对这6个小题的思考，使学生对因式分解的概念理解地更加深刻.（1）是让学生理解因式分解是把一个多项式进行分解，而不是单项式;（2）是让学生明白因式分解最终是把一个多项式转化为整式的积的形式，而不是和的形式，因式分解并不是把多项式中的一部分进行分解;（3）是让学生理解因式分解和整式乘法的区别;（4）让学生明白因式分解是一种恒等变形;（5）让学生感悟因式分解最终是变成整式的积的形式，分解后的每个因式仍是整式;（6）让学生感受因式分解的正确形式——恒等变形，等号左边是多项式，右边是几个整式的积的形式.

活动三 （针对怎样进行“因式分解”而设计）

问题7 你能写出一个多项式，并对其进行因式分解吗？同桌互相交流讨论一下.

追问1：把每组写好的多项式派代表写在黑板上，说说是如何想到这个例子的？

追问2：还有相同类型或者不同类型的例子吗？说说看.

追问3：我们先看第一类（能用提公因式法进行因式分解的一类），这些类型的多项式

有什么共同特点？

追问4：你能运用这种方法把这一类多项式因式分解吗？

追问5：你觉得应该怎样对这一类多项式进行因式分解？

设计意图 这个活动的设计较为开放，多项式从学生中来，然后再到学生中去，由于因式分解和整式乘法是方向互逆的恒等变形，所以学生会很自然地想到能用提公因式法进行因式分解的多项式，当然也会有学生想到能用公式法进行因式分解的多项式，这可以作为本节知识的生长点，作为第二类去探究，这样教学能让学生抓住因式分解和整式乘法的紧密联系，从学生的角度出发，排除学生的困惑，把因式分解的来龙去脉想清楚、讲明白，教师教起来才会很自然，学生听起来自然会很清晰，理解也会很透彻.

活动四：（针对学生学得如何而设计）

问题8 这节课，我们为什么要学习因式分解？经历了哪些过程？

问题9 为自己的同桌出6道用提公因式法进行因式分解的题目，并互相批改.

问题10 下节课，我们要学习什么呢？

设计意图 这个活动的设计，引发学生对本节课的知识进行回顾反思，并且归纳总结，学生在问题的引领下，会自然得出学习因式分解的原因，总结出什么是因式分解，并且学会用提公因式法对一类多项式进行因式分解，下节课将学习用公式法对另一类多项式进行因式分解，学生的思路很清晰，不仅知其然，还知其所以然，更知何由以知其所以然.

5 教学反思

中国数学教育家傅种孙先生曾说过：“知其然，知其所以然，知何由以知其所以然——启发学生，示以思维之道耳！”[2]教学的第一个层次是“知其然”——以知识为立意，只知道知识是什么，不知道为什么，没有对知识的来龙去脉进行追根溯源;第二个层次是“知其所以然”——以能力为立意，不仅仅知道知识的要义是什么，而且揭示知识的发生过程为什么是这样，它是在第一个层次的基础上进一步发展和提升;第三个层次是“何由以知其所以然”——以育人为立意，是知识的重构、再发现，亲历知识的生长过程，揭示知识的构想和发现过程，以及相关的数学思想方法.教学中既要见树木又要见森林，把对知识的认识和理解置于数学整体的高度去理解，第三层次是前两个层次的进一步发展和升华.教学应在“何由以知其所以然”上下功夫，这样才有可能在“如何使学生想得到”上有所突破.

日常教学中，教师在教学设计时立意要高，比如在设计“因式分解”时，不仅只停留在知其然，知其所以然，而且为何由以知其所以然而努力，从因式分解的背景、形成过程，必要性感受到学习“因式分解”是自然而且合理的，不仅让学生体会到为什么要学习“因式分解”，还要让学生理解学习“因式分解”其实是以后学习分式的运算和用因式分解法解一元二次方程的基础，更要让学生明白从整数除法到整式除法是数学逻辑内在使然，整式除法比整数除法更具有一般性.教学设计既要关注学生实际的认知，也要注重学生长远的发展，从而实现课堂教学的育人价值.

课堂教学中，教师要对每一节课产生的困惑进行思考，思考为什么这个知识点学生学习起来会比较困难，教学中该如何设计才能突破这个难点，如何设计才能把新旧知识联系起来，实现新旧知识的衔接，如何设计才能使知识自然生成，使学生真正体验并且感悟知识的产生和发展过程.

筆者曾经听了一节区公开课“分式”，结束后和一个学生聊天，想通过这节课了解学生对分式的理解，就问学生：“你知道为什么要学习分式吗？”一个学生竟然回答：“为了考试.”有的学生犹豫了半天，没有说出学习分式的原因.可见在当今的升学压力下，一些学生很少关注知识产生的必要性，以及知识的发生和发展过程.大多数学生认为学习就是教师教什么，自己就学什么，现在的学生大多是被动地学习，对学习的兴趣不强烈，导致他们误认为学习只是为了考试，没有其它价值.这样的学习过程只是一个执行标准的过程，这样培养出的思维只能是一个“打工者”的思维[3].

初中数学教学内容，像分式，反比例函数，相似等等，其实教师在每节课备课时都会产生一些困惑，而这些困惑，如果教师理解不清楚，学生就更加不会清晰，学生只能知其然，不能知其所以然，更不知何由以知其所以然.所以，教师对每一节课产生的困惑，不能得过且过，要积极思考，勤于钻研，通过类比联想，贯通知识间的联系，并主动和优秀教师交流，排除困惑，这样设计出来的课，才是一节让知识自然生长的课，才能引领学生经历数学知识产生和发展的过程，才能让学生主动去思考、发现、领悟数学知识，才能知道知识从哪里来，要往哪里去，感受并领悟知识的真谛.这样设计出来的课，学生对知识的理解才更加透彻，才能真正掌握并灵活运用知识，才能真正达到育人的目的.

参考文献

[1]王峰.困惑——中学数学教师撰写论文的源泉[J].中学数学教学参考（上旬），2015（5）：69-72.

[2]张安军.从几个教学片段谈概念教学立意的三个层次[J].中国数学教育，2017（9）：22-25.

[3]卜以楼.生长数学：卜以楼初中数学教学主张[M].西安：陕西师范大学出版社，2018：1-20.

作者简介 万涛（1984—），男，中学高级教师，南京市鼓楼区数学学科教学带头人，南京市鼓楼区优秀青年教师.2020年获江苏省第五届教育科学优秀成果奖一等奖，曾多次获得南京市教育案例一等奖和鼓楼区初中数学青年教师基本功大赛一等奖.主要从事初中数学体验教学研究.