利用电荷量子比特促进矩阵力学的教学

涂 涛，李传锋，郭光灿

（中国科学技术大学 物理学院， 中国科学院 量子信息重点实验室，安徽合肥 230026）

量子力学是现代物理学的重要基础，同时量子力学也在不断发展中.作为量子力学的前沿——量子信息学近年来已经取得了许多重要的突破和进展［1］.量子信息学包括3个主要分支:量子计算、量子通信和量子精密探测.其基本信息单元称为量子比特，是一个典型的二能级体系，已经得到了广泛和深入的研究，是当前量子科技的热门方向［2-4］.

在大学物理课程的教学中，应该努力推动科技前沿和教学的深度融合.科技发展日新月异，因此如何将技术与教学相结合，是一个需要教学工作者不断探索和改进的过程.

在当前的量子力学教材中，对于波动力学部分的讲解比较多［5-8］.例如无限深方势阱、中心势场和氢原子等，都是在波动力学框架下，将定态薛定谔方程作为一个常微分方程或偏微分方程来求解.因此学生们对这部分内容的学习效果都比较好.然而，在许多量子力学教材中，对于矩阵力学部分的讲述比较少，而且大都是抽象的矩阵表示和计算，例如某个力学量的矩阵表示和表象变换等［9-12］.学生普遍反映这部分内容的学习效果较差，对这些矩阵所代表的物理图像相当不清楚.这已成为当前量子力学教学中的重难点之一.

中国科学技术大学物理学院的量子力学教研团队，从2010年起开展了“面向现代量子科技前沿的量子力学课程建设”，探索将一些量子信息学的研究成果引入本科生的量子力学课程教学中［13］.一方面，让学生通过实际的例子来理解所学的知识点，以这种学以致用的方式加深他们对所学知识的掌握.另一方面，这些来自科研第一线的例子，也让学生深刻感受到量子力学前沿研究的丰富内涵，激发他们从事科学研究的强烈兴趣.本文主要探讨利用电荷量子比特促进量子力学中矩阵力学内容的教学效果.

1 矩阵力学讲解的难点分析

矩阵力学是量子力学课程的核心内容之一.在量子力学中，有两个基本要素:波函数描述了体系的状态；而力学量用线性厄米算符表示，代表对态的一种运算.量子体系的态构成 Hilbert空间，在该空间中，态可以表示为一个矢量，而作为对态操作的算符对应一个矩阵.因此在矩阵力学框架下，可以对量子体系进行研究.

然而，矩阵力学的公式比较抽象，和学生熟悉的经典物理的公式截然不同，所以难以理解.其次，矩阵力学框架下涉及的知识点较多，包括表象、本征方程的求解、本征矢的正交性和完备性、平均值的计算、含时演化等.对于学生而言，如何把诸多矩阵表示的公式和物理图像联系起来理解，也有较多的困难.

针对上述困难，我们选取电荷量子比特这个二能级体系作为教学示例，促进学生对矩阵力学的理解和掌握.

2 以电荷量子比特为例讲解矩阵力学

2.1 电荷量子比特的引入和建模

我们选取一个目前量子信息研究中的热门课题:电荷量子比特［14-16］.该量子系统已经在实验中实现，并利用该系统进行了量子态的操控和量子信息的研究.如图1所示，这是一个半导体双量子点结构.其尺度大约在百纳米的量级，有多个条状的电极，包围成一个束缚结构，将电子束缚在其中.该结构中有一个电子，用圆点示意.

图1 半导体双量子点的扫描电镜图

在实验中，通过在电极上施加电场，可以将电子束缚在左边的量子点中，也可以将电子束缚在右边的量子点中.例如，在图1的示意中，电子被束缚在左边量子点中.很直观的，我们可以把这两种状态定义为｜L〉和｜R〉，称为电荷占据表象.

后面，我们会仔细讨论该叠加态的性质.

