Fong特征标与诱导源

常学武，张俊伟

(山西大学数学科学学院， 山西 太原 030006)

0 引言

本文中只考虑有限群, 有关群论和复特征标以及Brauer 特征标的符号和术语,分别按教材[1-3]. 众所周知, 在有限群的表示理论中, 特征标的诱导是非常重要的技术, 因为它提供了从子群的特征标出发研究大群的特征标的一种自然途径. 目前比较完善的诱导理论是所谓的Clifford诱导, 即考虑正规子群及其上不可约特征标所定义的Clifford对应(复特征标情形见文献[2，定理6.11], Brauer特征标情形见, 文献[3，定理8.9].

为了推广特征标的Clifford对应, Dade在1985年提出了诱导源的概念.设G为群,S⊆G为G的子群,θ∈Irr(S)为S的一个不可约复特征标. 记Gθ为θ在G中的稳定子, 亦即

Gθ={g∈G|Sg=S,θg=θ}={g∈NG(S)|θg=θ}

为θ在NG(S)中的惯性群.如果特征标的诱导定义了一个双射

Ind:Irr(Gθ|θ)→Irr(G|θ),ξ|→ξG.

Dade称(S,θ)为G的一个诱导源, 称该双射为一个诱导源对应, 并在文献[4]中系统地研究了诱导源对应, 获得了几个深刻结果. 2004年Isaacs和Lewis[5]深入考察了次正规诱导源, 并给出该情形下诱导源的一个判别条件. 关于Brauer特征标的诱导源理论, 或一般地, 关于 Isaacs 的π-部分特征标的诱导源理论, 也得到了研究. 2008 年 Lewis[6]证明了π-部分特征标的一个诱导源判别定理, 并用之研究π-部分特征标的提升等问题. 事实上, 诱导源对应提供了一种崭新的证明技术, 被广泛应用到许多重要特征标问题的研究中, 例如, 可见在文献[7]中的主要结果.

另一方面, 1984年Isaacs[8]创立了π-部分特征标理论, 就π-可分群而言, 统一了复特征标 (取π为所有素数的集合)和p-可解群的Brauer特征标理论(取π为素数p的余p′). 具体概念和内容可参考Isaacs在2018年出版的最新专著[9]. 如同Brauer特征标理论, 在π-部分特征标理论中, Fong特征标也起着非常重要的作用, 并且研究Fong特征标在诱导下的表现是一个很基础的课题, 例如文献[10,11]. 1986年Isaacs[12]详细地考察了Fong特征标的性质, 特别是证明了Fong特征标在正规子群上不可约复特征标提供的Clifford对应下保持不变, 得到了所谓的Fong特征标的Clifford对应定理.该定理具有许多重要应用, 方便起见, 我们重述如下, 相关符号和术语可见本文中下节.

Isaacs 定理 设G为π-可分群,H∈Hallπ(G),N

1)θ(1)为π-数.

2)Hθ∈Hallπ(Gθ).

则特征标的诱导

Ind:FongGθ(Hγ|γ)→FongG(H|γ)

为双射. 并且对任意μ∈Iπ(Gθ|θ), 该双射把Fongμ(Hγ|γ)映为FongμG(H|γ).

本文中主要结果是把上述正规子群上的Fong特征标的Clifford对应定理, 推广到诱导源情形, 研究诱导源对应何时保持Fong特征标不变, 证明了Fong特征标的诱导源对应定理.具体内容如下：

定理A设G为π-可分群,H∈Hallπ(G), 并且(S,θ)为G的一个Iπ-诱导源. 令J=H∩S和γ=θJ, 假设下述条件成立：

1)θ(1)为π-数且Hθ∈Hallπ(Gθ).

2)Hγ⊆NG(S).

3) (J,γ)为H的一个诱导源.

则特征标的诱导Ind:FongGθ(Hγ|γ)→FongG(H|γ)为双射.并且对任意μ∈Iπ(Gθ|θ), 该双射把Fongμ(Hγ|γ)映为FongμG(H|γ).

在定理A中，取S=N为G的正规子群, 则条件2)和3)自动满足,故定理A推广了上述Isaacs的Fong特征标定理.

考虑Brauer特征标的诱导源, 我们可得到类似的结果.

定理B设G为p-可解群,p为素数,H∈Hallp′(G), 并且(S,θ)为G的一个Brauer诱导源. 令J=H∩S和γ=θJ, 假设下述条件成立：

1)θ(1)为p′-数且Hθ∈Hallp′(Gθ).

2)Hγ⊆NG(S).

3) (J,γ)为H的一个诱导源.

则特征标的诱导Ind:FongGθ(Hγ|γ)→FongG(H|γ)为双射. 并且对任意

μ∈IBr(Gθ|θ),

该双射把Fongμ(Hγ|γ)映为FongμG(H|γ).

同样地, 上述两个定理中有关π-部分特征标和 Brauer 特征标的诱导源以及 Fong 特征标对应, 相关的概念和符号, 我们也将在下节给出具体含义.

