课标修订背景下百分数内容的解读及教学建议

彭国庆

【编者按】 随着大数据时代的到来，即将颁布的新版义务教育数学课程标准顺应时代的变化，新增了一些“统计与概率”领域的课程内容。其中，小学阶段的一个重要变化是，将百分数内容从“数与代数”领域调整到了“统计与概率”领域。面对这一变化，一线教师应该如何更好地认识百分数内容的内涵与价值？如何更好地展开百分数内容的教学？本期《热点透视》栏目的两篇文章，便是这一方面的研究与实践成果。

摘要：即将颁布的新版课标将小学数学的百分数内容从“数与代数”领域调整到了“统计与概率”领域。在此背景下，从产生和发展、意义和特点、小学数学中的应用三个方面深入解读百分数内容，进而提出教学建议：创设问题情境，引发学生对百分数的需求;组织统计活动，让学生充分体会百分数的意义和价值;等等。

关键词：百分数;统计;课标修订;内容解读;教学建议

“百分数”是小学数学的重要内容，主要包含百分数的意义和百分数的应用等内容。近期，义务教育数学课程标准修订组组长史宁中教授在公开讲座中明确指出，即将颁布的新版课标对百分数内容做了非常大的调整：将其从“数与代数”领域调整到了“统计与概率”领域。在此背景下，笔者尝试深入解读百分数内容并思考如何展开相应的教学。

一、百分数的产生和发展

（一）百分数的产生

百分数最早产生于商业的需要。公元前300年，古印度每月的利率就是明确地以100为基础的（其他数字也可以）。在古罗马，百分数被用来衡量金钱上相对于100的亏损和盈利，只在商业的金钱交易中使用。为什么人们喜欢把百分数运用于商业计算呢？因为考虑到以100作为基础份额（如本金）计算的便利。也就是说，那个时候的100还不是真正意义上的百分数的分母，而是一个基准，也可以理解为一个便于参照的基础数据。1186年意大利熱那亚放债人的账簿中发现的以100为基础的利息，也证实了这个观点。

商业中有关百分数应用的一个典型问题是：100元本金可以得到3元利息，那么125元本金可以得到多少利息？这个问题放在今天，可以利用100∶3=125∶x这样的比例来解答。由此溯源，可以发现，我国古代的《九章算术》中也有此类问题。比如第二章《粟米》的第一题：“粟米之法：粟率五十，粝米三十。今有粟一斗，欲为粝米。问：得几何？答曰：为粝米六升。术曰：以粟求粝米，三之，五而一。”翻译成白话文就是：“粟米的兑换比率：粟率50，粝米30。假设有1斗粟，想换成粝米。问：可换成多少？答案是：可换成6升粝米。方式是：由粟求粝米，乘3，除以5（平均分成5份，取1份）。”此题的解法其实就是由50∶30=10∶x这样的比例得到的。这种解法后来传入欧洲。到了文艺复兴时期，数学家们关注到商业中的数学，想到“粟米之法”如果以“粟率一百，粝米六十”这样的比率兑换，则更容易解决问题。所以，百分比又出现了。

（二）百分数的发展

18世纪下半叶，亨瓦尔（G.Achenwall）为国家政治特点比较、对照系统（这门学问）创造了“统计（statistik）”这个词。之后，概率论逐渐发展了起来。到了19世纪初期，需要一个方便比较和对照的数据类型，百分数的基准功能再一次体现了出来。可以说，统计的需要使百分数的用途从商业走向了更广阔的领域。

当今社会，统计学的应用越来越广泛和深入，大数据的概念逐渐普及;因为统计需要，百分数作为统计数据出现的频率越来越高，尤其在经济、社会、教育、医疗等领域。这引发了人们对百分数价值的重新思考，也是课标修订组的专家决定把百分数内容从“数与代数”领域移到“统计与概率”领域的重要原因。

此外，谈百分数的发展必然要谈到百分号，因为百分号的出现标志着百分数发展到成熟阶段。目前，没有证据表明在1425年以前有一个特殊的符号被用在百分数中。早期表示百分数的符号大约出现在1490年意大利的一份手稿中，把“per-cento”（意大利语，意思是“百分之”）缩写为“perco”或“pco”。而后，逐渐出现了省略“per”或“p”而直接用“0/0”表示的分数形式。之后，又逐渐演变成了“%”。

从百分数的产生和发展历程中，我们不难看出，百分数和比例、分数、统计等内容有着千丝万缕的联系。这些联系是过去和当下人们认识百分数的重要基础。

二、百分数的意义与特点

人教版、苏教版和北师大版小学数学教材基本一致地指出：百分数表示一个数是另一个数的百分之几，也叫作百分比或百分率。综观这三个版本教材中有关百分数意义的内容，不难发现百分数的意义和特点。

