基于双种群混沌搜索粒子群算法的机器人喷涂轨迹协同优化

刘林辉，朱永国,2+，查青杉，陈志敏，曾 天

(1.南昌航空大学 航空制造工程学院，江西 南昌 330063；2.江西丹巴赫机器人股份有限公司，江西 南昌 330096；3.江西洪都航空工业集团有限责任公司 制造工程部，江西 南昌 330024)

0 引言

随着机器人技术的不断发展，机器人被逐步应用于喷涂领域[1-3]。轨迹规划是机器人喷涂作业的重要环节，根据轨迹规划的空间不同，可将喷涂轨迹分为笛卡尔空间轨迹规划和关节空间轨迹规划[4-5]。针对笛卡尔空间的喷涂轨迹规划，国内外学者进行了相关研究：王国磊等[6]提出漆膜厚度分布多变量模型，为喷涂轨迹规划提供了可靠的喷枪模型；马淑梅等[7-8]利用喷枪模型，针对S型曲面、直纹曲面等不同类型喷涂对象，优化了漆膜厚度和喷涂效率；BHALAMURUGAN等[9]和ANDULKAR等[10-11]以漆膜厚度、附着力和喷涂对象表面粗糙度等为目标进行喷涂轨迹多目标优化，综合考虑喷涂轨迹的影响因素，使轨迹规划方法具有更强的普适性。因为漆膜厚度直接影响喷涂质量，漆膜分布不均或漆膜厚度误差过大会降低喷涂质量，所以以上研究均将漆膜厚度作为喷涂轨迹优化要素之一，而且取得了良好的效果，但是未采用机器人逆运动学对轨迹的合理性进行验证。喷涂轨迹必须映射至机器人关节空间，通过在喷涂轨迹上选取特征点，利用逆运动学获得关节角度进行关节轨迹规划，未经合理性验证的喷涂轨迹可能使关节轨迹不满足机器人的运动学约束。

邓乾旺等[12]和孙志毅等[13]对关节轨迹进行分段多项式插值，实现了机器人时间最优轨迹规划，然而分段插值各段轨迹的启停参数设定对机器人的性能影响较大，轨迹交点的速度、加速度设置不当会降低器人的运动性能；LIU等[14]采用七次B样条轨迹插值，无须设置轨迹交点处的参数即可保证机器人的运动性能，但在实时性要求较高的机器人控制系统，高阶次轨迹插值会造成控制系统滞后；韩江等[15]采用B样条和高阶多项式关节轨迹混合插值，在提升机器人运动性能的同时有效减少了轨迹插值次数。由此可见，在规划机器人关节轨迹时，不应一味追求高阶次轨迹插值，而需考虑自身优化目标和约束要求，合理选择关节轨迹插值方法。机器人各关节角度和末端执行器的位姿关系通过机器人正运动学确定，然而二者的映射为非线性，关节轨迹通过正运动学反馈到笛卡尔空间后，虽然能够保证理论轨迹与反馈轨迹在特征点重合，但是无法保证特征点之间的轨迹误差，当进行高精度喷涂时，过大的误差会影响工件喷涂质量，使其无法满足喷涂加工精度约束。

综上所述，只考虑喷涂轨迹或关节轨迹会割裂二者的联系，导致轨迹协同优化效果不佳。针对机器人关节轨迹和喷涂轨迹不满足运动学与喷涂加工精度混合约束的问题，本文提出基于双种群混沌搜索粒子群优化(Dual-population Chaotic Search Particle Swarm Optimization, DCSPSO)算法的机器人喷涂轨迹协同优化，以关节轨迹和喷涂轨迹为研究对象，将机器人运动学约束添加到关节轨迹多目标优化中，利用DCSPSO算法求解多目标优化模型，并构建喷涂轨迹误差模型优化反馈轨迹，使其满足喷涂加工精度约束，从而完成机器人喷涂轨迹协同优化。

