由一道参数方程与普通方程互化问题引发的思考

赖春芳

一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x、y都是关于某个变量t的函数：

，并且对于t的每一个允许值，由方程组

，所确定的点M（x，y）都在这条曲线上，那么方程

，就叫做这条曲线的参数方程.相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程，也叫做直角坐标方程.近几年的高考试题中经常会出现一些参数方程与普通方程互化的问题.解答此类问题的基本思路是通过消元将参数方程中的参数消去，便可得到普通方程，或者引入参数，用含有参数的方程表示普通方程.

例题：在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程

（t为参数）求c的直角坐标方程，

解法1：因为x=

，

所以l+t2=

且x≠一1，

从而可得y=

=2（x+ l）t，则t=，

将其代入x=

整理得X2+ y4=

（x≠一1）.

即曲线C的直角坐标方程为x2+

=l（x≠-l）.

这里主要采用了代入法来消参，分别求出l+t2和t的表达式，将它们代人参数方程中得到关于x、y的普通方程，

解法2：设t=tana，其中cosa≠0，

因为cos 2a=2 cos 2a -l且cosa≠O，所以x≠一1，

贝x=，

由sin 2a+ cos 2a=l可得x2+

=l（x≠-1），

所以曲线C的直角坐标方程为x2+

=1（x≠-l）.

我们引入三角函数，通过三角换元求得x、y的三角函数表达式，然后利用同角的三角关系式sin2a+ cos2a=l，消去三角函数，求得普通方程.

我们观察该例题中的代数式，可以发现它们的次数都不超过二次，便可联想到一个定理：两个一元二次方程aix2 +b1x+cl =0和a1x2+ b2x+c2=0有公共解的充要条件是：（a1c2-a2c1）2=（a1b2-a2b1）（b1c2-b2c1）.我们可以运用该定理来将参数方程转化为普通方程.

解法3：由，

①，

由，

②

由于①式和②式取同一参数t，所以这两个方程有公共解.

根据上述定理可得[（l+x）y-y（x一1）]2=[（1+x）.（-4） -0][0-（-4）（x-l）]，

化简得x2+y =l，

又方程（1+x）t2+（x一1）=0有意义，所以x≠-1，

所以曲线c的直角坐标方程为x2+y4 =1（x≠一1）.

运用上述定理，我们直接建立关于x、y的新方程，消去了參数t，便可快速求得普通方程.

以上解法中，解法1、解法2都是常规解法，解法3属于一种新方法，相比较而言，解法3比解法l、2中的运算量小，且思路简单.在解答这类参数方程与普通方程互化的问题时，同学们既要重视基础知识的应用，也要注重创新，学会运用发散思维，寻找更加简便的解题方法.

（作者单位：江西省赣州市崇义县崇义中学）