小学数学高阶思维的思考

喻 平

“高阶思维”与“深度学习”一样，是近年来教育领域具有同样热度的关键词，引起学术界和中小学一线教师的普遍关注，并投入极大的研究热情。事实上，在教育界，一个观点的冒生、一种思潮的涌动并非空穴来风，它必然有自身存在的合理性和生长的必然性。深度学习、高阶思维的出现也是如此，是全球化课程改革中为解决教学问题而产生的学术性概念。

一、高阶思维的内涵解读

对高阶思维（higher-order thinking）的界定，许多学者从揭示高阶思维的内涵、外延或特征的角度切入。1987年，Resnick首次提出高阶思维概念，他认为高阶思维的特征主要表现为：非算法的、复杂的、有多重解、需要应用多种标准和学习者的自我调节，通常涉及不确定性。Stanley把高阶思维的本质概括为三点：能使用抽象的结构进行思维；能将信息组织成一个完整的体系；应用合理的逻辑和判断准则。在Barak所撰文章中，美国科学素养协会（AAAS）和美国国家科学教育标准（NRC）指出，在探究型科学教育中，高阶思维模式的例子主要包括：制定研究问题、计划实验、控制变量、推断、提出和证明论点、识别隐藏的假设并确定可靠的信息来源。另一种研究思路是从思维水平来定义高阶思维。学术界比较认可的一致性倾向是将高阶思维与布卢姆的认知目标分类建立对应关系，由此确定高阶思维的内涵。布卢姆按照认知的复杂程度，将思维过程具体化为六种水平，也是指学生在学习中的六种行为表现，由低到高包括记忆、理解、应用、分析、综合、评价。记忆、理解和应用，通常被称为低阶思维；分析、综合和评价，通常被称为高阶思维。高阶思维是建立在低阶思维基础上的。后来有学者对此作了适当改造，将分析、综合和评价三个阶段修订为分析、评价和创造，这三个类目分别包含若干不同的子类目。当代美国教育最注重培养的三大能力是批判性思维（Critical Thinking）、创造力（Creativity）和解决问题能力（Problemsolving）。彭敬慈认为这三种能力与布卢姆认知思考层次架构是分别对应的，其中，批判性思维是指用自己厘定的准则做批判，对应“评价”；创造力是指有意义地把不同但相关的概念或事物转化并结合成新的概念或事物，对应“综合”“评价”；解决问题能力对应“分析”“综合”“评价”。分析、综合和评价统称为高阶思维。国内的许多文献都是持这种观点，把高阶思维界定为发生在较高认知水平层次上的心智活动或认知能力，它在教学目标分类中表现为分析、综合、评价和创造。

梳理上述观点，高阶思维的基本成分主要有逻辑推理、解决问题特别是解决结构不良问题、概括知识体系、批判性思维、创造性思维。下面对高阶思维作进一步分析。

首先，高阶思维属于认知范畴。简单地说，高阶思维就是高层次的思维形式，思维当然属于认知范畴，因而，把非认知因素混入高阶思维的因素中是不合适的。研究思维，一般可以从两个方面切入，即思维的质量和思维的水平。思维的质量用思维品质来刻画，思维品质包括思维灵活性、思维敏捷性、思维深刻性、思维批判性和思维独创性。因此，研究高阶思维的质量可以用高阶思维的这些品质来描述。对于思维的水平，用布卢姆的认知领域目标分类是合适的。布卢姆目标分类的后面三种水平具体含义如下，分析：指将交流内容分解成各种组成要素或部分，以使有关概念层次清楚，或使概念间的联系表达清楚。综合：把各种要素和组成部分组合成一个整体。评价：为了特定目的对材料和方法的价值作出判断。显然，这三者都是思维的高级表现，与高阶思维的立意殊途同归。

其次，高阶思维不能脱离低阶思维而独立存在。涓涓小溪汇聚方能成江河，我们可以把低阶思维视为小溪，高阶思维视为江河，这大概是一种恰当的隐喻，无小溪之水何来江河之源。高阶思维的材料是知识，知识的积淀依托于低阶思维，这是一条事实性因果逻辑链，离开低阶思维的高阶思维只是空中楼阁。例如，衡量高阶思维水平高低的一个重要指标是解决结构不良问题的能力，如果学生连结构良好的问题都解决不了，那么怎么可能解决结构不良问题？这个基本的道理告诉我们，不能脱离根基而一味拔高，为追求所谓的高阶思维而放弃对学生基础知识的教学和基本技能的培养显然是海市蜃楼。

再次，问题情境是高阶思维发生的必要而非充分条件。情境认知理论有一个经典的观点：思维不能脱离情境，离开情境，人是不能思维的，情境当然指包含着问题的情境。也就是说，思维的发生必然依附情境，情境的创设是思维发生的必要条件，当然也就是高阶思维发生的必要条件。但反之不一定成立，有情境不一定有思维产生，或者即使有低阶思维产生也不一定有高阶思维产生。事实上，这与情境中问题设置的诸多因素有关，如问题本身的难度，对学习者而言，问题的熟悉程度，问题的结构良好性程度，问题对学习者的吸引力程度，问题的设计方式，教师的诱导启发策略等，这些因素直接牵制高阶思维的产生。换言之，高阶思维的产生依赖于高质量的问题情境设计。