1 机器人喷涂轨迹协同优化

漆膜厚度是喷涂轨迹优化的重要目标，漆膜厚度误差越小、均匀度越高，喷涂轨迹优化效果越好，而关节轨迹则以喷涂效率、机器人运动学参数等为优化目标，来保证机器人的喷涂效率和运动性能。因为机器人末端轨迹需要进行多关节协同，而且笛卡尔空间和关节空间为非线性映射，所以喷涂轨迹与关节轨迹协同优化的难度较大。为此，采用图1所示的喷涂轨迹协同优化方法协同优化关节轨迹和喷涂轨迹，具体步骤如下：

(1)关节轨迹多目标优化 ①在理论喷涂轨迹上选取若干特征点，并通过逆运动学解得各关节角度，建立关节角度序列；②利用DCSPSO算法建立时间节点序列；③构建关节五次B样条插值轨迹，获得关节轨迹各节点的机器人运动学参数；④以机器人的喷涂效率和运动稳定性为优化目标，添加时间及机器人运动学约束，建立关节轨迹多目标优化模型，以此判断粒子的优劣程度，得到最优时间节点序列。

(2)喷涂轨迹误差优化 ①根据理论轨迹与反馈轨迹的弦高误差和漆膜厚度误差，构建机器人喷涂轨迹误差模型，以此验证关节轨迹多目标优化模型解的优劣；②若反馈轨迹满足轨迹误差模型的约束，则喷涂轨迹协同优化结束；否则，在不满足约束的特征点之间插入新特征点，进行关节轨迹多目标优化，直至喷涂轨迹和关节轨迹满足混合约束。

2 机器人喷涂轨迹协同优化模型的构建

2.1 构建关节轨迹插值

(1)喷涂轨迹特征点预选取

喷涂轨迹特征点的选取应少而有效，以减小插值次数，提高关节轨迹规划效率。由喷涂工艺可知，特征点位于轨迹起止点、不同类型表面连接处等特殊位置。以图2所示的喷涂对象为例，P0～P5为理论轨迹上的6点，其中：P0，P5为轨迹起止点，用于控制机器人启停；P1，P2为轨迹曲线顶点;P3，P4为曲面与平面连接处的点。将轨迹投影至其轨迹最长投影面时，P1，P2处轨迹的一阶导数为0，P3，P4处轨迹的一阶导数不存在；当机器人末端经过P1，P2处时，末端切向速度正负变化，经过P3，P4处时，末端切向速度突变，速度变化较大。因此，预选取以上6点作为轨迹特征点。

(2)关节五次B样条插值轨迹的构建

利用机器人逆运动学得到特征点对应的关节角度θi，并赋予时间节点ti，构成角度—时间节点序列A，

A=(θi,ti)，i=0,1,2,…,np。

(1)

(2)

式中：θ(u)为不同节点对应的关节角度；u为B样条曲线的节点；Dj为B样条曲线的控制顶点；Bj,m(u)为m次B样条基函数。通过设定轨迹启停角速度和角加速度可提供4个边界条件，确定如下n+5个轨迹插值方程：

θ′(u5)=vst,θ′(un+5)=ved；

θ″(u5)=ast,θ″(un+5)=aed。

(3)

式中：θ′(u)，θ″(u)分别为关节角速度、角加速度；vst，ved分别为轨迹启停角速度；ast，aed分别为轨迹启停角加速度。在此设vst，ved，ast，aed=0，以保证机器人各关节在启停时的稳定性。利用式(1)～式(3)构造满足机器人角度—时间节点序列约束的插值轨迹，从而使不同关节ti时刻的角度θi平稳过渡到ti+1时刻的角度θi+1。

2.2 关节轨迹多目标优化建模

(1)喷涂效率优化模型的构建

为提高机器人的喷涂效率，使机器人运动总时间最短，构建喷涂效率优化模型

(4)

(2)运动稳定性优化模型的构建

利用时间节点ti构造机器人关节五次B样条插值轨迹。关节轨迹的角速度、角加速度等参数影响机器人的运动稳定性，且运动总时间越小，对应的角速度、角加速度越大，运动稳定性越差。为此，将角速度、角加速度方差作为机器人运动稳定性的量化评价指标，构建运动稳定性优化模型

(5)

(6)

以机器人的喷涂效率和运动稳定性为优化目标，添加机器人运动学约束，构建关节轨迹多目标优化模型：

minF(t)=(f1(t),f2(t))；

f1(t)=ft(t),f2(t)=fv,a(t)。

s.t.

