带形状参数的三次三角域Bézier曲面*

查东东,刘华勇,王曾珍

(安徽建筑大学数理学院,安徽 合肥 230601)

1 引言

在计算机辅助几何设计中，三角域上非张量积型的Bézier曲面因为在形状设计上的灵活性，得到了大量的应用。同时学术界为克服它在控制多边形不变时不能调整曲面外形的缺点，引入了形状参数。例如，文献[1]构造了三角域上的局部形状可调的三次Bézier曲面；文献[2]从几何角度定义了带形状参数的四次Bézier曲面；文献[3]在不升次的前提下，扩展了三角域上的三次Bézier曲面；文献[4]分析了三角域上生成三角多项式曲面的方法。文献[1-4]中的曲面除了继承原有的特性，还能利用形状参数来调节曲面的形状，但上述曲面还存在着不能兼顾局部形状参数和全局形状参数的缺点。文献[5]讨论了带有3个形状参数的三角曲面；文献[6]介绍了三角域上二元n次Bernstein基函数的扩展；文献[7]给出了针对空间散乱数据点的三次曲面插值方法；文献[8]给出了带多局部形状参数的拟二次Bernstein基函数。文献[5-8]中曲面的构造，都未实现拼接的连续性，且文献[5]的局部形状参数和全局形状参数效果是非独立的，或对曲面的形状控制力还略有不足。文献[9]将指数函数合并到多项式函数中；文献[10]基于递推关系构造了带形状参数的基函数；文献[11]扩展了带有多个形状参数的Bézier曲线和曲面。

本文构造了带有形状参数的三次三角域Bézier曲面，构造出的曲面不但能实现较高的光滑拼接，还可以用3个局部形状参数和1个全局形状参数修改曲面形状，其中，3个局部形状参数取值相同时具有对称性的形状控制效果。形状参数大大丰富了曲面的形状控制效果。

2 带形状参数的三次三角域Bernstein基函数

2.1 基函数的定义

定义1给定面积坐标(u,v,w),其中，u,v,w≥0,u+v+w=1,称:

(1)

为带形状参数λ,α1,α2,α3的三次三角域Bernstein基函数，简称为三次三角域λα-Bernstein基。其中,-2<λ≤1,0≤α1,α2,α3≤1。

2.2 基函数的性质

性质5(角点性质) 当i+j+k=3时，有:

性质6(角点导数)

(2)

证明若

(3)

其中,Xi,j,k∈R。将式(2)代入式(3)整理得:

□

3 带形状参数的三次三角域Bézier曲面

3.1 三次三角域λα-Bézier曲面

定义2给定面积坐标(u,v,w),其中u,v,w≥0,u+v+w=1,呈三角阵列的控制顶点Pi,j,k(i,j,k≥0,i+j+k=3)∈R3，称:

(4)

为带形状参数α1,α2,α3,λ的三次三角域Bézier曲面，简称为三次三角域λα-Bézier曲面。

借由转换矩阵，也可将r*(u,v,w)写作三次三角域Bézier曲面形式：

(5)

(6)

3.2 三次三角域λα-Bézier曲面性质

性质8(凸包性) 三次三角域λα-Bézier曲面完全被包含在控制点Pi,j,k构成的凸包内。

性质9(几何不变性和仿射不变性) 三次三角域λα-Bézier曲面的形状仅依赖于控制顶点Pi,j,k∈R3(i,j,k≥0,i+j+k=3)，几何变换不改变曲面的形状。

其中，N是任意向量且N∈Rd(d=3)，M是一任意k×k(k=3)阶矩阵。

性质10(角点性质) 当i+j+k=3时，有：

性质11(退化性) 当α1=α2=α3=λ=1时，三次三角域λα-Bézier曲面退化为三次三角域Bézier曲面。

性质12(形状可调性) 当Pi,j,k(i,j,k≥0,i+j+k=3)固定时，可以改变形状参数α1,α2,α3,λ的值来控制曲面的形状。

图1为给定同一控制点Pi,j,k下，形状参数α1,α2,α3,λ分别取不同值时得到的三次三角域λα-Bézier曲面。可以看出各参数的效果：

(1)λ趋于1 时，曲面整体就越靠近控制网格，如图1a～图1c所示。

Figure 1 Influence of different values of λ，α1，α2 and α3 on the surface图1 λ、α1、α2、α3分别取不同值时对曲面的影响

