关注学生数学现实 开展结构化教学——以《卫星运行时间》一课为例

陈莉群

（泉州师范学院附属小学，福建 泉州 362000）

国际著名数学家弗赖登塔尔指出：“数学现实就是指站在数学的角度去观察客观世界并在此基础上去思考所获取的知识内容，关注与数学知识之间的内部关联，是一种认知结构，学生的这些数学现实不但包括他们已有的人生经历、知识背景、数学思维、抽象能力等，还应该包括他们在当下所能够得到的教育和数学成长，是学生个体的、变化的和发展的动态系统。”［1］所谓结构化教学是指“建立在数学知识系统和学生已有认知基础之上的，以整体关联为抓手、以动态建构为核心，以发展思维为导向，以提高基本学力和数学综合素养作为教学目标所要求的学习过程、学习方式和方法。”［2］

现代教育理论认为，学生学习知识的真正目的在于发展学习系统，提高学科素养。小学数学教学已由大量识记无迁移能力的知识输入转向学生自我汲取知识的教育阶段。教学中，教师要紧密关注学生已有的数学现实，站在整体化、系统化的高度，帮助学生将新知与原有的认知产生联结，促进学生已有知识与经验的迁移，促进学生知识、智力和能力体系结构的发展。本文以北师大版教材四年级上册《卫星运行时间》一课为例，谈谈基于学生数学现实进行结构化教学探索。

《卫星运行时间》这节课的主要内容是学习三位数乘两位数，与两位数乘两位数相比，算理和算法完全相同。大多数教师在教学本课时发现，学生兴致不高，学得不好，看起来会了，但是若检查对算理的理解，学生会错误百出。面对这样的情况，在教学《卫星运行时间》这一课时，笔者思考的问题是：

1.基于学生已有的数学现实（学生之前学了三位数乘一位数与两位数乘两数），本节课教什么？

2.如何将教材中编排（或学生出现）的不同计算方法之间建立起有序联系，让学生更加深入理解三位数乘两位数的算理？

带着这样的思考，认真解读教材与学生，教师不难发现，虽然三位数乘两位数的算理和算法与两位数乘两位数完全一致，但由于增加了因数位数，相应地提高了计算的难度，导致了计算中各种不同情况的出现。因此，本课的学习不仅必要，而且重要。本课教学的关键在于引导学生将两位数乘两位数的算理和算法迁移到三位数乘两位数中，完成新旧知识的衔接，掌握笔算的技能，构建完整的知识网络。

基于此，笔者的教学从以下两个方面展开。

一、突出本质，同化认知，在类比中理解

学生在学习中的知识迁移具有完备性和条件性，需要共同因素的作用。发现数学知识间的共同要素，有助于学生把握表面异质的知识间的内在关系，具有举一反三、促进理解之效。

（一）复习巩固，唤醒经验

根据学生的认知规律，当新知识与原有的知识经验的关联程度越深，就越能激发学生的学习欲望，已有的认知经验就激活程度越高，越容易实现对新知的个性化学习。［3］

上课伊始，先通过两道复习题，唤起学生已有的知识经验，学生在计算、交流过程中对三位数乘一位数、两位数乘两位数的计算方法、算理得以回顾，唤醒，对已学的知识进行归纳整理，同时为新授作充分的铺垫，在新旧知识之间搭起了一座桥梁。

［教学片段一］

师：我们已经学过哪些乘法计算？

生：我们学过乘法口算、三位数乘一位数和两位数乘两位数的笔算。

师：请你用竖式计算214×7、35×16 这两道题，并和同桌说一说计算过程。

学生独立计算，并交流。

生：计算214×7，分别用7 去乘214 各个数位上的数就可以得到结果。

生：计算35×16，先用个位上的6 去乘35，得210，再用十位上的1 去乘35，得35 个十，也就是350。最后把350 和210 相加就可以。

像这样，在学习中将新知与旧知充分联系，从而拓展原有认知，将新知融入自身的认知结构，该过程通常称为“同化”（从旧知探寻新知）。上文所述的学生通过调用“两位数乘两位数”笔算方法的经验来解决“三位数乘两位数”笔算的新问题，这就是同化。同化可以帮助学生在原有的认知结构中找到新知识的可对应内容，以便使新知识与学生的现有知识联结，使之处于准备接受、处理新知识的状态。