1 预备知识

方便起见, 我们先给出π-部分特征标的定义, 具体内容和细节可参考文献[9]. 设G为π-可分群,π为一个素数集合, 记G0为G的所有π-元素的集合. 如果χ为G的一个复特征标, 称χ到G0的限制χ0为G的一个π-部分特征标. 如果χ0不能写成两个π-部分特征标的和, 则称χ0为不可约的π-部分特征标, 简称为Iπ-特征标, 全体记为Iπ(G). 一个基本结果是：每个π-部分特征标η均可唯一地写成若干Iπ-特征标φi的正整数系数的线性组合, 称φi为η的不可约分量.

设H⊆G为G的子群, 则χ0在H上的限制定义为(χ0)H=(χH)0, 如果θ0为H的一个π-部分特征标, 其中θ为H的复特征标, 则θ0到G的诱导定义为(θ0)G=(θG)0. 不难看出π-部分特征标到子群的限制以及从子群的诱导仍为π-部分特征标. 假设α∈Iπ(H)和η∈Iπ(G), 如果α是ηH的一个不可约分量, 则称α在η下方, 或称η在α上方.群G的所有在α上方的Iπ-特征标的集合记为Iπ(G|α). 现在定义Fong特征标. 设H∈Hallπ(G)为G的一个Hallπ-子群, 任取φ∈Iπ(G), 称φH的所有极小次数的不可约分量为H关于φ的Fong特征标, 全体记为Fongφ(H). 再令

其中成员称为H在G中的Fong特征标.

方便起见, 我们把所需Fong特征标的基本性质摘录如下, 见文献[9，定理3.4].

引理1设G为π-可分群,H∈Hallπ(G)且φ∈Iπ(G).

1) 如果α∈Irr(H), 则α∈Fongφ(H)当且仅当α在φ下方, 并且α(1)=φ(1)π.

2) 如果α∈Fongφ(H), 则φ是G的在α上方唯一的Iπ-特征标, 即Iπ(G|α)={φ}.

下面是Iπ-特征标的Clifford对应, 见文献[9，定理5.11].

引理2设G为π-可分群,N◁G, 并且θ∈Iπ(N),则Iπ-特征标的诱导

Ind:Iπ(Gθ|θ)→Iπ(G|θ),ξ|→ξG

为双射.

最后, 我们引入Iπ-特征标的诱导源概念. 设G为π-可分群,H≤G且α∈Iπ(H). 如果Iπ-特征标的诱导ξ|→ξG定义了一个双射

Ind:Iπ(Gα|α)→Iπ(G|α),

则称(H,α)为G的一个Iπ-诱导源, 该双射称为(H,α)定义的诱导源对应.

根据上述Iπ-特征标的Clifford对应可知, 只要N◁G, 对任意θ∈Iπ(N), 则(N,θ)均为G的诱导源. 由此表明Iπ-特征标的诱导源对应是其Clifford对应的推广. 值得指出的是, 取π为所有素数的集合时, 则Iπ(G)=Irr(G); 取π={p}′为素数p的余集, 根据著名的Fong-Swan定理, 则不可约Brauer特征标和Iπ-特征标重合, 即Iπ(G)=IBr(G). 所以, 本节给出的关于Iπ-特征标的诱导源定义及对应, 自然也包含了Brauer特征标情形.

2 主要结果及证明

本节证明定理A. 事实上, 我们将证明下述结果, 给出了定理A的一个细化.

定理2.1设G为π-可分群,H∈Hallπ(G),并且(S,θ)为G的一个Iπ-诱导源.令J=H∩S和γ=θJ, 假设下述条件成立：

1)θ(1)为π-数.

2)Hθ∈Hallπ(Gθ).

3)Hγ⊆NG(S).

4) (J,γ)为H的一个诱导源.

则(J,γ)定义的诱导源对应Ind:Irr(Hγ|γ)→Irr(H|γ)恰好给出其中Fong特征标集合之间的双射

Ind:FongGθ(Hγ|γ)→FongG(H|γ),

即下图交换：

↑ ↑

进而, 如果β∈Fongμ(Hγ|γ), 其中μ∈Iπ(Gθ), 则μ∈Iπ(Gθ|θ),βH∈FongμG(H|γ), 并且β|→βH定义了Fong特征标集合之间的双射

Ind:Fongμ(Hγ|γ)→FongμG(H|γ),

图示如下：

Hall↑ Hall↑ Hall↑

定理2.1的证明验证γ不可约, 并且θ是γ上方唯一的Iπ-特征标. 因为条件1)和S◁Gθ意味着θ具有π-次数且J=S∩Hγ为S的Hallπ-子群, 根据Iπ-特征标的限制定理(详见文献[9，引理5.14]), 即知γ∈Irr(H), 并且Iπ(S|γ)={θ}.

验证Hγ=Hθ. 事实上, 按定义Hθ⊆H中的每个元素均固定S和θ, 从而也固定S∩H=J和θJ=γ, 表明Hθ⊆Hγ∩NG(S). 反之, 不难看出Hγ∩NG(S)中每个元素都固定J和γ以及S, 根据上段θ由γ唯一确定, 可知

Hγ∩NG(S)⊆Gθ∩H=Hθ,

由此即证Hθ=Hγ∩NG(S), 再从条件4)得到所需的Hγ=Hθ.

