作业何为·何以为——以人教版四年级上册“三位数乘两位数”作业设计为例

文∣陈幼玲 陈六一

人教版将“三位数乘两位数”这一内容安排在小学数学四年级上册的表内乘法、多位数乘一位数和两位数乘两位数之后；即“三位数乘两位数”是乘法运算学习的第四个阶段，也是整数乘法运算学习的最后一个内容。其实三位数乘两位数的竖式计算方式、方法、程序与两位数乘两位数相似，本可以连着教学，但是，两位数乘两位数的积不会超过10000，而三位数乘两位数的积通常会超过10000，这就需要学生在掌握大数的认识之后才能进行学习。三位数乘两位数由于计算步骤多，容易造成错误，更需要具有良好的计算、验算习惯以及数感。所以把三位数乘两位数单独编成一个单元，还有着承载延展乘数末尾有0、中间有0的特殊情况，以及积的变化规律探索。学生已经在过往的学习中解决了大量求路程、总价之类的实际问题，需要概括常见的数量关系为未来的复杂问题的解决提供推理的工具。所以，本单元共计安排了5个例题和2次练习，具体如表1所示。

表1 教学安排表

作为学习任务的作业，其目标需指向数感与推理能力。[1]为了实现目标，教师应站位单元结构设计作业，并帮助学生，让其在做作业的过程中看见自己理解的不断升级。本文便基于此视角展开，具体阐述“三位数乘两位数”的例1的作业为什么这样设计，这样设计如何实现教育目标。

一、作业何为

(一)课时内容的逻辑分析

学生的计算能力，一方面表现在掌握了算法；另一方面表现为能运用已有的计算知识与经验，探索并解决数目更大、过程更复杂的计算问题。[2]人教版小学四年级数学教材的“三位数乘两位数”内容设计了例1。

【例1】李叔叔从某城市乘火车去北京用了12小时，火车1小时行驶145千米。该城市到北京有多少千米？

教师先引导学生估算，将145估成150,12估成10，这样145×12≈150×10。估算锁定答案的近似值，便于学生判断笔算结果是否过于离谱，也引起了学生主动去求准确值到底是多少的兴趣，这使得笔算成为问题解决的需要。教材并没有完整呈现笔算过程，而是只给出了145×2的计算结果，让学生通过迁移两位数乘两位数的经验，写出145×10的结果，要一边计算145×1，还要想清楚5×1写在哪个位置，以求得算法与算理的统一，如图1所示。

图1

这样的编排，使得两位数乘两位数的算法和三位数乘两位数的算法得以融通，帮助学生形成更具概括性的认知图谱，不再需要专门的课时来学习四位数、五位数乘两位数，四位数、五位数乘三位数……不过，教材没能帮助学生习得马立平教授所说的图2的“知识包”。[3]所以课时作业要用丰富的情境关联乘法的意义，基于乘法意义的理解讲清楚三位数乘两位数如何依赖于一位数乘法、两位数乘法，让学生了解如何利用位值制将几百、几十中的数字几与多位数相乘，来应对竖式中积所对应的位置。这样可以为学生未来学习乘法分配律在意义上的理解提供思维经验。

图2

教材在例题之后安排了8道笔算题，并给出了笔算算式中列式的部分，如图3。显然，教材力图让学生习得三位数乘两位数的自动化。然而，单调的重复并不能帮助学生真正理解算理，反而会让学生在情感上对数学计算产生抗拒。所以，作业除了帮助学生提升计算的熟练度外，还要让学生感受数学其实是一种文化，我们现在学习的数学概念、笔算的样式是历经了漫长的试错、比较达成的人类共识，是思考的结晶。

图3

(二)学生的数学现实分析

正如前文分析，学生并不是带着一张白纸走进三位数乘两位数的课堂，学生从一年级开始，就历经10以内数的认识与加减计算、100以内数的认识与加减计算、乘法口诀、与整十数相乘、两三位数乘一位数、两位数乘两位数、大数的认识、一亿有多大、数位、位值制等数学知识的学习，加之家长的前置辅导，学生对课本的基本算法已了然于胸。当然，还有一部分学生正好相反，对乘法口诀和进位加的计算不熟练，不明白乘几十其结果应放在十位下方的理由。所以，教师作业设计至少要思考两点：如何做到保底又不让学生厌烦；如何让学生沿着能力发展不断挑战智力疆域并培养学生的数学洞见。