（二）经验迁移，自主建构

学生对整数乘法竖式计算的学习是逐步推进的。在学习整数乘法竖式计算的过程中，他们经历了一系列的操作体验活动，如摆学具、摆小棒、点子图等，这些活动让他们直观理解了算理，抽象出了算法，在头脑中形成乘法竖式计算的位值制模型。所以，本节课要学习的三位数乘两位数竖式计算，与前面的学习内容对比，只是增加了因数的位数，学生学习的基础是借助竖式计算的位值制模型和算理经验，利用迁移规律展开的探究学习。因此，本课的学习对于大多数四年级的学生来说不会有太大难度。

［教学片段二］

1.分析题意，列一列

出示例题：

学生根据信息提出数学问题。教师从学生提出的问题中选取一个展开教学。

师：绕地球21 圈需要多少时间？请列出算式，再和同桌说一说为什么这样列？

生：因为绕地球1 圈要114 分，求绕地球21 圈所用的时间就是求21 个114 分是多少。所以列式为：114×21。

2.借助已学，明晰算理

师：回顾之前所学，想一想怎么算114×21，并把计算过程写下来。

生1：把21 分成20 加1，先算20 圈需要多少时间，用114×20＝2280；再算1 圈需要多少时间，用114×1＝114；最后把它们合起来就是21 圈所需的时间，用2280+114＝2394。

（114×20＝2280 114×1＝114 2280+114＝2394）

生2：我是把21 分解成7×3，然后转化成三位数乘一位数来算就很简单。先算114×7=798，再算798×3＝2394。

（114×21＝114×7×3＝798×3＝2394）

生3：我用表格的方法，把114 分成100+10+4，把21 分成20+1，第一行算的是114×20=2280，第二行算的114×1=114，最后把2280 和114 相加，得2394。

生4：我是列竖式计算的。先算114 乘1 等于114，再算114 乘20 等于2280，最后把两部分的积相加。

师：咱们请这位同学把竖式写在黑板上。（板书竖式）

……

教学时，通过列一列、算一算等活动，激活学生已有的学习经验。无论哪种方法，不管是竖式计算，还是口算，或者借助表格计算，学生无不是尝试调用已学，把新知识带入到已学的旧知识中，主动地进行迁移学习。这个探究的过程不仅发展学生的数感，提高运算能力，也为后面进一步学习数的计算做铺垫。

纵览有关计算教学，大多数的新知都是由原有知识迁移变化，最后整合而形成的。因此，通过分析知识的结构特点，教师在计算教学中注重培养学生自主探究的能力，充分发挥学生从旧知探寻新知的优势，从而帮助学生建构新知，完善认知结构。

（三）理解算理，理法交融

《义务教育数学课程标准（2011 版）》正式将“运算能力”列入数学核心素养的范畴，“理解算理”成为学生运算能力发展的重要目标之一。马云鹏教授提出：“我们在理解算理的过程中，需要学生具备一定的数感。在课堂教学中，语言表征、算式和意象等各种多元化的表现形式都有助于增强和培养学生对算理的认识，加深了学生对算理的深层感知，进而培养和提高学生的计算能力。”［4］

在学生的数学学习过程中，计算贯穿始末，而能否灵活运用“口算、估算、笔算”这三种计算，是评估学生运算能力的重要标准。因此，培养学生这三种能力是核心追求。

1.笔算的算理

［教学片段三］

曹培英提出：“算法、算理是运算能力的一体两翼，尤其是在小学数学中，两者相辅相成，不可偏废。”［5］对于算理的理解，本课借助情境，先让学生自己尝试用已学的知识来解决，在交流的过程中，努力引导学生发现新旧知识的内在联系，把学生的思维引到新旧知识的联结点上，还要引导学生把算理与算法融为一体，比如，说清楚怎么算，每一步算什么。学生在算法的探究中理解算理，在理解算理的基础上完善算法。

教学中，学生只有理解算理才能为算法的建构提供有力保障，也只有当算理与算法沟通，才能实现算法根植于算理基础上的保障“自然生长”，才能契合数学运算的本质，真正达到循“理”入“法”，以“理”驭“法”，构建一个“理”“法”交融的计算课堂。［4］