（一）百分数的意义

1.表示相同单位数量之间的倍比关系。

百分数本质上是分母为100的分数。分数是把单位“1”平均分成若干份，表示这样一份或几份的数，具有“比率”“度量”“商”三重意义，可以与小数、整数互化，可以进行四则运算。相对于分数而言，百分数更凸显“比率”意义，更多地应用于实际问题。

人教版教材首先给出了电脑安装程序格式化进程数据、衣服成分数据、品牌汽车销售数据，其中的百分数分别表示电脑已格式化的空间与总空间之间的倍比关系、衣服成分材料与总材料之间的倍比关系、品牌汽车今年销售量与去年同期销售量之间的倍比关系。苏教版教材首先给出了篮球比赛的情境，其中的百分数表示投中次数（部分数）与投篮次数（总数）之间的倍比关系。北师大版教材首先给出了足球比赛的情境，其中的百分数表示进球次数（部分数）和罚球次数（总数）之间的倍比关系。可见，与分数一样，百分数表示相同单位数量之间的倍比关系。

2.可以为决策提供支持（参考）。

百分数形式简单（分母都是100），便于比较大小，进而发现规律，因此，实际运用特别广泛，作为统计数据所蕴含的信息可为个人或集体决策提供有效支持（参考）。

比如，通过比较表1中四种食品的合格率，消费者可以对购买四种食品形成决策：多购买巧克力，因为其合格率最高;少购买果冻，因为其合格率最低。

再如，人口出生率的持续下降，给行政决策部门制定新时代的人口政策——如开放“二孩”“三孩”，提供了参考依据。

（二）百分数的特点

1.形式简单但内容丰富。

百分数写起来很简洁，分母100和分数线一起简化为百分号“%”，但内涵很丰富。一方面，百分数表示的倍比关系可以是包含的部分和总体之间的，如某批次零件的合格率是95%;也可以是并列的部分或总体之间的，如今年植树棵数相当于去年的110%。另一方面，百分数可以表示相对稳定的倍比关系，如衣料中某种成分的占比、饮料中某种成分的占比、食品中某种成分的占比等;也可以表示随机变化的倍比关系，如学生的出勤率、绿豆的发芽率、小麦的出粉率等。

此外，百分数的分子类型也丰富多样：从大小上看，可以是小于、等于或大于100的数;从特征上看，可以是整数或小数。

2.利于比较但容易错判。

百分数的分母都是100，只要比较分子，就能判断大小，但如果不能理解其实际意义，弄清其表示的是哪两个数量的倍比关系，进而在百分数这个“率”的大小关系的基础上，弄清楚更基本的“量”的大小关系，则很有可能得出错误的结论。也就是说，百分数和平均数等计算得到的统计量一样，具有“欺骗性”。

比如，知道两个地区的GDP增长率分别是1.5%和7.8%后，如果简单地比较两个百分数的大小，而不理解其实际意义，则很容易造成错误的判断，即后者的经济总量一定好于前者。其实，增长率表示的是增长量与对应总量的倍比关系，增长率大的总量也可能小。

再如，两个领域人群的犯罪增长率分别是200%和10%，给人的感觉是前者犯罪的人数远远超过后者，但是实际情况可能恰恰相反：前者之前有1人犯罪，之后又有2人犯罪;后者之前有1000人犯罪，之后又有100人犯罪。

三、小學数学中百分数的应用

（一）百分数的“商业应用”

百分数的很多商业应用传承至今，其中的百分数通常是约定得到的。关于百分数的商业应用，教材基于学生的生活经验以及内容的教学价值，选编得最多的就是纳税（税率）、利息（利率）、促销（打折）等商业问题。这三类问题有各自的特点。对纳税问题和利息问题，学生通常接触不多：应用税率解决纳税问题和应用利率解决利息问题通常都是专业人员的工作。相对而言，后者通常列式简单些，而计算麻烦些。纳税问题和利息问题都是经济生活中的重要问题，能为学生未来的生活、工作奠定重要的基础。促销（打折）问题是学生在现实生活中接触得最多的问题，也是三类问题中变化最多、难度最大的问题，如折上折问题、多件才打折的问题、变相打折的买送问题等。对此，学生首先要正确理解打折的百分数含义：打几折或几几折就是把商品按原价的百分之几十或几十几出售。

（二）百分数的“统计应用”

百分数的统计应用正在逐渐受到重视，其中的百分数通常是调查得到的。百分数的统计应用集中表现为，以百分数作为统计数据进行比较和计算分析。实际上，在小学数学教学中，我们还应该特别注意把百分数应用到扇形统计图中。扇形统计图可以用来表示各部分数量与总体数量之间的关系，而这种关系正适合用百分数表示。因此，教学“扇形统计图”时，可以通过变式问题，加强百分数的应用，让学生充分体会到百分数在统计中的作用。当然，需要注意的是，扇形统计图中的百分数多数表示包含的部分和总体之间的倍比关系，而非并列的部分或总体之间的倍比关系。