二、作业何以为

针对上文分析的教材中例1的不足以及学生理解的深层需求，笔者改编了教材习题。

(一)为概念关联而作业

删除例1后的四道笔算题，补充样题1。

【样题1】

学校羽毛球集训队要新购一批羽毛球拍，教练组到体育用品商店看到以下四款羽毛球拍，第④款羽毛球拍的单价被墨汁弄脏了。

图4

(1)王教练买了第① 款羽毛球拍16副，用竖式计算128×16时，在这里的“128”表示( )。

A.1副羽毛球拍 128元

B. 10副羽毛球拍128元

C.10副羽毛球拍1280元

D. 16副羽毛球拍1280元

(2)李教练买了第④款羽毛球拍10副，下面线上的哪个点可以表示他付的钱数？( )。

图5

(3)教练组购买了同一款羽毛球拍25副，大约用了5000元，教练组买的羽毛球拍可能是第几款？( )。

A. ① B. ② C. ③ D. ④

伍鸿熙教授说：“对于任意两个自然数，乘法运算法则分为三个部分,即两个一位数的乘法，任意一个数与一个一位数的乘法，任意两个数的乘法。”[4]第一部分是九九乘法表的内容，学生必须熟记在心。这里的学习要重点关注第二、第三部分。[5]以145×12为例来理解，乘法法则的第一部分就是：分别计算145与两个一位数1和2的乘法，即先用145的每一个数字都乘以2,5×2=10，在个位上写0，在十位上进1；4×2=8，在十位上写8，加上个位上进的1，十位上最终写9；1×2=2，在百位上写2。将同样的法则应用于145×1，可以得到结果145。为了计算145×12，我们再将145×1和145×2放在一起，这就是乘法法则第二部分的内容——任意一个数与一个一位数相乘。

由此我们可以帮助学生实现第三部分：任意两个数相乘，先完成第一部分，再完成第二部分即可。在实现第三部分的同时，我们发现自然数的相乘都将变成表内乘法，然后再用加法迭代即可。这也帮助学生不用去识记“从个位算起，依次用算式下方数中的数字去乘算式上方中的数……”。学生可以根据自己的习惯和数感，从任意一位算起，但是无论从哪里算起，都将变成两个一位数的乘法，将结果写在竖式中算的是145×1，实际代表计算145×10，所以记录的时候要移位。样题1第(1)问就弥补了教材只有标准算法，而不能帮助学生真正建构属于自己算法的遗憾，学生发现原来也可以从高位写起，即练习中的128×16，竖式计算时也可以先算128×1，积128写在1的下方；再算128×6，积768写在6的下方，由此可以得到启示：乘三位数、四位数，既可以从低位算起，也可以从高位算起，甚至无论从哪一位算起都行。例如，128×16其实质都是128×10+128×6，128×123其实质都是128×100+128×20+128×3。计算就是遵从规则的游戏，于是不同水平层次的学生都有了算的念头，在创造算的过程中，实现了马立平教授期待的“知识包”。

通过购买“羽毛球拍”这个真实情境，笔者将素材的价值与学生的兴趣有效融合。学生在解决第(2)(3)题的过程中，运用了估算、口算、笔算等不同形式计算，这两问将运算技能与推理等思维能力有机结合在一起，能激发学生的学习热情，提升学生运算能力和解决问题的兴趣。样题1一境多问，涉及“精确运算”与“模糊推断”，尤其第(2)题在数轴上找相应的数即数形结合，是基于精确数据的区间估计，很好地培养了学生的数感，发展了学生的核心素养。把枯燥抽象的乘法计算数学知识生活化，有利于提高学生分析问题、解决问题的能力，让每个学生都能体会、收获学习数学的价值，也为后续数量关系模型的建构提供思维与现实的双重经验。以上作业的设计注重激发学生的探究欲望，满足学生不同程度的学习需求，并且可以找到该算式在生活中的应用，让学生走进五彩缤纷的生活，使学生感受到生活中处处皆有数学，生活中处处可用数学。

(二)为思维拓展而作业

在教材中例2“乘数末尾有0、中间有0的乘法”的作业中，以“你知道吗”介绍了意大利的格子乘法，并示范了46×75的解题过程，再让学生仿照样题算出357×46。显然，教材试图让学生在阅读与解题的过程中了解数学文化，扩展知识面，进而感悟竖式计算的便捷性，让思维启发的支架更多元。笔者将“你知道吗”丰富成样题2。

【样题2】

亲爱的同学们，每个国家的古老文明中都孕育着灿烂的数学问题与数学文化，比如我们熟悉的乘法竖式。你知道吗？现在的这种乘法形式是经过千百年的演变才形成的！今天就让我们一起来欣赏乘法竖式的演变过程吧！

1.翻倍法(以32×13为例)

图6

2.筹算法(以183×26为例)

图7

3.印度闪电式算法(以325×478为例)

图8

4.格子乘法(以934×31为例)

图9

教师用视频展示详细的乘法竖式演变过程。

郑毓信教授指出：“数学教育最基本、最重要的目标是发展思维。数学作业的重要价值是能训练学生的数学思维。”[6]在样题2中，学生通过多元表征的思维工具在不同算法中寻求相同点，同时将这些算法与教材提供的标准算法相比对， 学生深刻理解算法是算理的程序。无论样式怎样，背后的思考都是基于未来将要学习的乘法分配律。学生一旦打开了思维窗口，运算能力的形成也就成了观察、记忆、理解、推理、表达等能力同步发展的过程。

作业设计就像一把尺子，能够测量出学生知识掌握的高矮胖瘦，也能清晰地反映出学生之间素养的高低。应在作业设计中引进生活元素、渗透数学文化，由易到难，层层深入，引导学生思维递进，实现思维的可视化。通过作业练习进一步加深学生从整体上把握笔算乘法的内涵，理解计算的本质；培养学生用数学的眼光观察世界，用数学的思想思考世界、用数学的语言表达世界，让不同层次的学生的能力都得到发展，为今后的教学提供导向。