玻恩规则的实验检验

金芳洲，彭玉平，李庆容，朱小飞

（武昌首义学院 基础科学部，湖北 武汉 430064）

在量子力学发展的早期，马克斯·玻恩提出了薛定谔波函数的概率解释［1，2］，即粒子波函数的模方表示实验测量结果的概率.利用这种概率解释及经典波动理论，量子力学的波动力学形式与矩阵力学形式在数学上可以等价.玻恩规则建立了量子力学中的波函数与实验测量之间的对应关系，但并不能从更基本的原理推导出来.通常的教材［3，4］中是从概率波的角度来解释玻恩规则，即波函数的统计诠释.从观测量的角度，可将玻恩规则简单的表述如下［5］:一个观测量对应的本征态和本征值分别为，作用于量子态上，测得的结果为其中的一个本征值oi，对应的测量概率为

纵观物理学史，常有一些在当时看来非常正确并被广泛应用的理论，不可避免的被更加基本的新理论取代，而作为新理论在某种情形下的近似.例如，狭义相对论将运动推广至近光速情形，其在低速情况下的近似可回到经典运动学的描述；量子力学将力学推广至微观情形，其在宏观情况下的近似可回到经典力学的描述.量子力学在微观物理领域有着极为成功的描述和应用，然而最近有学者尝试推广量子力学至更普遍的情形［6，7］，将量子力学作为推广后的新理论中的一种近似.在新推广的量子理论中保留了量子力学原有的一些特征，例如量子叠加性、不确定性关系、量子纠缠等.同时也存在一些不同于量子力学描述的情形，如会出现多阶量子干涉.按照量子力学中玻恩规则的模方形式，多阶量子干涉不会发生，但在新推广的量子理论中却可以出现［6，7］.如果能在实验中观测到多阶干涉效应，则意味着玻恩规则被违反了，以及标准量子力学可能需要修正.因此，有很多研究者尝试在不同实验体系上测量多阶量子干涉效应来检验玻恩规则.本文介绍了光学体系的三缝干涉和自旋体系中检验玻恩规则的实验设计原理，并从改变观测量的角度对自旋体系中的设计原理作了补充.改进后的方法更契合玻恩规则的标准表述，而且对qutrit系统的初始状态无特殊要求，或许有利于实验上的实现.

1 光学三缝干涉实验检验玻恩规则

2010 年，Sinha 等人［8］在“Science”期刊上报道了利用光学三缝干涉实验来排除量子力学的高阶干涉项，用于检验玻恩规则.按照量子力学中的玻恩规则，在光的干涉实验中的光子波函数 ψ（r，t）的模方表示的是在t时刻r位置发现光子的概率，即

如图1（a）所示，A、B两个缝构成一个双缝干涉实验，在空间r处探测到光子的概率可表示为

图1

为了方便表述，这里省略了位置符号的角标，并定义PA（B）为仅有 A（B）缝打开时在 r处探测到光子的概率，IAB＝ψ*AψB+ψ*BψA表示二阶干涉项.IAB的表达式可进一步改写为

接下来考虑一个三缝干涉实验，如图 1（b）所示.设相干光经过A、B和 C三个缝，在空间 r处探测到光子的概率可表示为

因此，根据玻恩规则，概率等于波函数的模方［式（1）］，光的干涉只发生在两缝之间，并不存在三条缝共同作用时的干涉效应.但文献［7］中定义了一个三阶干涉项IABC，表示为三缝干涉时在空间r处的光子概率减去各双缝干涉时的概率加上各单缝时的概率，如下:

在量子力学及经典的波动理论中，IAB通常是非零的，而IABC在所有的波动理论及标准量子理论中均为零.因此，如果在实验上精确测量出三阶干涉项IABC的值，根据其是否为零可以检验玻恩规则是否严格成立.

Sinha等人［7］设计了巧妙的光学干涉实验，通过三缝干涉得到了PABC的相对值，通过三个不同双缝干涉实验分别得到PAB、PAC、PBC的相对值，通过三个不同的单缝实验分别得到PA、PB、PC的相对值.有了这七项的值，通过定义式（5）即可得到三阶干涉项IABC的大小.为了便于表达实验的结果，他们定义了参数κ，表示为三阶干涉项与非零的二阶干涉项和的比值.

采用3种不同的光源和光子计数器分别进行多次实验，得到结果如下:用激光光源和功率计做实验得到的结果为 κ＝0.007 3±0.001 8，用激光光源和单光子计数器做实验得到的结果为 κ＝0.003 4±0.003 8，以及用单光子源和单光子计数器做实验得到的结果为 κ＝ 0.006 4±0.011 9.由于实验精度的限制，此单光子的实验结果并没有违反玻恩规则.

1.2方法两组患者均在全麻状态下实施手术,需注意让患者在手术前6~8h严禁进食进水,以免术中因麻药反应产生呕吐,呕吐物堵塞气管造成危险。对照组实施开放型手术,即将脑颅打开将瘤体清除。观察组采用显微手术方式治疗,具体操作如下。

2 基于qutrit体系检验玻恩规则［9］

图2 基于qutrit系统测量三阶干涉项的实验安排示意图（（a）一个qutrit由一组正交完备的基矢、和组成，其中和是允许的变换；（b）—（h）表示由初态经历不同的幺正变换Ui制备后的7个量子态（i＝ 1，2，…，7）.每次的实验中，同一个测量算符M作用在上）

为了清晰比较实验测得的三阶干涉项的相对大小，文献［9］中也定义了一个归一化的参数:

基于此原理，文献［9］在金刚石中单电子自旋态构成的qutrit系统上测量了三阶干涉项，测得归一化参量为 κ＝0.001 7±0.004 5，此实验结果在误差范围内与玻恩规则的预测相符合.

3 基于不同观测量的玻恩规则检验方法

图3 基于不同观测量的玻恩规则验证的示意图（qutrit系统经过一个U操作到态，然后测量在7种不同的观测量上的投影概率）

同理，也可以得到三阶干涉项的表达式:

图 4 实验测得的概率q1，2，…，7以及三阶干涉项的值（（a）初态参数时计算的结果；（b）初态参数时计算的结果.不同的初态参数按照玻恩规则计算得到的三阶干涉项的值恒为 0）

4 总结

本文首先介绍了光学体系中三缝干涉实验检验玻恩规则的设计原理，然后介绍了基于qutrit体系检验玻恩规则的实验设计原理，并从改变观测量的角度对qutrit体系中的设计原理作了补充.改进后的方法更契合玻恩规则的标准表述，且对 qutrit系统的初始状态无特殊要求，或许有利于实验上的实现.

量子理论与广义相对论理论是现代物理的两大重要基础理论，尽管它们在各自的领域中理论预测与实验结果高度一致，极为成功，但这两种理论在某些情况下并不兼容.统一这两种理论可能需要对其中的某个理论作推广.如果是对量子理论的推广，则可能会导致玻恩规则被违反，这一类对三阶干涉项进行精确测量的实验，或许能为玻恩规则的修正提供一定程度上的限制.