用几何画板探究高考数学题

陈咸存

（宁波幼儿师范高等专科学校 鹤琴学前教育学院，浙江 宁波 315336）

《数学课程标准》提倡将信息技术与数学课程整合，信息技术要“致力于改变学生的学习方式，使学生乐意并有更多的精力投入到现实的、探索性的数学活动中去”。作为可操作的探索工具，信息技术不仅能够有力地促进学生创新意识的发展，而且能帮助学生从一些繁琐、枯燥和重复性的工作中解脱出来，使他们有更多的机会动手、动脑、思考和探索，真正意义上尊重学生的创造性，充分挖掘学生的潜力，促进生生、师生之间的交流与合作，使不断提出问题、解决问题的学习成为可能。

几何画板是由美国Key Curriculum Press研制的优秀数学软件，用这个软件可以帮助我们进行数学实验、探索图形规律、验证数学结论等。下面试图用几何画板对2020 年高考数学全国理科Ⅰ卷20 题进行可视化探究[1]：先在计算机上直观地获取大量信息，进行选取，然后归纳猜想。学生可以验证自己的猜想，自己发现新命题，并在这个过程中获得逻辑证明的思路。

设椭圆的左顶点为A(-3,0)，用[绘图]中的[绘制点]命令画点H(6,0)，过点H 作x 轴的垂线即为直线6=x，在直线6=x上任作一点P，连PA 交椭圆于点C，连PB 交椭圆于点D，作直线CD，选中点P 与直线CD，用[构造]中的[轨迹]且采样数量为10 得到10 个不同的点P对应的10 条直线CD，从图1 上可见这10 条直线经过一定点。可改变轨迹的采样数量如20，得图2，从图2 上也有这20 条直线经过一定点。因而由几何画板直观性从图1 与图2 可猜想直线CD 恒过一定点，其实有结论1 成立。

图1

图2

为节省篇幅证明略，可见结论2 的证明。

下面从几个维度借助几何画板对例题进行可视化探究，首先在几何画板里得到直观的结论或猜想，然后用传统的演绎推理加以证明，为信息技术与数学的深度融合提供可借鉴的教学案例。

一、特殊到一般的案例分析

图3

二、长轴到短轴的案例分析

原来A，B 为椭圆长轴上两顶点，换成短轴上两顶点是否还有类似结论成立？如图4，A，B 分别为椭圆E：的 上、下顶点，类似在几何画板里选中点P 与直线CD，用[构造]中的[轨迹]且采样数量为8 得到8 个不同的点P 对应的8 条直线CD，从图4可见这8 条直线经过一定点，一般有结论：

图4

三、椭圆到二次曲线的案例分析

设想椭圆换成双曲线或抛物线，是否也有类似结论成立？

（一）双曲线

将图3 中的点N 拖到⊙O 外，此时T 的轨迹：以点O 与点N 为焦点的双曲线（可证为定值即⊙O 的半径）[3]，如图5。类似在几何画板里选中点P与直线CD，用[构造]中的[轨迹]且采样数量为6 得到6 个不同的点P 对应的6 条直线CD，从图5 可见这6条直线经过一定点。

图5

证明：略，与结论2 类似可证。

特殊地当点P所在的直线为双曲线准线即

（二）抛物线

如图6，设A 为抛物线E：y2=2px(p＞0) 的顶点，P 为直线sx=上的动点，PA 与E 的另一交点为C，过点P 作x轴的平行线交E 于点D[3]，类似在几何画板里选中点P 与直线CD，用[构造]中的[轨迹]且采样数量为20 得到20 个不同的点P 对应的20 条直线CD，从图6 可见这20 条直线经过一定点。一般可证：

图6

结论6：如图6，已知A 为抛物线E：y2=2px(p＞0)的顶点，P 为直线x=s上的动点，PA 与E 的另一交点为C，过点P 作x轴的平行线交E 于D，则直线CD 过定点(-s,0)。

证略。

特殊地当点P所在的直线为抛物线准线即x=-p时，直线CD 恒过抛物线的焦点(p,0)。

从上面的案例看到对一高考题从几个角度进行了推广，充分利用几何画板的直观性尝试了可视化探究。至此可见，信息技术与数学的深度融合，为数学教学提供一种新的学习环境，使数学思想形象化，使学生亲历数学知识的形成以及探索规律的过程。