梅森素数探究为什么这么火

曹茜

目前，世界上有190多个国家和地区的近24万在线网民参与了一个名为“互联网梅森素数大搜索”（GIMPS）的国际合作项目，并动用超过233万个核中央处理器（CPU）联网来寻找梅森素数。可以说，对于梅森素数的探究非常火爆，这在数学史上前所未有，在科技史上也极为罕见。

众所周知，素数又称质数，是指在大于1的自然数中只能被1和其自身整除的数。每个自然数都可以唯一地分解成有限个素数的乘积，素数因此构成了自然数体系的基石。2300多年前，古希腊数学家欧几里得在《几何原本》一书中证明了素数的个数是无穷的，并提出一些素数可写成“2^P-1”（即2的P次方减1，其中指数P也是素数）的形式。千百年来，2^P-1型素数吸引着人们去寻找和研究它。

法國数学家马林·梅森（1588-1648）

由于17世纪法国数学家马林·梅森学识渊博、才华横溢，并最早开始系统而深入地研究2^P-1型素数，为了纪念他，数学界将这种特殊形式的素数命名为“梅森素数”。梅森素数历来是数学研究的一项重要内容，也是当今科学探索的热点和难点之一。这种素数珍奇而迷人，被人们誉为“数学宝库中的钻石”。

梅森素数看似简单，但当指数P值较大时，其素性检验的难度就会很大。另外，它的探究需要借助高深的理论、纯熟的技巧以及艰难的计算。例如，1772年，瑞士数学家、物理学家莱昂哈德·欧拉在双目失明的情况下，靠心算证明了2³¹-1（即2的31次方减1）是个素数，该数（2147483647）有10位，堪称当时世界上已知的最大素数。在靠手算笔录的年代，人们历尽艰辛，一共才找到12个梅森素数。

电子计算机的诞生使得梅森素数的探究如虎添翼，各国科学家和业余研究者们纷纷投身到寻找梅森素数的队伍中。他们彼此竞争，乐此不疲，催生了不少新发现。1952年1月30日晚上9点，美国数学家拉斐尔·鲁滨逊将探究梅森素数的方法编译成计算机程序，利用大型计算机，几小时内就找到了两个100位以上的梅森素数：2⁵²¹-1和2⁶⁰⁷-1。随后的几个月，他又接连找到了2¹²⁷⁹-1、2²²⁰³-1和2²²⁸¹-1。

“211213-1是个素数”的邮戳

探究梅森素数不仅极富挑战性，而且对探究者来说有一种巨大的自豪感。1963年6月2日晚上8点，当第23个梅森素数2¹¹²¹³-1通过超级计算机被找到时，美国广播公司（ABC）中断了正在播放的节目，第一时间发布了这一重要消息，《芝加哥论坛报》还把这一消息作为头版头条来报道。而发现这个素数的美国伊利诺伊大学数学系全体师生感到无比骄傲，为了让全世界都分享这一重大成果，甚至把所有从系里发出的信封都盖上了“2¹¹²¹³-1是个素数”的邮戳。

互联网的出现，大大加快了探究梅森素数的步伐。1996年年初，美国数学家、程序设计师乔治·沃特曼编制了一个梅森素数计算程序，并把它放在网页上供人们免费使用。这一计算程序就是举世闻名的GIMPS项目，也是全球首个基于互联网的网格计算项目。现在，只要人们去GIMPS的主页下载一个名为“Prime95”的免费程序，就可以立即参加GIMPS项目来寻找梅森素数了。

为了激励人们寻找梅森素数和促进网格计算技术发展，总部设在美国旧金山的“电子前沿基金会（EFF）”于1999年3月向全世界宣布了为通过GIMPS项目来寻找梅森素数而设立的奖金。它规定向第一个找到超过100万位数的个人或机构颁发5万美元。后面的奖金依次为：超过1000万位数，10万美元;超过1亿位数，15万美元;超过10亿位数，25万美元。据悉，绝大多数参与者不是为了名利而探究梅森素数，而是出于好奇心、求知欲和荣誉感。

前不久，来自美国佛罗里达州的互联网专家、数学爱好者帕特里克·拉罗什通过参与GIMPS项目，成功地发现第51个梅森素数——2^82589933-1。该数有24862048位，是迄今为止人类发现的最大素数。如果用普通字号（指word文档默认的字体字号）将这个素数打印下来，它的长度将超过100千米！而且近百年来，几乎所有的“最大素数”都是梅森素数。

值得一提的是，人们在寻找梅森素数的同时，对其重要性质——分布规律的研究也一直在进行着。中国数学家、语言学家周海中在1992年率先给出了梅森素数分布的精确表达式，这一研究成果被国际上命名为“周氏猜测”。美籍挪威数论大师、菲尔茨奖和沃尔夫奖得主阿特勒·塞尔伯格指出：“‘周氏猜测具有创新性，开创了富于启发性的新方法，其创新性还表现在揭示新的规律上。”

梅森素数在当代具有十分丰富的理论意义和实用价值。对它的探究可以推动“数学皇后”——数论的研究，还可以促进密码技术、网格计算技术、程序设计技术的发展，以及快速傅立叶变换和快速椭圆加密算法的应用。另外，在探究过程中，人们还能发现计算机芯片存在的问题。例如，德国一名GIMPS项目参与者发现：当Intel Skylake处理器在执行Prime95程序来寻找梅森素数时，就出现了触发系统死机的漏洞。随后，美国英特尔公司承认存在该漏洞，并做了修复。

由于梅森素数的探究在当代需要多种学科和技术的支持，所以许多科学家认为：梅森素数的研究成果，在一定程度上反映了一个国家的科技水平。英国数学家马科斯·索托伊甚至认为，梅森素数的探究可以挑战人类科技与智慧的极限，其成果是一个国家科技创新能力的重要标志之一。这也是梅森素数探究如此火爆的原因之一吧！