（三）百分数的“一般应用”

这里所说的百分数的“一般应用”，是指利用百分数解决一些和一般的分数问题结构类似的问题。这些问题大约包括这样几种基本类型：求一个数是另一个数的百分之几（百分率）;求单位“1”的百分之几是多少; 已知单位“1”的百分之几，求单位“1”;求一个数比另一个数多（或少）百分之几，等等。这些问题的解决方法和一般的分数问题完全相同，可以看作是对分数问题的复习和“再应用”。

四、百分数内容的教学建议

基于课标修订所做的调整，百分数内容的教学要特别注意：

（一）创设问题情境，引发学生对百分数的需求

苏教版和北师大版教材给出的选择队员参加篮球和足球比赛的问题情境，都是非常适合引入百分数概念的问题情境。当然，在教学中，可以采取分步呈现数据、逐步提问的方式，引发学生对百分数的需求，同时，也能让学生体会到百分数作为统计数据的意义和价值。

以北师大版教材为例。教师出示问题情境：在一场足球比赛中，猛虎队获得一次罚点球的机会，他们准备派三名队员中的一名去罚点球。再出示三名队员的进球数，分别是18个、8个和21个，让学生判断派哪名队员去。学生讨论得出：不能只根据进球数这一个数据判断。教师出示三名队员的罚球数，组织讨论得出：虽然罚球数和进球数都知道了，但是不能根据它们的个数来判断，而应看它们的比率。学生虽然不能具体、完整地描述命中率的概念，但是凭借生活经验和其他途径学习的知识，可以提出命中率的概念。而后，教师引导学生根据自己的理解表达什么是命中率，引出“命中率就是进球数占罚球数的几分之几”这种表达，从而理解百分数表示的是相同单位数量之间的倍比关系，而统一为分母是100的分数的形式是为了方便比较大小，进而发现规律。接着，教师追问：是否派命中率最高的队员去罚点球就能保证命中呢？学生讨论得出：实际命中情况是不确定的。从而理解百分数可以表示随机变化的倍比关系。在此基础上，教师可以适当介绍衣料中某种成分的占比、饮料中某种成分的占比、食品中某种成分的占比等，让学生理解百分数也可以表示相对稳定的倍比关系。

（二）组织统计活动，让学生充分体会百分数的意义和价值

数学学习既要重视结果，也要重视过程。充分经历数据的收集、整理、计算和分析等过程，得到并运用具有实际意义的百分数，学生才能充分体会百分数的意义和价值，同时发展统计思维，包括体会事物的确定性和不确定性及其辩证关系。为此，教师要联系生活实际，组织丰富的统计活动。这样的活动可以课内外结合完成。

一方面，要凸显数据采集的过程，让学生体会百分数的意义。例如，让学生调查得到本年级学生的近视率。课上，可以引导学生讨论，形成如下方案：（1）通过问卷调查收集本年级近视学生数，通过计算求出近视率;（2）把本班级作为样本，调查出本班级的近视率，估计出本年级的近视率。课外，可以让学生分别按照两种方案展开统计活动。之后，可以引导学生比较：哪一种方法得到的数据比较精准？哪一种方法更有推广价值？学生可以形成这样的统计观念：调查对象的选取会影响统计结果的精准性以及统计过程的可操作性。进而体会到抽样统计的价值：适度牺牲精准性，大幅提升可操作性。此外，可以让学生调查得到本年级学生某项体育运动的达标率，实验得到某种种子的发芽率，等等。

另一方面，要凸显数据分析的过程，让学生体会百分数的价值。数据分析观念是统计思维的核心，能充分培养学生的理性精神。教师可以让学生对自己得到的百分数进行分析。如，调查得到本年级学生的近视率后，可以让学生将其与国际标准比较，分析背后的原因，提出改进的建议。教师也可以让学生了解媒体发布的与国家、个人息息相关的经济、社会等领域的数据，理解其中的百分数的意义，然后进行分析。例如，了解住房贷款利率的变化情况，分析购房人的购房心态;了解节假日商家促销的打折情况，分析消费者的购买行为。这些都是学生应用百分数的知识作出决策、解决问题的表现。

此外，值得一提的是，数学教学要让学生体会数学知识之间的联系，理想结果就是让学生把有联系的知识建构成一个系统。在百分数内容的教学中，教师不能只关注百分数的统计意义和价值，还要帮助学生理清百分数与分数、比的区别和联系，从而理解百分数的本质，建立百分数的认知结构。由此，在更多的百分数问题的解决中，把分数、比问题的解决方法迁移过来，提升解决问题的能力。

参考文献：

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