SE(3)上航天器姿轨耦合固定时间容错控制

梅亚飞,廖瑛,龚轲杰,罗达

1.国防科技大学 空天科学学院,长沙 410073

2.上海卫星工程研究所,上海 201109

在空间技术日新月异发展的背景下,对空间飞行器的机动性、准确性等提出了更高的新要求。相对运动航天器的姿态和轨道的建模与控制问题在空间交会对接、编队飞行航天器等领域一直是研究的热点。由于相对运动航天器姿态运动和轨道运动具有强耦合非线性等特点,传统的将姿态和轨道运动分成独立两通道控制的思想忽略了二者之间耦合的影响,虽然满足了一些实际航天任务的需求,但对于有高精度需求的航天任务,分而治之的方法将显得无能为力[1]。因此,寻求航天器姿轨一体化控制具有理论指导和工程实践意义。

由于航天器长期处于强辐射、超低温等恶劣的太空环境,执行机构因老化或其他不可抵抗的诱因难免会出现各种各样的故障,此时基于执行机构都正常工作的常规控制理论难以应对各类故障,最终可能会导致系统的崩溃或失效。另外,航天器自身也会面临内部和外部的不确定性干扰,造成未建模动态误差,模型的不确定性也给控制系统的设计带来了巨大的挑战。因此,针对上述故障和干扰的情形选择合适的容错控制策略显得尤为重要,这也为航天器长期在轨服务运行提供了有力保障。

目前针对航天器姿态控制系统和执行器故障下的容错控制问题已受到广泛关注和研究[2-4]。但对于航天器姿轨一体化控制系统,当相对姿态和位置执行机构同时出现各类故障时,相关的六自由度容错控制算法设计还有很大的理论空白[5]。航天器姿轨一体化建模与控制方法目前主要分为3类：第1类是基于向量代数的方法,此方法采用的是姿态和轨道运动先独立建模后耦合联立方程的思想,难以从根本上解决姿轨耦合问题[6]；第2类是基于有限螺旋位移理论,该方法引入了李群、辛几何、微分流形等现代数学理论工具,使得刚体运动能够脱离具体模型,在统一的位形空间下表示[7-8]；第3类是基于共形几何代数的方法,该方法采用具有闵氏内积结构的五维向量空间,来描述三维欧氏空间的几何与运动问题[9],由于其计算复杂度很高,目前少有学者研究。容错控制主要包括主动容错控制和被动容错控制2类,其中考虑执行器故障属于被动容错控制中的完整性设计范畴,目前也是容错控制领域的热点研究方向,取得了丰富的研究成果[10-12]。国内外关于航天器的位姿一体化容错控制研究还很少,可供借鉴的研究成果并不多,董宏洋[13]基于对偶四元数研究了执行机构故障情况下的航天器位姿一体化容错控制,数值仿真结果验证了其算法的有效性。

饱和现象是执行机构在实际工作中必然存在的一种非线性现象。饱和现象给航天器姿轨一体化控制器的设计增加了难度,使得控制系统的分析和设计更加复杂,如果在控制器设计过程中忽略了饱和特性,轻则可能会造成控制系统性能下降,重则甚至会导致系统失稳,任务失败的后果。刘聪等[11]基于线性矩阵不等式设计了考虑执行器饱和的一体化不等式跟踪容错控制器设计,并通过数值仿真验证了其算法的有效性。

在有限螺旋位移理论中,基于对偶四元数和李群SE(3)的位姿一体化建模是主要研究内容,由于对偶四元数具有计算效率高、非奇异、简洁等优点,不少学者将其用于姿轨一体化建模,目前航天器对偶四元数动力学模型大都是基于Brodsky和Shoham[14]引入对偶质量算子的方法。虽然基于对偶四元数的航天器姿轨一体化建模方法应用很广泛,但对偶四元数也有其局限性。基于对偶四元数的模型用8个参数来描述三维运动,因此需要单位化约束,有时对这个约束处理不当会产生问题。而且由于单位四元数对应的群作用是左乘和右乘,所以四元数描述姿态不具有唯一性,严重时会产生退绕现象[15]。李群SE(3)的几何框架描述刚体运动相较于传统的欧氏空间中的描述方法更加自然和简洁,分析结果也更加真实、可信,设计的控制器也更加简洁,因而近些年来逐渐受到关注。相关学者[1,8,16-18]在SE(3)上描述了刚体航天器姿轨耦合一体化运动,利用李群与李代数的指数映射函数和对数映射函数的关系把运动旋量经过变换转换为相应的航天器姿轨运动方程,并在此基础上设计各种简洁的控制器,实现了位姿跟踪控制目标。本文也是在李群SE(3)的框架下建立航天器姿轨耦合一体化模型,便于后文容错控制器的设计。

