连续梁桥地震反应的频域辅助体系传递矩阵法

杨 帆，乔文靖，周润熙

(西安工业大学 建筑工程学院,西安 710021)

地震是最具破坏性的自然灾害之一几乎不可预测。地震时从震源释放的能量以地震波的形式传递给地表，但由于地表的地形和地质条件有差异，地震波到达地表的震动就不同[1]。对于小跨径桥梁一致输入误差很小，但是随着连续梁桥的发展，其结构墩高越来越高，桥梁跨度也越来越大，地震发生时不同桥墩或桥台处的地面运动往往差别较大，因此需要考虑地震动的空间变化效应，即多点输入问题[2]。地震作用下连续梁桥的动力响应快速计算一直是地震工程理论研究的重要课题。当前，以离散结构有限元动力方程为基础，针对多点输入应用较为广泛的是时程分析法[3-5]。

传递矩阵法因其精确度高且计算效率高的特点，已经在动力仿真领域得到了广泛的应用。文献[6]保留了传递矩阵法建模高效、计算快速的特点，提出了适用于非周期振动系统的离散传递矩阵法。文献[7-8]为提高变截面刚构桥地震动力时程分析的计算效率，提出了基于离散时间传递矩阵法的时程算法。文献[9]基于Euler-Bernoulli曲梁理论，考虑材料沿拱厚度方向的改变，用传递矩阵法推导出变曲率拱的面内自由振动特征方程，并分析了曲率变化系数和材料体积分数变化系数对变曲率拱面内自由振动频率条件、厚度变化形式、厚度变化系数及长径比对自由振动的影响规律。文献[10]采用梁理论，研究了热环境下功能梯度材料圆梁的平面内自由振动。文献[11-12]提出了一种考虑叠合界面摩擦效应的特殊叠合梁自振频率计算方法。假设梁按等波长或等刚度两种形式振动，运用传递矩阵方法，推导出了简支叠合梁自振频率的计算公式。文献[13-14]结合精细积分和传递矩阵法对变厚度圆柱壳的自由振动进行了计算。文献[15-16]利用Cayley-Hamilton方法以及传递矩阵法结合研究结构的振动特性。文献[17]建立了一种基于支座加速度输入的频域地震反应分析方法，研究了结构在支座加速度输入下的动力反应。

对于结构地震反应分析，国内外学者都做了大量研究。用传递矩阵法研究结构地震反应还处于起步探索阶段，文中采用辅助体系传递矩阵法与大质量法相结合，在频域内建立多跨连续梁桥的地震反应分析方法，基于以上理论编制了相应的计算程序，并进行了算例分析。

1 辅助体系传递矩阵法的表示方法

单跨梁的空间振动模型左截面各状态变量为

Sl=

(1)

右截面各状态变量为

Sr=

(2)

2 辅助体系法的基本原理

2.1 无质量梁段的传递矩阵

根据传递矩阵法的基本原理，必有一矩阵T使得

(3)

2.2 集中质量和大质量的传递矩阵

集中质量体是假设将质量集中于无长度只有质量的刚体，采用辅助体系法可以得到集中质量体的点矩阵为

(4)

式中：mi为第i个集中质量；ω为结构圆频率；Jxi为第i个集中质量x轴的转动惯量；Jyi为第i个集中质量y轴的转动惯量；Jzi为第i个集中质量z轴的转动惯量。

大质量法是进行多点加速度输入分析的一种动力等效方法，在处理多点激励问题时，需释放地面支承点沿地震动方向的约束，并在支承点处加远大于结构总体质量的大质量，地面加速度以等价力的形式加在大质量上。

结构存在瑞雷阻尼时，根据结构的动力反应傅里叶频域方程就可以得到瑞雷阻尼频域点矩阵为

(5)

3 辅助体系与大质量传递矩阵

对连续梁桥进行多点激励下的地震反应分析时，可以将上部结构的梁和桥墩离散成无质量的直线梁段以及仅含质量的刚体。并在与地面支承处附加大质量，连续梁桥计算模型如图1所示。