二、小学数学高阶思维的基本成分

在分析小学数学高阶思维的基本成分之前，需要认识下面两个问题。

对教学内容的正确认识。小学数学内容分为数与代数、图形与几何、统计与概率、综合与实践四个板块。其中数与代数主要涉及数（整数、小数、分数）的运算和解决简单方程；图形与几何涉及对图形的认识和简单几何图形及几何体的相关度量计算；统计与概率涉及对统计图、集中数量、随机性等概念的初步认识；综合与实践是应用知识解决数学问题和现实问题。可以看到，小学数学的内容主线是运算，运算贯穿于四个内容板块，而运算的依据是五条运算律（加法交换律、加法结合律、乘法交换律、乘法结合律、乘法对加法的分配律），教材中所有的运算都是运算律的特例。因此，小学数学内容的核心是五条运算律。

对数学抽象的精准把握。小学数学内容的发展经历了三次幅度较大的数学抽象。从物到数的抽象，剥离事物的物理特征抽象出数量关系，这是第一次数学抽象。从普通语言到数学语言的抽象，随着教材中数学符号、图形、图表等数学语言的逐步出现，产生了第二次数学抽象。从数到式的抽象、运算律和字母表示数的内容展现，体现出第三次数学抽象。认识清楚这三次数学抽象，对把握高阶思维的内涵至关重要。

结合上述分析，我们提出小学数学高阶思维的基本成分，由关系性理解、概括性思维、批判性思维和创新性思维等四个要素组成。

1.关系性理解。

Skemp把数学理解分为两个水平：工具性理解和关系性理解。工具性理解指语义性或程序性理解，即符号A代表什么事物或规则R怎么操作；关系性理解则需对符号的意义、获得符号指代物意义的途径、规则的逻辑依据等有深刻的认识。小学数学内容的主线是运算，运算由算法和算理两个部分组成。算法是指按照一定规则制定的运算程序或步骤；算理是指算法的原理，即为什么有这样的运算程序。显然，只掌握了算法而不理解算理，这是工具性理解水平，只有明晰了算理才能达到关系性理解水平。虽然运用算法的过程有一定的逻辑推理因素，例如，运用公式解决具体问题就是一个简单的三段论推理，但是这种低水平的推理不能视为有高阶思维介入，因为这种推理的大前提和小前提都是十分清楚的。理解算理就是理解算法的原理，这个过程包括了较高层面的逻辑推理，需要高阶思维的介入。简言之，高阶思维只能发生在关系性理解的过程中。需要指出的是，虽然课程标准没有对小学阶段有逻辑推理的要求，但大量的研究表明，小学生存在逻辑思维发展的关键期，我们应该而且必须在小学三年级之后进行适当的逻辑推理训练。

2.概括性思维。

概括性思维指概括知识体系、知识结构和概括数学思想方法的思维方式。概括的本意有归纳、提炼、抽象的含义，属于布卢姆目标体系中的“综合”层面，因而是一种高阶思维形态。从知识层面看，对一个数学概念、命题的理解，不仅要理解它的内涵，明晰它的外延，更重要的是要将其置于一个体系中，厘清它与其他概念之间的关系，形成概念或命题体系，这是概括性思维的一种表现。小学数学知识结构的最高概括形式就是五条运算律，教师在教学中要时时抓住这个核心，纲举目张。从思想方法层面看，思想方法不具有个性特征，它可以对一类事物作共性的解释和描述，具有普适性要义。显然，对数学思想方法领悟需要概括性思维介入。如前所述，小学数学要经历三次数学抽象，其实，这三次抽象都是概括性思维的体现，从物到数的抽象，是对事物数量关系的概括；从普通语言到数学语言的抽象，是对一类数学对象共性的概括；从数到式的抽象，是从个别现象到一般规律的概括，因此，学生能否完成这三次抽象，很大程度上由他们的概括性思维水平决定。

3.批判性思维。

批判性思维是一种基于充分的理性和客观事实而进行理论评估与客观评价的思维方式。批判性思维并非仅仅是一种否定性思维，它还具有对一件事情给出更多可选择解释和进一步思考的意义。批判性思维属于布卢姆认知目标体系中的“评价”层面，因而是一种高阶思维形态。数学教科书的一个显著特点就是整个内容都是真理的再现，从头到尾没有一个错误，学生的任务是相信这些真理，接受这些真理，个人的想法和观点无法进入教学环节。显然，完美无缺的教材体系无疑为批判性思维介入教学构筑了一道封闭的围栏，这大概也是造成当下的小学数学教学过多地沉溺于低阶思维训练的原因之一。突破这个围栏的一条有效途径是为学生提供解决非常规性问题的机会，例如，解决开放性问题，即条件可能不充分、结论可能不唯一、条件可能冗余的问题。解决这类问题，需要学生突破有章可循的解题思路，通过试误、猜想、证伪、证实的探究方式获得问题解决方案，其间，批判性思维必然扮演重要角色。