量子系统的含时演化性质由其哈密顿量决定.电荷量子比特的哈密顿量算符可以描述为

这样，我们在矩阵力学的框架下，引入了二能级体系的状态和力学量算符的表示，具有直观的物理图像，学生们比较容易理解.

在电荷量子比特的实验中［14-16］，主要观测的是状态随时间变化的规律.因此我们将从理论上来研究这个问题.在教学中，为了能够涵盖主要的知识点，我们采用多种方法来处理这个问题.

2.2 电荷量子比特的含时演化过程:方法一

第1种方法:求解能量本征态.

首先，我们求解能量的本征方程:

此时它是一个矩阵的本征方程:

通过线性代数运算，我们可以求得:两个能量本征值和相应的能量本征态为

其次，可以将初态按照能量本征态展开:

其中展开系数 ck＝〈ϕk｜Ψ（0）〉.由于哈密顿量不显含时间，这样t时刻的状态为

而利用矩阵乘法可以得到展开系数为

所以可以求得t时刻的电子状态为

在方法一中，我们将力学量算符的本征值和本征态问题归结为计算矩阵的本征问题，学生比较容易掌握.

2.3 电荷量子比特的含时演化过程:方法二

第2种方法:求解含时薛定谔方程.

首先，我们假设任意时刻的电子状态为

它满足含时薛定谔方程:

用矩阵力学的语言，此时它是一个矩阵形式的微分方程

上述矩阵方程的每一行都是相互对应的，因此第一行和第二行也可以写成联立的微分方程组:

将式（18）和式（19）相加减，可以得到

上述方程容易得到解析解为

显然，方法二得到的结果，与第一种方法得到的结果式（12）是完全一致的.

在方法二中，尽管用的是矩阵力学的语言，但是学生面对的是他们熟悉的量子力学的基本方程——薛定谔方程，因此学生比较容易理解.

2.4 电荷量子比特的含时演化过程:方法三

第3种方法:求解力学量平均值的运动方程.

一般来说，力学量只有在它的本征态上才取确定的值，而在任意态上则有多种可能的取值.因此，研究力学量的平均值和取值几率，可以反映量子体系的规律.另外，根据我们的研究经验，在固态量子信息领域的研究工作中［14-16］，也经常使用力学量平均值的运动方程来描述量子比特的规律.

这里Hij是相应的矩阵元.显然，这是一个一般的二能级体系哈密顿量，所以从矩阵力学的角度容易理解:任何一个两能级体系都等价于在外磁场中的自旋系统.

基于二能级体系与自旋系统的相似性，我们引入3个 Pauli矩阵

其次，利用式（25），注意力学量算符此时不显含时，我们可以得到力学量平均值的运动方程

我们将式（2）、（26）、（27）代入上述方程，并通过矩阵的代数运算得到

这是联立的微分方程组.

将式（34）对时间微分，并将式（33）代入，可以得到如下二阶的微分方程:

上述方程容易得到解析解为

在方法三中，我们利用矩阵力学的框架来计算力学量平均值的运动方程，由于涉及的力学量矩阵都有直观的物理图像，学生也比较容易理解.

3 理论结果的分析并与实验对照

3.1 电荷量子比特的实验

在国外，美国普林斯顿大学率先开展了电荷量子比特的研究工作［14］.在国内，本文作者所在的中国科学院量子信息重点实验室也开展了相关工作［15，16］.如图 1 所示，我们利用现代微纳加工技术制备了半导体双量子点样品，并在稀释制冷机的10 mK的低温环境中开展实验.

在实验中，首先，我们向左侧量子点中注入一个电子，电子的初态为｜L〉.

其次，根据上述矩阵力学的分析，单个电子既可以处在左边量子点，也可以处在右边量子点，还可以处在这两个状态的叠加态中.如图1所示，单个电子状态的测量是通过在左侧电极处的量子点接触［QuantumPointContact（QPC）］，这是一个很灵敏的单电荷测量装置，在图中用一个箭头示意.当电子处在左边量子点时，该测量装置将产生一个响应信号，代表电子处在｜L〉态.