模糊逼近能够充分利用模糊语言的信息能力,构造也较为容易,能以任意精度逼近非线性函数。当执行器出现故障时,系统的不确定性增加。对于参数不确定系统,可以通过Lyapunov方法构造自适应律,利用基于等价性原理的自适应控制替代模型中的不确定参数,最后为被估计的参数设计自适应控制律使得闭环系统稳定。这种主流的自适应控制方法由于设计思路简单、易于理解,目前在航天器控制领域得到了广泛的应用[19]。对于执行机构故障的相对运动航天器系统就是这样一类含有模型不确定性和参数不确定性的系统,采用基于模糊自适应的容错控制方法可以解决上述问题,使得闭环系统稳定。固定时间控制是在有限时间控制的基础上发展而来的,二者区别只是滑模面的形式不同,前者可以不依赖于初始状态实现固定时间收敛,而后者收敛时间与初始状态相关。双幂次快速终端滑模控制作为固定时间控制的一种,可用来实现系统的固定时间稳定性,并在航天器控制领域有了一定的应用[20-21]。

综上所述,考虑执行器故障和控制输入饱和情形下,实现航天器姿轨一体化高精度快速容错控制具有重要的研究意义。本文以主从编队航天器为研究对象,首先推导执行器故障情况下的航天器姿轨一体化误差动力学模型；然后采用模糊自适应方法设计双幂次快速终端滑模控制器实现固定时间容错控制,并运用Lyapunov方法对系统的稳定性进行严格的数学证明。

1 数学基础及相关定义

首先,在介绍航天器姿轨一体化模型之前,引入相关数学概念及其定义。

对任意的列向量x=[x1,x2,…,xn]T∈Rn,定义如下的向量：

1) |x|α=[|x1|α,|x2|α,…,|xn|α]T。

6)λ(A)为矩阵A的特征值集合,其中,λmin(A)为矩阵A的最小特征值；λmax(A)为矩阵A的最大特征值。

2 SE(3)上航天器姿轨一体化模型

自然界中刚体运动的构型空间是SE(3),其可以紧凑地表示刚体的平动和旋转运动。

2.1 单刚体航天器姿轨一体化模型

航天器的位姿构型可以用李群SE(3)中的一个元素g表示为[1]

(1)

式中：R∈SO(3)为航天器从体坐标系到惯性坐标系的旋转矩阵；b∈R3为地球质心到航天器质心在惯性坐标系下的位置坐标向量。

航天器的姿轨速度矢量定义为

(2)

式中：v为线速度；ω为角速度。速度矢量均在航天器体坐标系中建立。为了方便建立航天器姿轨一体化运动学和动力学方程,介绍李群SE(3)及其对应的李代数需要满足的映射关系如下：

1)g=g(R,b)∈SE(3)的伴随矩阵可以表示为

(3)

式中：[·]∧表示对向量取李代数,此处表示对向量取反对称矩阵。

(4)

(5)

(6)

根据上述定义,惯性坐标系下航天器姿轨一体化运动学方程可以表示为

(7)

航天器本体坐标系下的姿轨一体化动力学方程可以表示为

(8)

式中：m、J分别为航天器的质量和转动惯量；Fg、Mg分别为航天器的重力梯度力和重力梯度力矩；Fc、Mc分别为航天器的控制力和控制力矩；Fd、Md为航天器的干扰力和干扰力矩。Fg、Mg的具体形式为

(9)

(10)

式中:μ=398 600.44 km3·s-2为地球引力常数；J2=1.082 63×10-3为地球扁率摄动；Re=6 378.14 km为地球平均半径。

综上,航天器姿轨一体化动力学方程可以表示为

(11)

2.2 相对运动航天器姿轨一体化模型

假设目标航天器的位姿构型为go,其中目标航天器可以是真实存在的也可以是虚拟的。跟踪航天器的实际位姿构型为gb,则跟踪航天器与目标航天器的实际相对位姿构型[16]为

