函数模型的建立与应用

■台勤生

数学和生活是相通的,其中函数就是刻画现实世界变量之间关系的一种非常重要的模型。通过建立相应的函数模型,利用数学知识来解决实际应用问题,有利于提升同学们的阅读理解能力与应用能力。

一、指数函数模型

由于指数函数这种爆炸性增长方式的特点,使得指数函数模型多适用于细胞分裂、人口增长、利润增长、银行储蓄等经济生活和社会生活问题。

例1 倡导环保意识、生态意识,构建全社会共同参与的环境治理体系,让生态环保思想成为社会生活中的主流文化。某化工企业探索改良工艺,使排放的废气中含有的污染物数量逐渐减少。已知改良工艺前所排放的废气中含有的污染物数量为2mg/m3,首次改良工艺后所排放的废气中含有污染物数量为1.94mg/m3,设改良工艺前所排放的废气中含有的污染物数量为r0,首次改良工艺后所排放的废气中含的污染物数量为r1,则第n次改良后所排放的废气中的污染物数量rn可由函数模型rn=r0-(r0-r1)·50.5n+p(p∈R,n∈N*)给出,其中n是改良工艺的次数。

(1)试求改良后rn的函数模型。

(2)依据国家环保要求,企业所排放的废气中含有的污染物数量不能超过0.08mg/m3。试问:至少进行多少次改良工艺后才能使企业所排放的废气中含有污染物数量达标? (参考数据:lg2=0.3)

解:(1)由题意得r0=2,r1=1.94,所以当n=1 时,r1=r0-(r0-r1)·50.5+p,即1.94=2-(2-1.94)·50.5+p,解得p=-0.5,所以rn=2-0.06×50.5n-0.5(n∈N*)。

故改良后所排放的废气中含有的污染物数量的函数模型为rn=2-0.06×50.5n-0.5(n∈N*)。

由上可知,至少进行6 次改良工艺后才能使得该企业所排放的废气中含有的污染物数量达标。

评析:利用指数函数可以将一些复杂问题进一步简单化、精确化,从而很容易找到解决问题的方案。

二、对数函数模型

对数函数的增长方式常被形象地称为能量渐失,因此在价格与利润,收入与成本、人口等生产、生活及航天领域都有着比较广泛的应用。

例2 “复兴号”动车组列车是中国标准动车组的中文名称,是由中国铁路总公司牵头组织研制、具有完全自主知识产权、达到世界先进水平的动车组列车。2019年12月30日,CR400BF-C 智能“复兴号”动车组在京张高铁实现时速350km 自动驾驶,不仅速度比普通列车快,而且车内噪声更小。我们用声强I(单位:W/m2)表示声音在传播途径中每平方米面积上的声能流密度,声强级L(单位:dB)与声强I的函数关系式为L=10lg(aI),已知I=1013(W/m2)时,L=10(dB)。若要将某列车的声强级降低30dB,则该列车的声强应变为原声强的( )。

A.10-5B.10-4C.10-3D.10-2

解:由已知得10=10lg(a×1013),解得a=10-12,故L=10lg(10-12×I)=10(-12+lgI)。设某列车原来的声强级为L1,声强为I1,该列车的声强级降低30dB 后的声强级为L2,声强为I2,则L1-L2=10(-12+

评析:对数函数作为一种基本的数学模型,在解决人们生活中的一些常见问题时有着广泛的应用。

三、合理选择函数模型进行拟合

这类问题,给出不同的函数,要求利用已知信息选择正确的函数模型,因此,要充分掌握它们各自不同的特性以及它们增长的差异性,并体会直线上升、指数爆炸、对数增长缓慢等不同函数类型的含义。

例3 某工厂今年1月、2月、3月生产某种产品的数量分别是1万件、1.2万件、1.3万件,为了估测以后每个月的产量,以这三个月的产品数量为依据,用一个函数模拟该产品的月产量y与月份x的关系,模拟函数可以选用二次函数或函数y=a·bx+c(其中a,b,c为常数)。已知4 月份该产品的产量为1.37万件,请问用以上哪个函数作为模拟函数较好,并说明理由。

显然g(4)更接近于1.37,故选用y=-0.8×0.5x+1.4作为模拟函数较好。

评析:根据题意,该产品的月产量y是月份x的函数,可供选用的函数有两种,哪一种函数确定的4 月份该产品的产量愈接近于1.37万件,哪种函数作为模拟函数就较好,故应先确定出这两个函数的具体解析式。

1.基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数。基本再生数指一个感染者传染的平均人数,世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间。在新冠肺炎疫情初始阶段,可以用指数模型I(t)=ert描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位:天)的变化规律,指数增长率r与R0,T近似满足R0=1+rT。有学者基于已有数据估计出R0=3.28,T=6。据此,在新冠肺炎疫情初始阶段,累计感染病例数增加1 倍需要的时间约为( )。(ln2≈0.69)

A.1.2天 B.1.8天

C.2.5天 D.3.5天

2.尽管目前人类还无法准确预报地震,但科学家通过研究已经对地震有所了解,例如,地震释放出的能量E(单位:J)与地震里氏震级M之间的关系为lgE=4.8+1.5M。据此推断2008年5月12日我国四川省汶川地区发生里氏8.0 级地震所释放的能量是2020年9月30日我国台湾省宜兰县海域发生里氏5.0 级地震所释放的能量的( )倍。

A.lg4.5 B.4.5 C.450 D.104.5