最后，通过重复106次实验，可以得到电子处在｜L〉态的占据概率 PL.如图 2（a）所示，这是一个设置电势能 ε＝0，隧穿能 Δ＝4.32 μeV 时的实验结果图.

图2 电荷量子比特的实验测量结果

3.2 电荷量子比特的测量结果与概率

在电荷量子比特这个二能级体系中，我们在矩阵力学框架下，已经用上述方法一和方法二求得电子在任意时刻的状态

对于这样一个状态进行电荷测量，有两种结果:第一种结果是电子处在｜L〉态，即占据在左边的量子点中，这一结果出现的概率是

第二种结果是电子处在｜R〉态，即占据在右边的量子点中，这一结果出现的概率是 PR＝ ｜b｜2＝sin2ωt.

而在上述方法三中，我们计算了电子占据在左边量子点中的平均值〈〉.利用力学量平均值的定义:

因此这一平均值的物理意义也是电子在左边量子点中的概率:

显然，方法三的结果与前面两种方法得到的结果式（39）是完全一致的.

这些与实验相对应的物理图像很直观，因此学生对这些理论结果也比较容易理解.图3（a）中，实线是根据上述解析表达式（37）计算出来的结果.对比图2（a）和图 3（a），理论计算和实验测量符合得较好，即比较好的描述了电子状态的周期性振荡行为.至于实验中观察到的衰减现象，我们将在后面作进一步的解释.

图3 电荷量子比特的理论计算结果

3.3 电荷量子比特的知识拓展

电荷量子比特虽然是现代量子信息前沿研究的内容，但是通过模型的简化，可以引入到矩阵力学的教学中.进一步，我们还可以引导学生考虑更复杂的量子信息过程.我们将集中在3个方面进行知识的拓展.

2）由于现代量子调控技术的飞速发展，在实验中，可以通过精密的改变加在电极上的电压，从而调节关键的控制参数:量子点的电势能ε.实验中通常会测量不同ε情况下的电子占据概率，测量结果如图 2（b）所示.

为了能够理解这一实验结果，我们可以根据方法二即薛定谔方程，直接数值求解微分方程组（16）和（17），或者根据方法三即运动方程，直接数值求解微分方程组（31）和（32），结果如图 3（b）所示.从方程组不难发现，体系的演化周期不仅依赖于隧穿能Δ，也依赖于电势能ε.当电势能ε变大时，电子占据概率的振荡频率也变得更快.这一理论计算图3（b）较好的描述了实验观测的结果图 2（b）.这一效应也是目前热门的超快量子门操控的基础［15，16］.

3）在上述3.2节的理论分析中，可以看出，电子在左边量子点中出现的概率PL和在右边量子点中出现的概率PR，两者之和总是为1.这是态叠加原理和波函数归一化的要求，从物理图像上也不难理解:因为测量电子只会投影到两个电荷本征态｜L〉和｜R〉上，要么处在左边量子点中，要么处在右边量子点中，总概率之和为1.

上述理论分析假设电荷量子比特是一个孤立体系，与外界环境没有任何耦合.然而，与实验进行对比时，有一些细心的学生会提出问题:为什么实际的概率曲线有衰减的行为呢？

针对学生的问题，我们可以引导学生思考:实际电荷量子比特不是一个孤立体系，而是受到外界环境的影响，因此会造成量子体系的耗散.可以通过在运动方程（31）和（32）中，唯象的加上弛豫项和退相干项来理解:

与本来的运动方程（31）和（32）相比，新增加的两项分别表示:〈〉的衰减项-γ1〈〉，其中衰减速率称为弛豫速率，T1称为弛豫时间.〈〉的衰减项，其中衰减速率称为退相干速率，T2称为退相干时间.从运动方程的角度来看，这些衰减速率或时间具有直观的物理意义.