(12)

若跟踪航天器期望的位姿构型为gd,则跟踪航天器与目标航天器的期望相对位姿构型为

(13)

那么跟踪航天器的跟踪误差为

(14)

通常期望的相对位姿构型为一常值,期望的相对线速度与相对角速度为零,即跟踪航天器与目标航天器以某一固定构型保持相对静止。

跟踪航天器姿轨位置跟踪误差可以表示为

(15)

式中：ρe为航天器轨道位置跟踪误差；φe为航天器姿态位置跟踪误差。

跟踪航天器姿轨速度跟踪误差可以表示为

(16)

式中：ve为航天器线速度位置跟踪误差；ωe为航天器角速度位置跟踪误差。

则he在SE(3)下可以表示为

(17)

通过李群与李代数之间的对数映射可以解得

(18)

式中：

(19)

ρe=S-1(φe)be

(20)

(21)

根据李群与李代数的关系可以推导当期望的相对速度为零时,跟踪航天器的相对速度误差和相对加速度误差的表达式为

(22)

(23)

综上,可得相对运动航天器姿轨一体化运动学方程为

(24)

由文献[15]可知,G(ηe)的表达式为

(25)

将式(11)代入式(23),得航天器相对运动姿轨一体化动力学方程为

(26)

在实际航天任务中,惯量矩阵Ξ由于燃料消耗和外部扰动存在不确定性,因此实际惯量矩阵Ξ可以表达为

Ξ=Ξ0+ΔΞ

(27)

式中：Ξ0为标称惯量矩阵；ΔΞ是惯量不确定部分。则惯量矩阵Ξ的逆可以表示为

(28)

式(26)可以进一步表示为

(29)

综上,相对运动航天器姿轨一体化运动模型可以表示为

(30)

2.3 执行机构故障数学模型

执行机构的各种故障可用数学模型描述为

ui(t)=

(31)

上述故障模型可以统一表示为

(32)

2.4 控制输入饱和数学模型

因为在实际物理可实现的控制系统中,执行器的驱动能力必然是有限的,在航天器系统中飞轮和推力器不可能输出任意大的控制力矩和控制力,当控制指令信号超出实际执行机构的幅值约束时,执行机构的输出将会保持在最大幅值附近,不会再随控制指令信号增大而增大。

执行器饱和特性可以表述为

sat(u)=δu+u

(33)

式中：u为待设计的控制器；δu为超出饱和幅值限制的控制信号,其定义为

(34)

式中：ui为第i个执行机构的控制输出；uimax、uimin分别为第i个执行机构的控制输出的最大值和最小值。

2.5 考虑输入饱和及执行机构故障情况下相对运动航天器姿轨一体模型

根据式(30)～式(33),考虑输入饱和及执行机构故障相对运动航天器姿轨一体化动力学方程可以表示为

(35)

3 姿轨一体化容错控制器设计

在采用双幂次快速终端滑模面的基础上,设计了模糊自适应固定时间稳定控制器。该控制器结构简单,参数也易整定,可实现跟踪航天器在故障情形下仍能够在固定时间内完成对目标航天器的高精度位姿跟踪,实现真正意义上的六自由度容错控制。

3.1 模糊逼近方法

模糊逼近方法能够充分运用模糊语言信息逼近任意非线性连续函数,其在非线性函数的拟合方面具有很好的效果,可以以任意精度逼近非线性连续函数,下面给出模糊逼近系统的结构及其基本理论[22]。

模糊系统的输入为X=[x1,x2,…,xn]T∈Rn, 对输入变量的每个分量都设计M条模糊规则,则整个系统就有nM条模糊规则,每条模糊规则的具体表达式为

(36)

若模糊系统采用单值模糊器,中心平均解模糊器和乘积推理机,则可以得到模糊逼近系统的输出为

(37)

(38)

z=Wβ

(39)

式中：β为基函数,其具体形式为

(40)

基于上述对模糊逼近系统的介绍,跟踪航天器的外部总扰动用模糊逼近来估计可以表示为

(41)

式中：W*为模糊逼近系统的最优权值矩阵；ε为该系统的有界逼近误差。

(42)

则最优权值矩阵的估计误差为

(43)