(7)

2.3 喷涂轨迹误差模型的构建及误差优化

(1)喷涂轨迹误差模型的构建

关节轨迹规划后，利用机器人各关节在不同时刻的角度并结合D-H参数，通过正运动学在笛卡尔空间形成反馈轨迹。反馈轨迹可保证经过预选取的特征点，但无法保证在特征点之间与理论轨迹重合，二者之间存在喷涂轨迹误差，该误差包含弦高误差和漆膜厚度误差。

(8)

喷涂质量可通过漆膜误差的均值衡量，均值越大，反馈轨迹的漆膜厚度与漆膜理想厚度的误差越大，喷涂质量越差。根据多变量漆膜厚度分布模型，获得反馈轨迹的漆膜剖面厚度曲线fspr(t)，定义第i段轨迹的漆膜厚度误差

(9)

式中qide为漆膜的理想厚度。

将理论轨迹与反馈轨迹的弦高误差和漆膜厚度误差作为喷涂轨迹误差的量化评价指标，构建喷涂轨迹误差模型

(10)

(2)轨迹误差优化

(11)

式中nnew为新特征点的数量。当第i段轨迹的弦高误差和漆膜厚度误差均低于其阈值时，特征点之间的轨迹误差较小，特征点较为合理，反馈轨迹满足喷涂加工精度约束；否则，在PiPi+1段轨迹中点处插入新的特征点，以减小喷涂轨迹误差。

3 机器人喷涂轨迹协同优化模型的求解

3.1 双种群混沌搜索粒子群算法定义

机器人喷涂轨迹协同优化模型包括关节轨迹多目标优化模型和喷涂轨迹误差模型。为此，需先求解关节轨迹多目标优化模型，得到关节轨迹时间节点，再利用喷涂轨迹误差模型验证多目标优化结果，以完成关节轨迹和喷涂轨迹协同优化。

求解关节轨迹最优时间节点为连续性优化问题，而粒子群优化(Particle Swarm Optimization，PSO)算法的粒子速度和位置为实数值，且算法易于实现。因此，为求解式(7)构建的机器人关节轨迹多目标优化模型，可采用PSO算法粒子表示时间节点间隔Δta，进行时间节点优化。

在PSO算法中，粒子的速度和位置更新公式如下：

(12)

PSO算法存在局部搜索能力差、早熟等缺陷[16-17]。为此，对PSO算法进行改进，提出DCSPSO算法：①为提升算法的全局搜索能力，采用双种群协同进化策略，用Pareto评价策略确定粒子优劣，通过共享外部非支配解集动态组建粒子群，增加种群多样性，实现双种群协同进化，以增强算法的全局搜索能力；②为提升算法的局部搜索能力，将混沌搜索加入粒子飞行过程。

(1)双种群协同进化

生成两个种群规模为PN的粒子群rh(h=1,2)。种群Pareto层级构造如下：

步骤1将所有粒子放入构造集，计算对应的目标函数，记当前层级e=0。

步骤2令e=e+1，将非支配解放入当前层级，组成非支配解集。

步骤3判断剩余粒子数，若粒子个数大于0，则转步骤2；否则，完成Pareto层级构造。

将外部共享非支配解集的规模设为ON。如图4所示，当外部非支配解集为空时，将两个种群的Pareto最优解存入其中；随着迭代次数的增加，外部非支配解集趋于饱和，通过比较新增Pareto最优解与外部非支配解集Pareto最优解的支配关系，结合粒子拥挤度，使外部非支配解集的粒子数始终为N。粒子拥挤度如下：

(13)