我们取 T1＝9 ns，T2＝1.2 ns，数值求解微分方程组（43）和（44），其结果如图 4（a）和 4（b）所示.与实验结果图2（a）和 2（b）相比较，此时理论计算与实验测量，不但在定性趋势上、而且在定量数值上都很好的符合.退相干过程是量子信息科技面临的最大挑战之一，各种外界扰动，会导致体系量子特性的衰减.因此对于退相干过程的理解是重要的研究课题，通过这个例子可以激发学生思考这个前沿问题.

图4 计及退相干效应时电荷量子比特的理论计算结果

4 学生学习成效分析

根据我校历年量子力学课程的相关教学调研，学生对于矩阵力学部分的学习普遍反映存在较多困难.特别是矩阵的求解和计算，不但在数学上有一定的困难，更关键的是，学生对于矩阵所代表的物理模型和意义感觉很模糊.学生在计算矩阵时，常常有一种不知道自己在处理什么物理量和什么物理过程的感觉，从而导致他们对于整个矩阵力学内容难以理解和掌握.

另一方面，本文作者在进行量子力学课程教学的同时，也从事量子信息领域的研究工作.我们发现研究方法中很多涉及矩阵力学的内容，因此深感学生对于矩阵力学的深入学习是非常重要的，可以为他们将来从事量子信息的研究奠定必要的基础.把量子信息研究中一些前沿的物理问题，作为矩阵力学的教学案例，不但可以提高学生对于前沿科技发展的兴趣，还能够把书本上的抽象知识与当前的研究实际紧密联系起来，做到学以致用、科教结合.

在讲授矩阵力学时，我们利用电荷量子比特作为主要的教学案例:

首先我们引入电荷量子比特的模型，侧重于把真实的物理模型，特别是电荷表象、电子波函数、电子的哈密顿量都用简单的矩阵力学公式描述.

然后我们重点讨论电荷量子比特的时间演化过程.我们用3种方法来求解这一过程.第一种方法是基于能量本征函数的求解，这归结为矩阵的本征值和本征矢问题.第二种方法是基于求解含时的薛定谔方程，第三种方法是基于求解算符平均值的运动方程，这两种方法在矩阵力学的表示下，都归结为一个联立的微分方程组.通过这3种方法，我们不但把矩阵力学的主要知识点都涵盖了，而且这些矩阵公式所对应的物理过程都很清楚，因此学生对于矩阵力学的内容可以有较为清晰的认识和掌握.

下一步，我们将充分利用中国科学院量子信息重点实验室的科研资源，让学生亲眼目睹电荷量子比特的实验过程.学生通过对二能级体系的矩阵力学的求解，可以得到和电荷量子比特实验测量相符合的理论结果和物理图像，尤其可以深刻理解量子力学中叠加态的概念.同时与前沿的量子信息实验相联系，也能激发学生的兴趣和思考，让他们体会到量子信息科技带来的巨大变化，促使学生进一步探索这些方兴未艾的前沿领域.

5 结论

量子力学课程中矩阵力学部分的教学是一个难点.尽管国内已经有不少优秀的教材指导学生学习矩阵力学内容，但是相对于初学者而言，比较抽象.由于现代量子信息科技的蓬勃发展，有一些崭新的前沿内容可以补充到量子力学的教学中.本文通过以电荷量子比特作为教学案例，对利用矩阵力学框架分析和求解电荷量子比特的含时演化问题进行了深入探讨.在这个案例中，矩阵表示的数学公式，例如哈密顿量等各种力学量算符、电荷本征态和叠加态等各种态的表示，都有比较清楚的物理图像对应，这样可以极大的帮助学生理解二能级体系的物理量和含时演化的规律.尤其是学生发现利用矩阵方法求解本征方程、薛定谔方程等得到的电子波函数的性质，与实验测量的结果一致符合，大大加深了他们对于矩阵力学方法的理解和掌握.进而，对于电荷量子比特的量子状态的研究，还能够激发学生对于量子信息前沿科研工作的强烈兴趣.