验证Fong特征标诱导对应Ind:FongGθ(Hγ|γ)→FongG(H|γ)定义的合理性. 首先说明FongGθ(Hγ|γ)不能是空集. 事实上, 任取μ∈Iπ(Gθ|θ), 因为S◁Gθ且按定义θ是Gθ-不变的, 根据Iπ-特征标的Clifford定理(文献[9，推论5.7]), 可令ηS=eθ, 对某个正整数e. 但前述已证θJ=γ, 所以(ηHγ)J=ηJ=eγ, 表明ηHγ的每个不可约分量均在γ上方. 特别地, Fongμ(Hγ)中每个成员也都在γ上方, 故集合FongGθ(Hγ|γ) 非空.

任取β∈FongGθ(Hγ|γ),则存在某个μ∈Iπ(Gθ)使得β∈Fongμ(Hγ|γ), 此时μ在β上方, 而β在γ上方, 故μ也在γ上方. 因为J⊆S⊆Gθ,存在某个θ′∈Iπ(S)在γ上方同时也在μ下方. 但第一段已证θ是S在γ上方唯一的Iπ-特征标, 迫使θ′=θ, 即证μ在θ上方, 表明μ∈Iπ(Gθ|θ). 根据Iπ-诱导源(S,θ)所定义的诱导源对应,μG∈Iπ(G|θ).又因为μG在μ上方, 从而也在β上方, 但βH∈Irr(H|γ), 故βH只能在μG下方. 再计算次数

βH(1)=|H:Hγ|β(1)=|G:Gθ|πμ(1)π=μG(1)π,

表明βH∈FongμG(H|γ)⊆FongG(H|γ),故所述Fong特征标诱导对应β|→βH是合理的 (或者说该诱导映射Ind是有定义的).

验证Fong特征标诱导对应为单射, 显然FongGθ(Hγ|γ)⊆Irr(Hγ|γ)且FongG(H|γ)⊆Irr(H|γ), 故所述Fong特征标诱导对应恰为(J,γ)所定义的诱导源对应的限制, 故为单射.

验证Fong特征标诱导对应为满射. 事实上, 任取α∈FongG(H|γ), 则存在某个φ∈Iπ(G)使得α∈Fongφ(H|γ). 此时φ在α上方, 而α在γ上方, 故φ也在γ上方. 又J⊆S⊆G, 故存在某个θ′∈Iπ(S)在γ上方, 同时也在φ下方. 仍从θ是S在γ上方唯一的Iπ-特征标, 可知θ′=θ, 故φ在θ上方, 即φ∈Iπ(G|θ). 再从Iπ-诱导源(S,θ)所定义的诱导源对应Ind:Iπ(Gθ|θ)→Iπ(G|θ),可令φ=μG, 对某个μ∈Iπ(Gθ|θ). 同理, 从Iπ-诱导源(J,γ)所定义的诱导源对应Ind:Irr(Hγ|γ)→Irr(H|γ), 亦可令α=βH, 对某个β∈Irr(Hγ|γ). 为证所述的满射, 我们只需证明β为Hγ的一个关于μ的Fong特征标, 即β∈Fongμ(Hγ). 为此, 我们先计算次数β(1).因为α是关于φ的Fong特征标, 故α(1)=φ(1)π, 所以

|H:Hγ|β(1)=βH(1)=α(1)=φ(1)π=|G:Gθ|πμ(1)π,

注意到|H|=|G|π和|Hγ|=|Hθ|=|Gθ|π, 从而β(1)=μ(1)π. 其次, 我们需要证明β在μ下方. 显然φ在α上方,α在β上方, 故φ必然在β上方.又因为Hγ⊆Gθ⊆G, 故存在某个μ′∈Iπ(Gθ)在φ下方, 同时也在β上方. 但此时从β在γ上方, 可推出μ′也在γ上方, 仍从θ是S在γ上方唯一的Iπ-特征标, 可知μ′也在θ上方, 即μ′∈Iπ(Gθ|θ). 最后从(S,θ)的诱导源对应得到μ′=μ, 即证β在μ下方, 从而β∈Fongμ(Hγ|γ), 故所述Fong特征标对应为满射.

至此我们证明了H中的诱导源(J,γ)定义的诱导源对应, 可给出Fong特征标诱导双射Ind:FongGθ(Hγ|γ)→FongG(H|γ), 并且从上述证明过程可知该双射可分块为若干子集之间的双射Ind:Fongμ(Hγ|γ)→FongμG(H|γ), 对任意μ∈Iπ(Gθ|θ), 据此完成证明.

最后, 取π=p′为素数p的余集, 按第1节的说明, 则Iπ(G)=IBr(G)为p-可解群G关于素数p的不可约Brauer特征标的集合, 故定理B为定理A的Brauer版本, 也是定理A 的直接推论.