高中数学解题中数形结合思想的有效应用

宁邦青

(广西钦州市浦北县浦北中学 535300)

“数”与“形”有着紧密的联系，在解题中通过“数”与“形”的转化，能够及时的找到解题的切入点，因此，实践中既要注重数形结合思想理论的渗透，又要做好该思想在解题中的应用示范，使学生牢固掌握，灵活应用该思想解题.

一、用于解答函数零点个数问题

函数零点问题是高中数学中的一类重要问题.解答该类问题应具体情况具体分析，结合零点的几何定义，巧妙的运用数形结合思想化难为易，尤其在求解函数零点个数时应用数形结合思想，可达到事半功倍的良好效果.解答该类习题的关键在于正确的画出函数图象，因此，实践中应引导学生夯实基础，熟练掌握函数的奇偶性、单调性、周期性等，并能熟练的加以推导.

例1已知定义在R上的偶函数y=f(x)满足f(2-x)=f(x).当0≤x≤1时，f(x)=x，设函数g(x)=f(x)-log5|x|，则g(x)的零点个数为( ).

A.6 B.7 C.8 D.9

由函数零点的定义可将该题转化为函数y=f(x)和函数y=log5|x|图象交点个数问题.先研究两个函数在x>0上的图象，而后结合图象的对称性，找到在R上的总的交点个数.

因为f(2-x)=f(x)，所以其图象关于x=1对称.又因其为偶函数，则满足f(x)=f(-x)，得到其周期T=2，由此不难画出x>0的函数图象.由y=log5|x|可知其为偶函数.当x>0时，函数y=f(x)和函数y=log5x的图象如图1所示，此时的交点个数为4个.当x<0时，由对称性可知交点个数也为4个，总的交点个数为8个，选择C项.

图1

二、用于解答三角函数问题

三角函数在高中数学中占有重要地位.相关习题灵活多变，解题思路多种多样，其中三角函数的最值、周期等，能够从其图象中获得，因此，解题中应注重运用数形结合思想，通过画出对应的图象，直观的揭示相关参数之间的关系，并注重联系三角函数的性质，以快速解答相关习题.

A.在区间[-4，2]上单调递增

B.在区间[0，6]上单调递减

C.在区间[1，7]上单调递减

D.在区间[4，10]上单调递增

审题可知，该题需要根据已知条件求出参数A、ω、φ的值，得出函数g(x)的具体表达式，而后运用三角函数性质，判断其在特定区间上的单调性.

三、用于解答平面向量问题

平面向量是高中数学的重要基础知识.在相关测试以及高考中该部分知识既可以单独考查，也可以与其他知识结合起来考查.解答平面向量问题的常规思路有两种：运用向量的几何运算；运用向量的坐标运算；在两种解题思路中数形结合思想发挥着关键作用.结合平面向量问题的解答，让学生体会数形结合思想的便捷性，培养学生数形结合思想应用意识，结合经典例题解答，提高学生解题能力.

例3已知平面向量a、b、c，满足a+b+c=0，其中a、b的夹角为α，|a|=1，|b|+|c|=2，则cosα的取值范围为____.

解答该题如采用常规作答较为繁琐，难度较大，而使用数形结合思想可很快的得出正确答案.解题的关键在于如何理解与应用题干中“|b|+|c|=2”这一条件.事实上，由|b|+|c|=2可联想到椭圆定义，将其放到椭圆中分析.

根据题意画出图形，如图3所示，其中F1和F2为椭圆的左右焦点，向量a、b、c随着点P运动，向量a以及向量a、b的夹角不断变化，显然α∈[0，180°]，则cosα的取值范围为[-1，1].

图3

四、用于解答直线方程问题

直线方程属于高中数学中解析几何范畴.解析几何给学生留下的印象是计算繁琐，难度较大.事实上学习时不能一概而论，应具体问题具体分析灵活采用多种解题思路，以达到迅速求解出正确结果的目的.数形结合思想用于解答相关习题，可避免繁琐的计算，运用几何知识经过简单的分析与运算，便能得出正确结果.

例4在平面直角坐标系中，动点P(a，b)满足|a|+|b|=1，设d为点P到直线x-my-2=0的距离，当a、b、m变化时，d的最大值为( ).

A.1 B.2 C.3 D.4

解答该题如采用常规方法一时难以切入，而且即便能够切入，但计算较为繁琐，不易得出正确答案.事实上只要思路正确，该题不难解答.解答该题的关键在于能够看懂点P轨迹表示的图形，借助数形结合思想进行分析判断.在画“|a|+|b|=1”表示的图形时，可采用分类讨论法将绝对值去掉.

图4

数形结合思想在高中数学解题中有着广泛的应用.实践中应充分认识到这一思想的重要性，结合教学内容做好数形结合思想理论知识的讲解，使学生掌握“数”与“形”联系的常规思路，能够熟练的画出高中数学常见的函数图象、图形.同时，做好经典例题的讲解，使学生把握运用数形结合思想解题的相关细节，不断的提高其运用数形结合思想解题的灵活性与正确性.