3.2 假设条件

为了便于后文控制器的设计与分析,需提出如下假设。

假设1模糊逼近系统的输出有界,系统外部总扰动的估计值有界,可以表示为

(44)

式中：dm为一个正常数。

假设2模糊逼近系统的估计误差有界,可以表示为

(45)

式中：εm为一个正常数。

假设3模糊逼近系统的最优权值矩阵估计误差有界,可以表示为

(46)

式中：Wm为一个正常数。

假设4执行机构存在故障,但故障后仍满足约束rank(DE)=6,即在故障发生后,冗余的推力器仍能够组合输出足够的控制量完成给定的任务。

备注1因为航天器的质量、转动惯量、故障幅值、模糊逼近系统的输入变量和系统的外部扰动及都是有界的,故假设1合理,同时假设2、假设3具有模糊逼近系统拟合任意非线性连续函数的性质,假设4不考虑欠驱动系统,因此也是合理的。

3.3 模糊自适应固定时间稳定容错控制器设计

为了实现固定时间稳定的控制目标,采用双幂次快速终端滑模控制,选取的滑模面形式如下：

S=ξe+C1sigα1(ηe)+C2sigα2(ηe)

(47)

为了使得相对运动航天器在系统故障情况下仍能在固定时间内收敛到期望状态,模糊自适应滑模控制器的设计如下：

(48)

最优权值矩阵的自适应更新律为

(49)

式中：γ>0为一个与控制无关的辅助参数。

3.4 稳定性分析

为便于稳定性的证明和分析,给出相关引理。

引理1[15]给定一个连续正定函数V(x):Rn→R,对于任意非零初始状态,若满足如下不等式：

(50)

式中：ρ1>0;ρ2>0;υ1>1;υ2∈(0,1)。那么V(x) 可以在有限时间内收敛到平衡状态,系统到达平衡点的时间T满足

(51)

引理2[1]矩阵G(ηe)的所有特征值都是正值。

引理3[15]对∀xi∈R(i=1,2,…,n),其中01,有下面不等式成立：

(52)

定理1对于相对运动航天器系统,当非线性系统(式(47))到达滑模面S=0时,系统的状态ηe、ξe可以在固定时间内收敛到平衡点。

证明当系统到达滑模面S=0时,可得

ξe=-C1sigα1(ηe)-C2sigα2(ηe)

(53)

选择如下Lyapunov函数：

(54)

对V求导可得

(55)

(56)

下面证明滑模面(式(48))可以在固定时间内到达平衡点附近,提出定理2。

定理2对于执行机构故障信息已知的相对运动航天器系统(式(35)),当采用滑模面(式(47))与模糊自适应控制律(式(48)、式(49))时,系统的滑模面S可以在固定时间内收敛到包含零点的小区域内。

证明：选择如下Lyapunov函数：

(57)

对V1求导可得

STΞ0ε-STK1sigα1(S)-STK2sigα2(S)+

STΞ0ε-STK1sigα1(S)-STK2sigα2(S)

(58)

将式(49)的自适应律代入式(58),可得

(59)

结合引理3的式(52)可知：

(60)

综上可得

(61)

式中：Δ的定义为

(62)

由假设2和假设3可知Δ满足如下不等式：

(63)

(64)

则式(61)可以化简为

(65)

式(65)进一步可以写为

(66)

(67)

(68)

T′=min{T1,T2}

(69)

由于如下不等式成立：

(70)

I6(-C1sigα1(ηe)-C2sigα2(ηe))=-α2·

(71)

4 数值仿真与分析

为了验证本文算法对执行机构故障的容错能力,首先给出航天器执行机构的安装方式。跟踪航天器的姿态控制的执行机构为反作用飞轮,轨道控制的执行机构为推力器。采用4个反作用飞轮和4对推力器的控制布局方式,实现航天器姿轨一体化容错控制。4个反作用飞轮采用传统的三正交一斜装的安装方式,其配置结构如图1所示[13]。

图1 飞轮配置结构[13]

8个推力器两两对称安装在立方体每条棱的中点,采用推力过质心的安装方式,其配置结构如图2所示。

图2 推力器配置结构

在仿真开始前,先定义模糊逼近系统的输入表达式为

(72)

7个模糊隶属度函数选取如下：

(73)

在仿真中,假设跟踪航天器与目标航天器的质量和转动惯量相同,其数值为

(74)

