巧用转化思想 解答数学难题

张锦尾

（福建省仙游第一中学，福建仙游 351200）

引 言

众所周知，初中数学题型复杂多变，对学生分析及解题能力要求较高。部分习题采用常规方法进行解答，不仅计算烦琐，还容易出错，而应用转化思想可取得事半功倍的解题效果。因此，教师在教学中应注重为学生讲解转化思想的相关理论知识，提高学生对转化思想的应用意识，从而指引学生更好地解答数学难题。

一、分式与整式的转化

分式是初中数学的重要知识，也是测试的常考点。相关习题难度差别较大，部分习题需要运用转化思想将分式转化为整式进行求解。为使学生掌握转化技巧，提高解题正确率，教师在数学教学中应做好分式基础知识的讲解，使学生正确把握分式的特点，明确分式与整式之间的区别与联系，同时有针对性地引导学生将分式转化为整式，为学生在解题中灵活应用转化思想奠定基础[1]。另外，教师应结合教学经验，选择具有一定难度的例题在课堂上为学生讲解解题过程，使学生感受转化思想的具体应用，给学生带来解题启发，便于学生把握分式与整式转化的细节。

该例题给出的已知条件较少，解题难度较大。课上，教师可先给学生留下一定的思考时间，要求其思考解题思路，然后为其讲解解题步骤，并要求学生认真观察已知条件。解题步骤如下：等式的两边分别乘以x2-4，根据平方差公式可将已知条件转化为4x=(a+b)x-2a+2b。结合等式左右两边特点不难得出：a+b=4， -2a+2b=0，两式联立可求出a=2，b=2，代入可得a2+b2的值为8。

通过对该例题的学习，学生感受到转化思想在解题中的妙用，认识到分式转化为整式应注意的细节，即灵活应用平方差、完全平方式等知识，寻找相关参数之间的规律，建立等式关系。

二、函数与方程的转化

一次函数是初中数学的重点知识，涉及的知识点较多，包括一次函数的判断、表达式的求解、一次函数图像等知识点。其中，一次函数与一次不等式联系较为密切，部分习题需要借助两者的转化进行求解。在教学中，为提高学生解答相关习题的能力，教师应注重结合函数图像为学生深入剖析其中蕴含的不等关系，提高学生对函数与方程的转化意识[2]。课上，教师可基于学生所学设计代表性习题，要求学生运用转化思想进行解答，夯实其所学的同时，锻炼其应用转化思想解答数学难题的能力，促使其树立解答数学难题的自信心[3]。

题干中给出的是两个一次函数的表达式，这两个函数在第四象限相交。要想求出m的值，学生需要先将其转化成一元一次方程组，再求出方程组的解。根据其在第四象限相交的条件，将其转化为不等式，最终得出整数m的值。将两个函数联立，其交点坐标为（2m+3，m-2）。考虑到第四象限中横坐标为正，纵坐标为负，即2m+3＞0，m-2＜0，可解得m的取值范围为因此，整数m的值为-1、0、1。

该题的难点主要有两个：一是将函数转化为方程；二是明确第四象限坐标特点。该习题的训练加深了学生对函数、方程关系的理解，增强了其运用转化思想解题的意识。

三、高次向低次的转化

初中数学部分习题涉及高次项的参数，而且无法使用因式分析进行转化，如果找不到解题思路就很难作答，此时需要灵活运用完全平方式、整体代换等将高次转化为低次以实现求解的目的。在教学中，为使学生掌握相关的转化思路，教师应结合教学经验对相关习题分门别类，总结不同题型的转化思路，传授学生相关的转化技巧，使学生扎实掌握理论知识，避免其在转化中走弯路[4]。此外，教师应围绕具体例题，在课堂上边引导学生回顾理论，边板书详细的解题过程，与学生一起完成例题解答。

该题目中出现了三次项，直接代入求解计算较为烦琐，显然是不可取的。在实际教学中，教师可引导学生运用转化思想进行解答，即先认真思考已知条件，通过移项对等式两边进行平方，得出a2+2a=6这一等式，然后在等式两边分别乘以3a，得到3a3+6a2=18a。观察要求解的多项式，进行配凑，凑出含有3a3+6a2的项，然后分别进行整体代入，最后求出3a3+12a2-6a-12的值为24。

该题难度较大，需要运用一定的解题技巧。在授课中，为增强学生的解题自信心，教师应注重给予学生点拨，鼓励学生坚定信心、积极思考、认真书写解题步骤。

四、立体向平面的转化

勾股定理在初中数学中占有重要地位。部分习题以空间几何体为背景，考查学生对勾股定理的灵活应用能力。该种题型对学生的空间想象能力具有一定要求，在教学中，为提高学生解答此类习题的能力，教师应启发学生将立体图形转化为平面图形。一方面，在讲解勾股定理时，教师应注重引导学生联系生活中的空间图形，思考哪些立体图形应用了勾股定理知识，在增强课堂教学趣味性的同时，帮助学生构建立体与平面之间的联系，并在学生的记忆中留下深刻印象。另一方面，教师可运用多媒体技术为学生创设相关的问题情境，直观展示立体图形向平面图形转化的过程，使学生更好地将转化思想应用于解答相关习题中[5]。

例题：一个圆柱体的高为4cm、底面半径为1cm， 从圆柱底部A处沿侧面缠绕一圈丝线到顶部B处做装饰，这条丝线的最小长度为（π取3）____。

该题目创设的问题情境以圆柱体为背景。学生对圆柱体并不陌生，在小学时，学生已较为系统地学习了圆柱体知识。要想正确解答该题，学生就要具备良好的空间想象能力，能够准确把握A、B两点之间的关系。课上，教师可先使用多媒体技术为学生创设不同的缠绕情境，使学生清晰地看到只有当A、B两点在竖直方向上处在同一条直线上时其长度最短；然后将圆柱体展开，学生可清晰地看到直线AB、圆柱底面周长、圆柱的高构成直角三角形；最后根据已知条件可求出圆柱底面周长为6cm，其高为4cm，进而使用勾股定理可求出AB的长为

中考数学试卷中时常出现一些几何习题，需要学生将立体图形转化为平面图形进行求解。因此，教师在教学中应多组织学生进行训练，使其掌握相关的转化技巧，明确转化前后参数之间的关系，实现正确解答。

结 语

初中数学习题中不乏一些难题，需要学生具备灵活的头脑，巧妙运用转化思想以顺利求解。为提高学生运用转化思想解题的能力，教师应将转化思想纳入教学重点，为学生讲解不同的转化类型，并结合具体习题，讲解转化思想在不同题型中的应用，在加深学生印象的同时，更好地指引学生解答数学难题。