拓展的离散等级结构种群模型的稳定性

胡 昕，何泽荣

(杭州电子科技大学理学院，浙江 杭州 310018)

0 引 言

从现有的生态学研究成果可以发现：各种不同类别的生物种群内部确实存在个体等级或社会地位差异，这种差异对个体生存和群体演化有重要影响[1]。基于数学模型的已有成果中，多数采用连续模型[2-4]，然而，离散模型便于应用。关于离散等级结构模型目前已有一些研究成果。比如，文献[5]主要分析了种群内部的个体竞争，弄清了Scramble和Contest两种不同竞争模式对种群平衡水平和恢复弹性之间的影响；文献[6-7]讨论了种群模型的稳定性和持续生存等问题，基于模型参数给出了相关判据。但是，文献[6]只涉及高等级个体对繁殖的影响，文献[7]仅涉及低等级个体影响。本文建立一类适用面较广的离散等级结构种群模型，综合考虑了各类个体对繁殖率的影响，拓展了文献[6-7]的研究结果。

1 种群模型

假设种群内部个体共有m(m≥2)个等级，由低到高依次为1,2,…,m；令Pi(n)表示第n时间段内等级为i的个体数量，i=1,…,m；等级为i的个体构成第i组，第1组的个体都是幼体，由其它组的个体繁殖而来。经过一个单位时间段后，个体的等级要么不变，或者提升1或2，要么死亡。由此可得以下非线性等级结构模型：

(1)

2 解的非负有界性

证明使用模型(1)的结构和参数假设，可知Pi(n)≥0，n≥1。若存在N≥1使得P(N)=0，则有P(0)=0，这与初始分布非零矛盾。由模型(1)的第一个方程得：

由此可知：

类似地，有：

P3(n)≤a31M1+a32M2+a33P3(n-1)≤

其余估计同理可得，证毕。

3 正平衡态的存在性

定理2如果R0≤1，那么模型系统(1)没有正的平衡态；如果R0>1，那么该系统具有唯一正的平衡态。

(2)

根据方程组(2)不难推出：

定义函数

4 零平衡态的稳定性

种群系统(1)在零平衡态处的雅可比矩阵如下：

定理3当R0<1时，模型(1)的零平衡态渐近稳定；当R0>1时，零平衡态不稳定。

再证存在J0的特征值λ1，使得λ1>aii。由于J0是本原矩阵，运用Perron-Frobenius定理[8]可得：必有J0的单重特征值λ1，它满足λ1>|λi|，其中λi表示J0的任何其它特征值；且相应于λ1的特征向量的所有分量均为正，即(t1,t2,…,tm)>0。从而有：

(3)

因为a12β,a13β,…,a1mβ全为正数，所以a11t1<λ1t1，即a11<λ1。同理可得λ1>aii，i=2,…,m。

J0的特征多项式计算如下：

f(λ)=|λI-J0|=

其中Zi=b′iZi-1+d′iZi-2，(i=1,2,…,m)，Z1=1，Z2=b′2=a21，b′i=ai,i-1，d′i=ai,i-2(λ-ai-1,i-1)。

由于λ1是特征根，从而有f(λ1)=0。 由此可得：

所以，若λ1≥1，则由Q′i≤Qi可推出R0≥1。因此，如果R0<1，那么λ1<1，系统(1)的零平衡态局部渐近稳定。类似可以证得：如果R0>1，那么λ1>1，该系统的零平衡态不稳定。证毕。

5 结束语

尽管本文的模型比文献[6]和文献[7]复杂，但基本再生数R0仍然发挥其决定性作用。当R0<1时，种群会灭绝；当R0>1时，系统出现正平衡态，且种群有生存机会。因此，R0对维护生物多样性很有意义。另一方面，正平衡态的稳定性分析更加困难，有待深入探索。