重视函数应用赏析经典考题

■钱伟密 张启兆

函数是描述现实世界变化规律的数学模型,也是分析和解决实际问题的重要工具,函数的应用主要体现在两个基本方面:一是运用函数的思想方法思考、解决其他数学问题,二是运用函数的思想方法描述、分析、解决实际问题。因此,我们要重视函数应用,提升核心素养。

题型1:函数零点所在区间的判断

确定函数f(x)的零点所在区间的常用方法:(1)定义法,已知函数y=f(x)在区间[a,b]上的图像是一条连续不断的曲线,当f(a)·f(b)<0时,函数f(x)在区间(a,b)内至少有一个零点;(2)图像法,一个函数由两个初等函数构成,如函数f(x)=g(x)-h(x),可作出y=g(x)和y=h(x)的图像,其图像交点的横坐标即为函数的零点。

例1 函数f(x)=2x-1+x-5 的零点所在的区间是( )。

A.(0,1) B.(1,2)

C.(2,3) D.(3,4)

解:因为函数y=2x-1与y=x-5 在R上都是增函数,所以f(x)=2x-1+x-5在R上单调递增,故函数f(x)=2x-1+x-5最多有一个零点。由f(2)=22-1+2-5=-1<0,f(3)=23-1+3-5=2>0,根据函数零点存在性定理知f(x)=2x-1+x-5有一个零点,且该零点所在区间(2,3)内。应选C。

评注:要理解函数零点与方程的根的关系:方程f(x)=0有实数解⇔函数y=f(x)有零点⇔函数y=f(x)的图像与x轴有公共点。

题型2:函数零点中的新定义问题

解:当x∈[0,1)时,[x]=0,f(x)=x;当x∈[1,2)时,[x]=1,f(x)=x-1;当x∈[2,3)时,[x]=2,f(x)=x-2;当x∈[3,4)时,[x]=3,f(x)=x-3;当x∈[4,5)时,[x]=4,f(x)=x-4,…。

作出两个函数f(x)=x-[x](x≥0)和y=kx的图像,如图1所示。

评注:本题考查分类讨论,数形结合以及转化思想的应用。

题型3:应用所给函数模型解决实际问题

应用函数模型解决实际问题的几个注意点:(1)认清所给函数模型,弄清哪些量为待定系数;(2)根据已知条件,确定模型中的待定系数;(3)利用该模型求解实际问题。

(1)首次服药后,药物有疗效的时间是多长?

(2)首次服药1h后,可否立即再次服用同种规格的这种药物?

参考数据:lg2≈0.3,lg3≈0.477。

图2

评注:解答函数模型应用问题的关键是审题,对于给出图形的问题,要文图对照,即在阅读文字、符号的同时,一定要阅读图形,因为图形也是数学语言。

题型4:构建函数模型解决实际问题

构建二次函数模型,常用配方法、数形结合法以及分类讨论的思想求解;构建分段函数模型,应用分段函数分段求解的方法;构建指数函数、对数函数、幂函数模型的关键是理解和掌握这三种函数的图像与性质。

例4 我国每年浪费的粮食总量至少能养活2 亿人,而全球有近6.9 亿人处于饥饿状态。习近平总书记对制止餐饮浪费作出重要指示,强调要“坚决制止餐饮浪费行为,切实培养节约习惯,在全社会营造浪费可耻,节约为荣的氛围”。在各级政府的大力倡导下,人们的节约意识逐步提高,浪费的粮食以每年20%递减,从2021年开始计算,我国最早从哪一年开始能使浪费的粮食不超过2021年浪费粮食总量的5%? ( )。(参考数据:lg2≈0.301)

A.2032 B.2033

C.2034 D.2035

因为n∈N*,故n≥2035。应选D。

评注:求解函数应用问题的一般程序:审题—建模—求模—还原—反思回顾。