2.估算的意识

［教学片段四］

师：请你估一估，大概需要多少时间？

生：把114 看作100，100×21=2100（分），比2100分多。

生：把114 看作110，21 看作20，110×20=2200（分），因为我把114 和21 都估小了所以精确结果比2200 分多。

生：把114 看作120，把21 看作20，120×20=2400（分），约2400 分。因为我把114 估大，把21 估小，所以精确结果接近2400 分。

师：说得都有道理。估算是为了让我们更好把握精确结果的范围，没有固定的答案，方法也可以不相同，只要合理就行。

《义务教育数学课程标准（2011 版）》指出：估算教学不仅仅是教给学生模式化的估算方法，而是通过教学使学生对估算的意义和价值有透彻的理解，从而在计算中灵活运用估算技能。为激发学生的估算意识，重点在于赋予学生实际体验，积累丰富经验。估算的进行应该尽量结合具体情境，既符合学生的认知规律，又有助于提高学生解决实际问题的能力，真正达到学有所用。教学时，引导学生在具体的情境中估算，初步感知结果的大小，在交流中感受估算方法的多样性。

［教学片段五］

194×21=（），以下哪个答案正确？请说明理由。

【A.384 B.1494 C.3983 D.4074】

2★6×★1=（）。下面哪个答案是正确的？

A.576 B.4132 C.31006 D.5376

上述习题，不同的要求促使学生深入思考、灵活选用口算、笔算、估算三种方法，在解决问题的过程中，既发展了数感，也提升运算能力。别出心裁的作业设计既融合了估算、笔算、验算和尾数判断等多种运算经验的综合运用，又有效巩固新学的计算方法，还引导学生在充分交流的过程中积累经验。同时，估算的必要性及对笔算的强烈需求水到渠成。

二、连点成线，沟通联系，在序列中建构

学生建构数学知识一般有两种途径：一是依赖已有的生活经验，二是凭借已有的知识经验。随着学习的不断深入，学生的认知系统中已经对数学知识的逻辑性有一定的建构。如果教学能遵从数学自身的逻辑体系并基于此促进认知结构的建立，也能为学生领悟美丽的数学风景打开一扇窗。

［教学片段六］

师：同学们用了四种方法来计算114×21，这些方法之间有什么联系？

生：我发现第1 种、第3 种和第4 种方法的思路其实是一样的，都是先把21 分成20 加1，分别和114 相乘，再把两个积相加。

生：这些方法都是先把乘数拆分成更小的数来计算，再把计算结果合起来。

生：我还发现这些方法都是把三位数乘两位数转化成已经学过的来计算。

师：是的。这些方法不同，但道理相同，都是利用“先分后合”的思路，把新知识转化成已学过的知识来解决。

在这个环节，以问题“这几种方法有什么相同点与不同点？（有什么联系？）”引导学生通过观察、比较、发现竖式计算和口算、借助表格计算之间的联系，都是把除数先拆分成较简单的进行计算，再把结果合起来，也转化成已学的知识来解决，帮助学生搭建竖式和算理之间的桥梁，真正理解三位数乘两位数的算理，找到竖式的“根”。

［教学片段七］

师：两位数乘两位数与三位数乘两位数在计算方法上有什么相同点？

生：它们的计算方法是一样的。都是先用乘数个数上的数去乘另一个乘数，得到几个一，再用乘数十位上的数去乘另一个乘数，得到几个十，再把结果加起来。

师：你认为更多位数的整数乘法应该怎么算？

生：我认为更多位数的整数乘法也是和两位数乘两位数的计算方法一样。

教学中，通过呈现两位数乘两位数、三位数乘两位数再延伸多位数乘多位数，在观察比较、沟通联系、迁移应用中不断建立新知识与已有知识的联系，引领学生深入思考，梳理知识，完善认知结构，丰富学习感受，发展思维素养。

总之，教学时，教师要站在知识系统的高度，从整体的角度审视学生学习的发生、发展过程，帮助学生整合所学的零散知识，连点成线，在旧知的基础上形成关联性的新知，并将其融入原有的认知结构中，让学生有效建构数学知识体系，进一步展望知识的后续生长，让深度学习真正发生。倘若能有效开展这样的结构化学习，学生的能力发展将不可限量。