目标航天器围绕地球进行轨道运动,其轨道六要素如表1所示。

表1 目标航天器轨道六要素

假设目标航天器沿着理想的轨道运动,它的运行轨道由离线计算产生,初始时刻目标航天器的体坐标系与轨道坐标系重合,其初始位姿状态及初始速度分别为

go=

(75)

(76)

式中：位置矢量均为在惯性坐标系下的表示,单位为km；速度矢量均为在航天器体坐标系下的表示,单位分别为km/s、rad/s。

跟踪航天器相对目标航天器的初始位姿和初始速度参数定义见表2。

表2 跟踪航天器与目标航天器的初始相对状态

跟踪航天器与目标航天器的期望相对位姿构型与相对速度见表3。

表3 跟踪航天器与目标航天器的期望相对状态

考虑到实际工况中,由于受燃料消耗及其他因素的影响,惯量矩阵会随着时间不断变化,故假设惯量矩阵偏差和外界扰动数值如下：

(77)

仿真过程中,反作用飞轮和推力器的饱和约束为:执行器力矩、力的最大输出值分别限制在[-1,1] N·m和[-10,10] N以内,控制器的参数选取见表4。

表4 控制器参数

飞轮和推力器的具体故障形式见表5。

表5 执行机构故障形式

仿真结果与分析均是在MATLAB/SIMULINK 环境下完成。由于总干扰中包含控制器输出信息,可能存在代数环问题,故在控制器的反馈通道中加入单位延迟环节,以避免可能出现的代数环。

图3为姿态跟踪误差结果,从图中可以看出误差曲线在17 s之内快速收敛到平衡状态,且收敛精度最终保持在5×10-5(°)之内。

图3 姿态跟踪误差

图4为角速度跟踪误差结果,从图中可以看出误差曲线也可以在17 s之内快速收敛到平衡状态,且收敛精度最终保持在5×10-6(°)/s之内。

图4 角速度跟踪误差

图5为位置跟踪误差结果,从图中可以看出误差曲线可以在96 s之内快速收敛到平衡状态,且收敛精度最终保持在1.5×10-5m之内。

图5 位置跟踪误差

图6为速度跟踪误差结果,从图中可以看出误差曲线可以在105 s之内快速收敛到平衡状态,且收敛精度最终保持在4×10-5m/s之内。

图6 速度跟踪误差

图7、图8分别为飞轮和推力器在故障后的实际输出力矩与力的大小结果,可以看出,执行机构的输出曲线很好地反映了故障的形式与大小,系统到达稳态后执行机构还存在输出是为了继续克服故障与内外扰动的影响。

图7 飞轮输出

图8 推力器输出

图9为模糊逼近方法对系统总扰动的估计结果,从图中可以看出其对姿态运动和轨道运动的估计效果都很好,可以准确地估计出系统的内外干扰与故障大小,很好地解决了控制输入饱和的问题,因此姿态与轨道运动的收敛精度都很高。仿真结果也再次验证了模糊逼近方法的万能逼近特性,从而可以减少对精确模型的依赖程度,更便于控制器的设计。

图9 模糊逼近方法总扰动估计

图10为采用传统的PID控制方法的姿轨位置与速度跟踪误差曲线,从图中可以看出,在收敛速度和控制精度上PID控制方法都不及本文控制方法,收敛速度明显慢于本文的固定时间滑模控制,在稳态精度上也与本文方法存在量级上的差距,因此可证明本文提出的固定时间姿轨耦合容错控制方法更适用于实际有快速性和高精度要求的航天任务。

图10 PID控制姿轨跟踪误差

综上,本文所设计的模糊自适应固定时间稳定控制器应用于姿轨一体化跟踪时具有很好的控制性能,能够满足快速性和高精度的任务需求,且对于执行器失效的故障情况具有良好的容错能力。

5 结 论

1) 基于李群SE(3)的姿轨一体化建模形式简单,可应用于解决实际航天工程中六自由度的建模问题。

2) 模糊自适应控制方法可以很好地估计总扰动及部分故障信息,精度很高,下一步可以考虑引入模糊逼近方法估计的误差补偿项,进一步提高轨道运动的控制精度。

3) 双幂次快速终端滑模实现了固定时间容错控制,相比于传统的PID控制,快速性更好,控制精度更高,可以很好地解决执行器失效的故障情况,且具有潜在的工程应用价值。