1.2.1 手术器械 采用德国STORZ公司生产的外鞘直径9 mm的持续灌流手术宫腔镜，膨宫压力100～120 mmHg, 膨宫液流速100～120 ml/min,切割功率60～80 W,电凝功率35～50 W。灌流液为5%甘露醇液。

(2)粒子飞行过程的混沌搜索

混沌系统Logistic的映射方程为

(14)

(15)

(16)

3.2 机器人关节轨迹和喷涂轨迹协同优化

步骤3粒子群动态重建。获取外部共享非支配解集拥挤度最大解、稳定性最优解、时间最优解对应的粒子dS3，dS1，dS2，替换种群中最劣势的3个粒子，完成粒子群动态组建。

步骤5迭代结束判断。判断当前迭代次数k与迭代次数T的关系，若k

步骤6轨迹误差优化。用喷涂轨迹误差模型验证DCSPSO算法的多目标优化结果。若不存在Pareto最优解满足轨迹弦高误差和漆膜厚度误差的约束，则按式(11)要求插入新特征点，转步骤1；否则，机器人喷涂轨迹协同优化结束。

4 实例验证

4.1 关节角度序列的构建

利用GSK-RB08机器人和MATLAB验证机器人喷涂轨迹协同优化方法的可行性。选取理论喷涂轨迹上的6个特征点，如图5所示。机器人的D-H参数如表1所示，各关节的运动学约束如表2所示。利用机器人逆运动学和D-H参数获得每个特征点的8组关节角度；根据最小二乘法及关节角度约束获得关节角度序列，如表3所示。

表1 GSK-RB08机器人D-H参数

表2 GSK-RB08机器人运动学约束

表3 机器人关节角度序列 (°)

4.2 关节轨迹多目标优化

从图6可见，不同规模种群的Pareto最优解分布不均，但是不同种群的Pareto非支配解处于同一Pareto前沿面上。为研究不同规模Pareto最优解的分布情况，从10次统计结果中各随机选取50个非支配解，如图7所示。

由图7可见，随着种群规模的提高，非支配解集的最大规模相应提高，其Pareto最优解比小规模种群分布更为广泛。不同规模种群求解关节轨迹优化模型的结果如表4所示。由表4可知，当N=300时，种群规模较大，种群内的粒子更具多样性，外部非支配解集包含更多可行解，除耗时增加外，评价指标均优于其余二者。相比其余二者，当N=300时，机器人稳定性最优值为1.347，分别减小0.154，0.006；最优运行时间为1.819 s，分别减小0.026 s，0.002 s；随着种群规模的提高，算法耗时较多，耗时增加402.870 s，163.986 s。在耗时要求不高的情况下，可利用大规模种群求解模型，以获得更多可行解。

表4 不同规模种群求解优化模型的结果

实际工程中，为延长机器人的使用寿命，可选用稳定性最优解所得的时间节点序列，以此完成机器人的关节轨迹规划。当N=300时，DCSPSO算法的稳定性最优解为(5.800,1.347)，机器人关节运行时间为5.800 s，时间节点序列t=(1.012 0.601 0.882 1.526 1.778)，关节角度、角速度、角加速度轨迹如图8所示,其中关节5未变化。

从图8可见，由于构建了关节五次B样条插值轨迹，机器人的关节角度轨迹平滑，各关节轨迹的首末速度、加速度均为0，保证了机器人启停时的稳定性，关节角速度、角加速度满足关节轨迹运动学约束。因此，利用DCSPSO算法解得的时间节点序列，可规划出满足运动学约束的关节轨迹，验证了DCSPSO算法的有效性。

为量化表示DCSPSO算法求解机器人关节轨迹多目标优化模型性能的优劣，将该算法与多目标遗传算法、多目标粒子群算法、改进多目标遗传算法3种经典多目标优化算法进行对比，结果如图9所示。图中，各算法采用相同的初始化参数求解模型，得到机器人的运动稳定性指标值和关节运动总时间的关系。

由图9可见，相比多目标遗传算法、多目标粒子群算法、改进多目标遗传算法，DCSPSO算法的Pareto前沿包含了其他3种算法的Pareto前沿，Pareto最优解处于支配地位，且DCSPSO算法的稳定性最优值与最优时间均低于其他3种算法。

