指数函数与对数函数中的误区警示

■方敏茹

下面对指数函数与对数函数解题中的高频失误点进行归纳剖析,希望帮助同学们突破这些易错点,牢固掌握函数知识,逐步培养正确的数学思维能力。

误区1:忽视指数函数中对底数的分类讨论

剖析:题中将2x当作一个整体进行了换元,得到一个新的一元二次函数,却忽视了新参数的取值范围。

正解:函数f(x)=4x+2x+1+2=(2x)2+2·2x+2(x≤0),令t=2x,0

警示:在利用换元法求函数值域时,经过换元,所得函数的定义域发生了变化,因此要注意换元后函数的定义域为原变量的值域。

错解:函数y=loga(2-ax)是由y=logau,u=2-ax复合而成。因为a>0,u=2-ax在[0,1]上是减函数,而y=loga(2-ax)在[0,1]上是减函数,所以由复合函数的单调性知y=logau应为增函数,所以a>1。

剖析:题中虽然考虑了对数函数与一次函数的复合关系,却忽视了定义域的限制。单调区间应该是定义域的子集,即函数应在[0,1]上有意义。

正解:函数y=loga(2-ax)是由y=logau,u=2-ax复合而成。因为a>0,y=2-ax在[0,1]上是减函数,由复合函数的单调性知y=logau应为增函数,所以a>1。又u>0,即当x∈[0,1]时,2-ax>0,所以2-a×1>0,可得a<2。综上可知,a的取值范围是(1,2)。

警示:涉及复合函数的单调性问题应注意两点:一要注意函数的定义域,二要注意“同增异减”法则的应用。

误区5:混淆对数型复合函数的定义域与值域

例5 已知函数f(x)=lg[(a2-1)x2+(a+1)x+1],若函数f(x)的值域为(-∞,+∞),求实数a的取值范围。

错解:设t=(a2-1)x2+(a+1)x+1。因为f(x)∈(-∞,+∞),所以t>0。

警示:对数函数y=logax的值域为R时,必须保证函数的定义域恰好是(0,+∞),即x取遍所有正数,也就是“真数取尽所有正实数”。

提示:由f(x)=f(x-1)-f(x-2),x>0,得f(x+1)=f(x)-f(x-1),利用方程组观念得f(x+1)=-f(x-2),所以f(x)=-f(x-3),则f(x+6)=-f(x+3)=f(x),即当x>0时,函数f(x)的周期为6。由已知得f(-1)=log22=1,f(0)=0,f(1)=f(0)-f(-1)= -1,f(2)=f(1)-f(0)=-1,f(3)=f(2)-f(1)=0,f(4)=f(3)-f(2)=1,f(5)=f(4)-f(3)=1,f(6)=f(5)-f(4)=0,所以f(2011)=f(6×335+1)=f(1)=-1。