解三甬形中正弦、余弦定理的“五”大应用

■四川省成都经济技术开发区实验中学校 杜海洋

一、三角形的有关性质

（1）在△ABC中，A＋B＋C＝π；a＋b＞c，a－b＜c；a＞b⇔sinA＞sinB⇔A＞B。

二、正弦定理和余弦定理

表1

三、解三角形的类型

（1）已知两角一边，用正弦定理，有解时，只有一解。

（2）已知两边及其一边的对角，用正弦定理时，有解的情况可分为以下情况，在△ABC中，已知a、b和角A时，解的情况如表2：

表2

四、正弦、余弦定理在解三角形中的五大应用

1.在解三角形中的应用

方法总结：利用正弦定理可解决以下两类问题：一是已知两角和其中一角的对边，求其他边与角；二是已知两边和其中一边的对角，求其他边与角（该三角形具有不唯一性，常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断）。利用余弦定理可解决以下两类问题：一是已知两边和它们的夹角，求其他边与角；二是已知三边求各个角。由于这两种情形下的三角形是唯一的，所以其解也是唯一的。

2.在三角形解的判定中的应用

例2不解三角形，请判断下列三角形解的个数：

（1）a＝5，b＝4，A＝120。；

（2）a＝5，b＝10，A＝150。；

（3）a＝9，b＝10，A＝60。；

（4）a＝18，b＝24，A＝44。。

解析：（1）因为a＞b，且A为钝角，所以△ABC有唯一解。

（2）因为b＞a，且A为钝角，所以△ABC无解。

（3）因为bsinA＝10×，所以bsinA＜a＜b，△ABC有两解。

（4）因为bsinA＝24sin44。＜24sin45。＝12，且12＜18＜24，所以△ABC有两解。

方法总结：（1）已知三角形的两边和其中一边的对角，由正弦定理可以求出另一边的对角的正弦值，从而解出三角形，但这个三角形不一定有解。这类问题可以通过计算来判断，也可以通过画图用几何方法来判断。讨论时应注意两点：一是其正弦值与“1”的大小关系，从而决定符合正弦值的角是否存在；二是由此确定的角（0。～180。）有几个，它与已知角的和是否小于180。。

（2）依据已知条件中的边角关系判断三角形的形状时，主要有如下两种方法：（1）利用正弦、余弦定理把已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状；（2）利用正弦、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系，通过三角函数恒等变形，得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用A＋B＋C＝π这个结论。

3.正弦、余弦定理与其他知识的综合应用

例3在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，并且内角A，B，C成等差数列。

方法总结：正弦、余弦定理与三角函数、数列、平面向量综合考查出现频率较高。解决此类问题：首先要把握题目重点考查的知识点是什么，它们之间有怎样的联系，怎样将他们整合在一起；然后将问题合理转化，特别注意三角形中角的取值范围。

4.在三角形的范围与最值问题中的应用

例4在△ABC中，已知tanA＝。

若△ABC为锐角三角形，其面积为6，求BC的取值范围。

方法总结：（1）求式子的取值范围，可以将其转化为关于一个角的三角函数求最值问题。

（2）利用正弦定理求有关三角函数最值的求法：①利用正弦定理厘清三角形中基本量间的关系或求出某些基本量；②将要求最值或取值范围的量表示成某一变量的函数（包括三角函数），从而转化为求函数的最值问题。

5.在结构不良及开放型问题中的应用

例5已知a，b，c，分别为△ABC内角A，B，C，的对边，若△ABC同时满足下列四个条件中的三个：①cosB＝－；②cos2A＋2cos2＝1；③a＝；④b＝2。

（1）满足有解三角形的序号组合有哪些？

（2）在（1）所有组合中任选一组，并求对应△ABC的面积。

方法总结：结构不良题型是新课改地区新增加的题型，其实所谓结构不良题型就是给出一些条件，另外的条件题目中给出三个，同学们可以从中选择1 个或者2 个作为条件，进行解题。在选择的条件中，并没有哪个条件让解答过程比较复杂，只要推理严谨、过程规范，都会得满分。同学们在解决这样的结构不良问题时，不存在选哪个更好。而且，这种新题型才开始进入大家的视野，考查难度一般都不会太大。所以，在学习的过程中，我们可以将解三角形和数列的结构不良问题作为训练的重点。