为进一步比较DCSPSO算法与其他3种经典多目标优化算法的性能，选用稳定性最优解、时间最优解和拥挤度方差3个评价指标。稳定性最优值和最优时间越小，解的范围越广，算法的全局搜索能力越强。拥挤度方差越小，Pareto解的分布均匀性越好，算法越容易跳出局部最优解，局部搜索能力越强。4种算法求解优化模型的结果如表5和图10所示。

表5 不同多目标优化算法求解优化模型的结果

由图10a可见，DCSPSO算法的稳定性最优值为1.348，比其他3种经典多目标优化算法分别降低了32.9%，31.6%，22.1%；由图10b可见，DCSPSO算法的机器人运行最优时间为1.822 s，比3种算法分别降低了11.0%，8.1%，6.8%；由图10c可见，DCSPSO算法解的拥挤度方差为3.1×10-3，比3种算法分别降低了13.9%，18.4%，6.1%。

综上所述，DCSPSO算法的稳定性最优值、最优时间和拥挤度方差均优于其他3种经典多目标优化算法。因此，DCSPSO算法的全局和局部搜索能力更强，稳定性和时间优化成效显著，最优解分布均匀且不拥挤。

4.3 喷涂轨迹误差优化

由图12可知，由于预选取特征点的主观性，预选取的6个特征点确定的5段轨迹，轨迹弦高误差较大，各段轨迹的弦高误差均超过阈值，3～4段轨迹的弦高误差为12.619 mm。通过新增特征点，重新规划出的轨迹弦高误差均有不同程度的减小，0～1段轨迹的弦高误差为7.193 mm。第3次优化后，轨迹弦高误差明显降低，大部分轨迹段的弦高误差降至阈值以下，0～1段轨迹的弦高误差为3.804 mm。由于新增特征点的影响，部分轨迹弦高误差增大，如1～2段轨迹。第4次优化后，所有轨迹段的轨迹弦高误差降至阈值以下，0～1段轨迹弦高误差为1.587 mm。

由图13可知，漆膜厚度误差变化与轨迹弦高误差变化相似。首次优化时，最大漆膜厚度误差达到11.47 μm；优化4次后，所有轨迹段的漆膜厚度误差均降至阈值以下，0～1段轨迹的漆膜厚度误差为1.18 μm。具体优化结果如表6所示。

表6 喷涂轨迹误差优化结果

由表6可知，经过4次优化，特征点的数量从6个增至16个，喷涂轨迹误差得到优化，各段轨迹最大弦高误差从12.619 mm降至7.193 mm，3.804 mm，1.587 mm，最大漆膜厚度误差从11.47 μm降至3.48 μm，3.09 μm，1.18 μm，证明了喷涂轨迹误差优化的可行性和必要性。

综上所述，喷涂轨迹误差模型构建合理，可显著降低弦高误差和漆膜厚度误差，使喷涂轨迹误差满足喷涂加工精度约束，而且通过合理新增特征点，有效弥补了预选取特征点的主观性。

5 结束语

本文针对喷涂轨迹和关节轨迹不满足机器人运动学和喷涂加工精度混合约束的不足，提出基于DCSPSO算法的机器人喷涂轨迹协同优化方法，利用该方法对不同规划空间的轨迹进行协同优化，可使关节轨迹和喷涂轨迹满足机器人运动学和喷涂加工精度的混合约束。根据机器人的喷涂效率和运动稳定性构建关节轨迹多目标优化模型，并将运动学约束加入多目标优化模型，再采用DCSPSO算法求解多目标优化模型。应用实例表明，机器人喷涂稳定性和时间优化成效显著，最优解分布均匀且不拥挤。根据理论轨迹与反馈轨迹的弦高误差和漆膜厚度误差构建喷涂轨迹误差模型，再利用DCSPSO算法进行喷涂轨迹误差优化，可有效降低喷涂轨迹误差。