任意亮度孔形衍射的数值模拟

方慧雯，杨锦宏，贺胜男，卫玉娇，张吴记，汪卫华

（安徽大学 物质科学与信息技术研究院，安徽 合肥 230601）

随着技术的革新，光的衍射现象在生产实践中的应用越来越广泛.多边形的衍射模拟在光学领域具有重大意义，可以解释灯光星芒产生的原因、相机如何记录图样［1］以及如何在夜晚拍出明显星芒［2］.光的衍射现象可以用惠更斯-菲涅耳原理和瑞利-索末菲公式进行计算，但数学公式计算繁琐，不够直观.计算机模拟则能通过显示图像，直观地观察衍射效果.且计算机模拟不受实验场地和实验器材的限制.

目前，有很多学者已经对不同孔径的衍射现象进行了研究:比如刘有菊等研究了“E”形孔的夫琅禾费衍射现象［3］，宋易知模拟了任意正多边形小孔的夫琅禾费衍射现象［4］，王海涛等模拟了任意多边形小孔的菲涅耳衍射［5］，Jeffrey等利用快速菲涅耳衍射算法模拟了孔形为“2”的衍射［6］，Qian等研究了菲涅耳和夫琅禾费衍射的数值模拟［7］，汪峰等研究了任意形状孔夫琅禾费计算机模拟［8］，戴又善研究了二维小孔夫琅禾费衍射的对称变换特性［9］.但已有的研究主要针对的是正多边形，不能适用于任意亮度孔形，并且现有的数值模拟不能适用任意距离.由于菲涅耳衍射和夫琅禾费衍射特性差别显著，需根据菲涅耳数进行划分［10］.在上述研究的启发下，本文的创新点在于用图片像素灰度值来代表小孔内不同的亮度值；研究了任意亮度的小孔衍射；并且该程序适用于菲涅耳和夫琅禾费衍射两种情况.即采用Matlab软件，利用图片像素读取任意亮度孔形，然后对近场/远场衍射进行数值模拟，给出任意形状、任意亮度孔的衍射图案来探寻其中的衍射规律.

1 衍射的理论与数值模型

1.1 衍射理论

光的衍射现象是指光在传播过程中，遇到障碍物或小孔时，光将偏离直线传播的路径而绕到障碍物后面传播的现象［11］.把波面 S上每个面积元 ds看作新的波源，如图1所示，它们均发出次波，波面前方空间某一点P的振动可以由S面上所有面积元所发出的次波在该点叠加后的合振幅来表示［12］.在本文中，将小孔均分成一定数量的方格（即图像像素），像素灰度值表示孔的亮度.光屏也均分为一定数量的方格（近似将其看作一点）.光屏上某一点的振动可看成小孔内所有方格点在该点的合振幅.将光屏上所有方格点的振动计算出来，就可以显示该孔的衍射图像.

图1 衍射光路示意图

设有一个波长为λ的平面波入射，衍射平面与光屏之间的距离（焦距）为 f，衍射平面上点 P（x1，y1）与光屏上点 Q（x2，y2）之间的距离为 r，根据惠更斯-菲涅耳原理复数形式:

当忽略时间t时则（2）可以简化为

1.2 衍射数值模型

首先用绘图软件绘制尺寸合适的任意孔形，然后用imread函数读出所绘制的孔形，在程序中将小孔的部分设为像素灰度值，其余部分设为0，进行读取，编写程序.此程序适用于任意孔径、任意亮度、任意距离的衍射，对于不同的孔形或不同的亮度只需调换相应的孔形图片；对于不同距离的衍射，只需更改焦距f.在此基础上，调换合适的光屏大小，孔径大小，得到衍射明显的衍射图像.计算源程序附文末，程序处理小孔图像衍射的大致步骤是:1）读取任意小孔的图片；2）对衍射平面和光屏建立合理的坐标系；3）计算衍射平面和光屏上任意两点的距离；4）计算其复振幅和光强；5）画出光强图像和衍射图.

2 衍射模拟

2.1 衍射模拟与理论计算对比验证

以圆孔为例，按照半波带法，当入射光波长 λ和圆孔半径 R一定时，焦距 f变化，屏中心点O（0，0）对应的半波带数k会变化，并且该点的明暗随着k值的变化而变化.k为偶数时，为暗条纹；k为奇数时，为亮条纹.k＝1是菲涅耳衍射和夫琅禾费衍射的分界点，当k＞1时是菲涅耳衍射，k＜1是夫琅禾费衍射.故当半波带数 k≤1时，衍射图样中心均为亮斑［11］.并且从中心向外是明暗相间的圆环，且 k越大（即z越小），明暗环越多越密.k值由下式决定:

当 f＝0.2 m，λ＝500 nm，衍射圆孔半径 R＝1 mm，光屏宽度h＝0.4 mm时，由图2可见，整个光强分布以圆心为对称点，并且圆心点光强是减弱的（即产生暗斑）.将数据带入式（4）计算得出 k＝10，即中心光强减弱，与程序模拟相符.