图1 地震激励下连续梁桥计算模型

将连续梁桥体系的场矩阵、集中质量传递矩阵和大质量m0的传递矩阵整合，可以建立整个连续梁桥的总空间传递矩阵。若整个结构被划分为n段，则第截面的状态向量Sn与初始端状态向量S0之间的空间性态传递关系为

(6)

式中：T为多点激励下连续梁桥地震反应分析的频域总空间传递矩阵；Ti(i=1,2,…,n)为第i段梁的传递矩阵。 将直线梁两端的边界条件代入式(6)，就可以求出直线梁在地震作用下的初始状态量S0。通过快速傅里叶变换可以求得结构与之对应的时域动力反应。

4 算例分析

某钢筋混凝土3跨连续箱梁桥，箱梁横截面尺寸如图2所示(C点为截面形心)。墩高60 m，桥跨45 m，考虑结构的剪切变形。梁的基本参数如下：弹性模量E=3×104MPa，剪切弹性模量G=0.425E，泊松比μ=1.2，截面惯性矩Iy=29.25m4，截面惯性矩Iz=82.14 m4，截面惯性矩It=41.72 m4。支座采用橡胶支座，其基本参数如下：支座高度D=0.04 m，横截面积A=0.03 m2，弹性模量为3×104E，剪切弹性模量G=0.425E，泊松比μ=1.2。桥墩采用矩形墩，其基本参数如下：横截面积为8 m2，弹性模量、剪切弹性模量、泊松比取值同支座，截面惯性矩Iy,Iz,It依次为17.67 m4,25.67 m4,31 m4。计算时输入的波为迁安地震波的地震记录，地震波持续时间为20 s，1号台、2号墩、3号墩及4号台的地震波输入相差0.04 s，采用瑞雷阻尼，取结构的瑞雷阻尼比为0.05。结构计算模型如图3所示。

图2 箱梁横截面尺寸(单位：cm)

图3 结构计算模型(单位：m)

将结构离散成无质量的梁段以及仅含质量的刚体，将梁分为8个仅含质量的刚体，梁的质量体质量m1=4.04×105kg，将墩分为4个仅含质量的刚体，墩的质量体质量m2=3×105kg，基于辅助体系传递矩阵法求解该结构体系的自振频率。

在地面支承处加大质量输入地震加速度，基础大质量，此时基础的边界条件释放水平方向的约束，由原来的固定端变成滑动支座，其计算简图如图4所示。

图4 地面支承处加大质量计算简图

采用辅助体系大质量传递矩阵法，对该连续梁桥加载地震波进行计算，得到2号墩和3号墩顶点的位移时程曲线如图5所示；地震波作用下结构跨中轴力和轴向位移的傅里叶谱如图6所示，地震波作用下结构跨中轴力和轴向位移经过快速傅里叶变换的时程曲线如图7所示。由图5～7可知，多跨连续梁桥位移和轴力响应均可精确表达，表明辅助体系大质量传递矩阵法对多跨连续梁桥进行地震分析有效可行。

图5 墩顶点的位移时程曲线

图6 结构跨中地震反应的傅里叶谱(迁安波)

图7 结构跨中地震反应的时程曲线(迁安波)

5 结 论

1) 将辅助体系传递矩阵法与大质量法结合进行桥梁地震反应分析，得到地震作用下连续梁桥的内力和变形傅里叶谱及时程曲线。结果表明辅助体系传递矩阵法实现了连续梁桥地震反应的高精度分析，避免了对微分方程的求解，大质量法可解决地震波多点输入的问题。

2) 以多跨连续梁桥为研究对象，对文中提出的辅助体系传递矩阵法进行验证，结果表明该方法用于桥梁地震反应分析有效可行。该方法理论上也可用于曲线桥、拱桥等桥型的多点输入地震分析，对于不同结构形式桥梁，传递矩阵表达方式不同，需要进一步分析研究。