4.创新性思维。

创新性思维是指打破固有的思维模式，从新的角度、新的方式去思考，得出不一样的并且具有创造性结论的思维方式。对中小学生而言，创新是相对的，只要突破固有模式得到与既成事实不同的结果或想法，甚至对一个事实作出不同的解释等都可视为创新性思维。创新性思维对应布卢姆认知目标体系中的“综合”与“评价”，属于高阶思维范畴。显然，创新性思维与批判性思维是相互关联的，许多创新往往建立在批判之上。与批判性思维一样，创新性思维的培养也必须突破教材的束缚，从单纯接受真理的学习样态转向讨论真理的学习样态，学生要从教学的“旁观者”变为教学的“参与者”，让创新性思维真正在课堂教学中占有一席之地。

三、对发展小学生高阶思维的思考

1.从低阶思维转向高阶思维是教学理念与方法的革新。

新一轮基础教育课程改革把核心素养的培养作为明确的目标，这是与以知识传授为主要目标的传统教育理念相背离的变革。以知识的理解和掌握为目标的教学，很容易陷入低阶思维的洼地，具体表现就是大量的、重复性的解题训练。设想一下，一道两位数乘两位数的乘法题目，普通的学生可能做10道题目就完全掌握了运算方法，那么有必要让他们去做20甚至50道相同类型的题目吗？这种训练毫无高阶思维可言。如果在一定题目数量训练的基础上，让学生去探究两位数乘三位数的算法，那么教学的目标就发生了变化，高阶思维也自然地进入了教学情境，因为有了学生自主探索的情境。在这一次课程的重大改革面前，教师们要思考：如何从已经积累了丰富经验的知识教学目标定位思维走出来，转向扑面而来、毫无经验的核心素养目标定位新思维？如何在熟练驾驭、得心应手的教学方式中渗入核心素养培养的教学元素，甚至扬弃传统教学模式重构新型教学模式？有一条必须强调：弱化低阶思维的解题训练是教学改革的必由之路。

2.一味强调题目的难度并不能涵盖高阶思维的全野。

需要辨析一下，对学生进行高难度题目的训练是否就是在训练高阶思维。所谓难题，是指可能需要用到多种知识、可能用到高超技巧来解决的问题。这类问题的解答有两个明显的特征：其一，在解答过程中，逻辑推理会进入一种较高的层面，推理步骤会增多，逻辑链会加长；其二，解决难题也是一个探究过程，探究解决问题的方案和方法。从这两个特征看，解决难题的确有高阶思维的成分。但是也必须清楚地认识到，解答难题的前提是必须运用已有的知识、规则和算法，不是在创新知识或创设算法，因而不会含有批判性和创新性元素，因此，单纯的难题训练不能涵盖高阶思维的概念外延。而且，过度强调难题训练会走入与数学教育价值追求相背离之路。高阶思维与“难度”有关，但与探究、批判、创新更有直接的相关性。

3.充分发挥非认知因素对发展学生高阶思维的作用。

高阶思维属于认知范畴，如果把高阶思维与三维目标对照，它应该归入“过程与方法”目标，与“情感态度价值观”的联系不大；如果将其与数学学科核心素养对照，它应当归入“关键能力”目标，与“必备品格”“正确价值观”联系不大。于是可能会出现过度推崇高阶思维而导致教学目标失重现象，即单纯追求发展学生的高阶思维势必窄化教学目标，造成非认知因素和价值信念的目标弱化。其实，发展学生的高阶思维与情感、态度、品格、价值观的培养是有联系的。认知领域研究的问题是“能不能做事”，非认知领域研究的问题是“愿不愿做事”，愿不愿做事当然直接影响到能不能做事，可以说，良好的非认知因素是高阶思维生成的必要条件。因此，在对学生进行高阶思维的训练中，必须调动学生的学习动机、兴趣，消除学习焦虑，培养他们克服困难的意志和坚韧不拔的品格。只有沟通了高阶思维训练与非认知因素培养之间的关系，方能实现学生在真正意义上的高阶思维发展。

4.学生高阶思维水平的测评应当纳入学习评价体系。

长期以来，学习评价主要以考试方式来完成，而考试又偏重知识的理解和技能的掌握，于是就会出现为了应付考试，学生不得不记忆大量的知识和技能，通过数量庞大的练习使习得的基础知识和基本技能得以巩固下来的学习状况，形成做题是主要的学习方式、“题海”训练是常规任务的局面。从知识导向到能力为重的评价转型，可以淡化学生对知识点的死记硬背，强化对知识的综合运用；可以减少学生大量的机械练习，着重提升反思意识和创新能力。因此，在考试命题方面应当着力改革，适当增加探究性问题、开放性问题，削减低阶思维的题目，让高阶思维进入学习评价体系，只有对高阶思维的测评，才能反映出学生数学关键能力的高阶水平。