图2 f＝0.2 m，λ＝500 nm，R＝1 mm圆孔衍射光强图样

当 f＝2 m，λ＝500 nm，衍射圆孔半径 R＝1 mm，光屏宽度h＝4 mm时，由图3可见，整个光强分布以圆心为对称点，并且圆心点光强是增强的（即产生亮斑）.将数据带入式（4）计算得出 k＝1，即中心光强增强，与程序模拟相符.

当 f＝10 m，λ＝500 nm，衍射圆孔半径 R＝1 mm，光屏宽度h＝10 mm时，由图4可见，整个光强分布以圆心为对称点，并且圆心点光强是增强的（即产生亮斑）.将数据带入式（4）计算得出 k＝0.2＜1，即中心光强增强，与程序模拟相符.

综上所述，理论计算结果与程序模拟结果基本一致，证明模拟程序正确.由计算可知图2是近场衍射图像，图3是近场衍射和远场衍射的分界点图像，图4为远场衍射图像.从上述图中可以得出，远场衍射图像的中央亮斑比近场衍射的亮斑大，并且随着k值逐渐减小，暗纹的光强趋于零，且在菲涅耳衍射时，中心的光强可能减弱.

图3 f＝2 m，λ＝500 nm，R＝1 mm圆孔衍射光强图样

图 4 f＝10 m，λ＝500 nm，R＝1 mm圆孔衍射光强图样

2.2 任意孔形及任意亮度的衍射模拟结果

运用程序数值模拟正三角形和正六边形的夫琅禾费衍射，验证正多边形孔衍射特性，并对亮度不同的不规则小孔衍射特性进行分析.

1）f＝2 m，λ＝500 nm，三角孔边长 a＝1 mm，光屏宽度h＝6 mm的衍射如图5所示.在垂直于三角形的3条边的方向和3个角的方向上衍射现象均明显，但边方向衍射更为显著，距离中心越远，衍射现象越弱.三角形的中央光强最强（即图5的中央亮斑）.

2）f＝2 m，λ＝500 nm，六边形孔边长 a＝1 mm，光屏宽度h＝6 mm时的衍射如图6所示.在垂直于六边形各边的方向衍射现象明显，产生明暗相间的条纹，距离中心越远，衍射现象越弱，中央的衍射光强最强.

图 5 f＝2 m，λ＝500 nm，a＝1 mm三角形孔衍射图样

图6 f＝2 m，λ＝500 nm，a＝1 mm六边形孔衍射图样

3）f＝10 m，λ＝500 nm，圆孔半径 R＝1 mm，光屏宽度h＝10 mm时的衍射如图7所示.圆心光强最强，产生明暗相间的圆环，距离中心越远，衍射现象越弱.在夫琅禾费衍射中，以第一暗环为范围的中央亮斑的光强占整个入射光束光强的84%，这个中央光斑称为艾里斑，由公式可得艾里斑的线半径为

由图7（a）可以看出艾里斑的线半径大致为3.6 mm，与理论计算的结果大致相符.

图7 f＝10 m，λ＝500 nm，R＝1 mm圆形孔衍射图样

4）f＝2 m，λ＝500 nm，面积为1 mm2的衍射平面上不规则小孔，光屏宽度h＝10 mm时的衍射现象如图8所示.在垂直于各边的方向上衍射现象明显，产生明暗相间的条纹，且距离中心越远，衍射现象越弱.

图8 f＝2 m，λ＝500 nm，面积为 1 mm2异形孔衍射图样

5）任意形状任意亮度的光源也能通过该程序得到衍射图像.如图 9所示，f＝2 m，λ＝500 nm，正方形边长a＝1 mm（孔内不同地方亮度值不同），光屏宽度h＝10 mm时的衍射图像中可以看出，最大光强在正方孔中央，亮度值不同衍射强弱不同.

图9 f＝2 m，λ＝500 nm，边长为1 mm不同亮度正方形孔衍射图样

3 结论

本文基于惠更斯-菲涅耳原理，用 Matlab进行模拟仿真任意形状任意亮度孔的衍射图像，得到以下结论:1）同一衍射孔，在改变衍射面与光屏的距离时得到不同的衍射图像.当中心半波带k为偶数时，中心光强减弱；k为奇数时，中心光强加强；k小于1时，一直处于加强状态.随着焦距慢慢增大，几何中心光强处于减弱状态的情况就越来越少，最后一直处于加强状态［13］.整个过程可以看做菲涅耳衍射到夫琅禾费衍射的一个过渡［13］.夫琅禾费衍射图像随着k值的减小，中央亮斑越来越大，其暗纹的光强也逐渐趋向于零.2）正多边形衍射图像成中心对称分布，每条边的垂直方向衍射现象明显，边数越多，光强增强的方向越密集，并且在各角的方位上衍射呈条带分布（正多边形的边数n为奇数时呈亮条带，n为偶数时呈暗条带）［5］.可以推断出当边数趋向于无穷时，衍射图像为圆孔衍射的图像.且可以看出当正多边形的边数为奇数时，在垂直边方向上的衍射比角方向上的衍射更显著.3）在远场衍射时，任意形状任意亮度的小孔，中央光强最强，周围的衍射光强与小孔各个位置的亮度有关，且遵循随距离增大光强减弱的规律.