(2)α1、α2、α3控制效果是类似的，这也与基函数的性质3相对应。它们各自控制着相应角点处的局部曲面形状，是对称的。其中α1控制着角点P300的局部曲面形状，α1越趋于0，P300的局部曲面越靠近线段P210P201。α1越趋于1，P300处的局部曲面越靠近P300，如图1d～图1f所示。同理可得：α2控制着角点P030的局部曲面形状，α2越趋于0，P030的局部曲面越靠近线段P120P021。α2越趋于1，P030处的局部曲面越靠近P030，如图1g～图1i所示。同理可得：α3越趋于0，P003的局部曲面越靠近线段P012P102。α3越趋于1，P003处的局部曲面越靠近P003，如图1j～图1l所示。

3.3 n次三角域λα-Bézier曲面

借助De Casteljau算法可以递推n(n≥4)次三角域λα-Bernstein基函数[1]：

(7)

定义3给定面积坐标(u,v,w),其中u,v,w≥0,u+v+w=1,呈三角阵列的控制顶点Pi,j,k(i,j,k≥0,i+j+k=n)∈R3，称:

(8)

为带形状参数α1,α2,α3,λ的n次三角域Bézier曲面，简称为n次三角域λα-Bézier曲面。

3.4 三角域λα-Bézier曲面与类似方法的比较

本文将λα-Bézier曲面与文献[11]中扩展的Bézier曲面进行了如下比较:

(1)以控制网格为目标函数，引入2-范数来衡量曲面到控制网格的距离，2-范数越小，距离越短，逼近程度越高。

当λα-Bézier曲面比文献[11]中扩展Bézier曲面更贴近控制网格时，有：

(2)比较文献[11]算法和本文算法的时间复杂度，借助Matlab秒表计时函数计算出各种算法的运行时间，以运行时间近似替代。为减少误差算法运行时间按如下方式统计:每种算法一组实验执行100次循环，取100次运行时间的平均值，进行10组实验，再取10组平均运行时间的最优值，比较2种算法的运行时间最优值。多次实验后可以看出，改进算法略有领先，但基本上两者相差不大。

Figure 2 Comparison of curved surfaces from different angles图2 不同角点视角曲面对比图

(3)λα-Bézier曲面和文献[11]中扩展Bézier曲面都能全局和局部地修改形状，但λα-Bézier曲面具有全局形参和局部形参，文献[11]中曲面形状的全局修改还是依靠共同修改多局部形参,且参数过多。

算法对比如表1所示。

Table 1 Comparison of different algorithms表1 不同算法的对比

4 曲面拼接

4.1 三次三角域Bézier曲面的C1连续拼接

给定2张三次三角域Bézier曲面

由三角域Bézier曲面的拼接条件[12]知，若满足：

则2张三次三角域Bézier曲面r1(u,v,w)和r2(u,v,w)在公共边界(w=0)实现C1连续。

4.2 三次三角域λα-Bézier曲面的C1连续拼接

定理1给定2张三次三角域λα-Bézier曲面

若满足：

(1)α1=α2=λ=1；

□

Figure 3 Jointing of cubic triangular λα-Bézier surfaces图3 三次三角域λα-Bézier曲面的C1拼接

Figure 4 Examples of λα-Bézier surface jointing around corner points图4 λα-Bézier曲面绕角点的C1拼接实例

4.3 三次三角域Bézier曲面的G1连续拼接

给定2张三次三角域Bézier曲面:

(9)

其中，Qi,j,k为曲面r2(u,v,w)上的点坐标。

由三角域Bézier曲面的拼接条件[11]知：

当i,j≥0,i+j+k=3时满足:

P0,j,k=Q0,j,k

(10)

有r1(0,v,w)=r2(0,v,w)，即2张三次三角域Bézier曲面r1(u,v,w)和r2(u,v,w)在公共边界(u=0)实现G0连续；

实现G1连续需在式(10)基础上还满足:

(11)

其中，ε和η为自由因子。

式(10)可转化为:

(12)

则同时满足式(10)和式(12)时，r1(u,v,w)和r2(u,v,w)在公共边界(u=0)实现G1连续。

4.4 三次三角域λα-Bézier曲面的G1连续拼接

给定2张三次三角域λα-Bézier曲面:

(13)

Figure 5 Jointing of cubic triangular λα-Bézier surfaces图5 三次三角域λα-Bézier曲面的G1拼接

又可以将式(13)改写为:

(14)

当i,j≥0,i+j+k=3时满足:

(15)

(16)

将式(6)和式(16)代入式(14)可得:

(17)

实现G1连续需在式(17)基础上还满足:

(18)

将式(6)、式(17)代入式(18)可得:

(19)

5 结束语

本文构造了带有形状参数的三次三角域Bézier曲面，在继承三次三角域Bézier曲面原有性质外，曲面满足C1、G1连续的融合条件也比较简单，文中给出了一些参数不同取值下的曲面形状可调的实例。此外，本文在保持基函数次序不变的情况下，给出了可调的局部形状参数和全局形状参数，可以根据需求更方便地调节曲面的形状。