通过《算学学习法》研究余介石的数学教育思想

王灿

一、《算学学习法》的历史背景

民国时期国家的落后，社会的动荡，促使国人更加重视文化教育，数学教育的作用也更为凸显，所以民国时期的数学教育在学校教育中占有重要位置，它是学生学习发展的基础性学科，是学校教育的核心课程，数学教育不仅可以让学生获得生存生活所必须的数学知识，也可以让他们具有一定的数学抽象思维能力。同时近代中国政治、经济极其落后，急需一些爱国志士投身到国家的建设中去，而民国时期的学校教育的发展，特别是数学教育的发展，可以向国家建设提供大量的人才，这促使民国时期数学发生了根本性的改革，期间在内部需要和外部刺激的相互作用下最终与世界数学教育接轨。

1922年全国教育联合会新学制课程标准起草委员制定公布了《新学制课程纲要》，这是中国课程发展历史上的一次重大变革，纲要中规定初中实施混合数学教学，混合数学在课堂教学实施中对于教师的要求比较高，对数学教师的数学素养以及数学知识结构、内容和各分支之间的联系等要求较高。民国时期的数学教师队伍中具有这样水平的数学教师很少，存在师资缺乏的问题，而且由于初中刚入学的小学毕业生的接受能力不够，教师在教学中有关教学方法的问题上存在困难。因此，民国时期的数学家多参与中国数学教育尤其中等数学教育中，编写数学教材和数学学习方法。

二、作者介绍

余介石（1901-1968），字竹平，号慰慈，我国珠算家、数学教育家、科普作家。1901年2月7日出生于安徽省黟县城的一个徽商家庭，幼時思维敏捷，聪明过人，先就读于上海市中华工业专门学校附中，成绩名列前茅，中学毕业后，1919年考入南京东南大学（1924年曾改名为中央大学，现为南京大学），在这四年学习期间，余介石勤奋好学，深得老师和同学们的赞许。1923年余介石先生大学毕业后留校任教，1924-1945年，先后执教于重庆大学、四川大学、成都金陵女子文理学院、四川大学师范学院，任教授，数学系主任。1945年秋至1949年秋兼任四川省会计专科学校教授。1954年被调入北京农业工程大学（现为中国农业大学）任数学系教授，1968年去世。

合著者孙克定（1909-2007），江苏无锡人。1930年参加革命，曾任新四军第三师军工部研究室主任，第三野战军特种纵队炮兵学校教授、山东大学数理系主任，上海军管会文教处副主任。建国后历任中科院紫金山天文台研究员、副台长，数学研究所、系统科学研究所研究员。1932年在南京监狱向包之静学习世界语，热忠在科技界推广。建国后经常参加当地的世界语活动，曾加入世界语之友会、中华全国世界语协会和北京世界语协会。曾任中科院世界语协会顾问，晚年不顾年高仍不断宣传世界语，曾在《世界》杂志上发表过多篇宣传世界语的文章。编著有：《军工干部速成数学》、《炮兵数学讲义》、《高精度三角函数算图》、《高精度四位算尺》、《算学学习法》等。

三、数学的重要性和有用性

从世界各国都把数学作为中小学基础课程来看，学习数学的重要性已经不言自明。但在实际教学中，经常会有学生问：我们为什么要学数学？学习数学有什么用？甚至有“数学滚出高考”的言论。看来即便是当今社会，数学的重要性和有用性还有必要在中小学生中进一步普及。早在民国时期余介石已经注意到这个问题，并在《算学学习法》中对数学的重要性和有用性有详细的阐述。

我们知道，数学是研究数量和空间的科学。那么试问世界上哪些东西没有数量？哪些东西不占据一定的空间？所以数学无所不在，无所不包。地球和其他星体的运行轨道，金字塔及其后各种建筑的构造形式。蜂巢，花，草及自然界里面形形色色的布置，雪花及其他结晶物以及各种物质分子间，原子间，点之间的排列，这一切的空间图形都是数学的研究对象。宇宙中各天体的体积，质量，温度等条件，社会中人口的增减，经济的盛衰，国家的预算，或个人的日用账目，以及生物的遗传，工程的设计，制造的各种计量，这一切的数量关系也都是数学的研究对象。没有了数学，我们非但不能推算日月食，建筑桥梁，广播无线电，我们甚至没有时日，不知远近，忘却耕种与纺织，失去计划，演算，推量，推论的能力。所以就整个宇宙及自然而言，数学是普遍的，客观纯在的;就人类而言，数学是认识自然的重要手段之一。

数学是科学中最基本的一种理论科学。如物理、化学、生物等，都少不了数学，而应用的科学，更以数学的测定为枢纽。都离不了数学。甚至最抽象的艺术如音乐，在节奏上，拍子以及作曲，和声等也必须有数学的帮助。所以数学可以称为“科学界的女王”。

学习数学给与我们一种精神上的训练，使我们的思维及行动有系统，精密，完整，无论什么都有根据合逻辑，这种习惯是最有用的。别的东西常常有假，数学却不能有假。别的东西可以马虎，数学却不能丝毫苟且。作文可以有修辞工整，言无之物的文章，音乐可以有油腔滑调，社会科学也可以有似是而非的理论，就在自然科学中也常有不怎样可靠的假定，这些都可以滥竽充数，暂时蒙混过去，可在数学的领域里面，这绝对不行。数学是最有系统最为严密，最为完整的学问。在数学里绝对没有矛盾不符，绝对没有漏洞，即使因为我们自己的错误带进了矛盾，那也可以立即发掘出来，真伪显然，取舍立断。数学就像一个有组织的军队，异己分子是参杂不进去的，数学也像一座大建筑物壁垒森严，每一部分都是必要的，所以数学给与我们系统、精密、完整的思维训练是其他学科不能替代的。

数学学习可以使同学们具备一定的抽象思维和推理能力。数学是又抽象又客观的学科，我们只能用冷静的理智去面对。学习数学不像学习语文那样以记忆为主，也不像学习艺术那样以感觉及情绪为主。数学是纯粹的推理，靠思考与悟性，感觉和记忆对于数学只有间接作用，而情绪在数学里完全用不着，所以学习数学必须首尾贯注，一丝不苟，把全部了解才行。一个经过数学思维熏陶的人，其思维更具有逻辑性，而善于理性思维的人，往往更具有创新思维，在工作中足智多谋，游刃有余;相反，不善于独立思考的人，往往人云亦云。

总之我们要在学习数学的过程中，感受数学的力量，体会数学的美，领悟数学的思想方法，并学会应用数学解决遇到的实际问题。不管是打算将来以数学研究及数学教育为事业的人，还是准备从事自然科学及工程，或者文学、艺术、政治经济或其他方面的人等，都得把数学学好。

四、《算学学习法》中所体现的数学教育思想

1.重视数学观和数学学习兴趣的培养。

数学观，即对数学的看法和理解，任何人在研究数学之前都要弄清楚“什么是数学”和“数学的价值”等问题。它直接影响学生学习的态度，影响数学教师的教学思想。

《算学学习法》开篇便是“数学的重要性和有用性”，其中写到，算学是研究数量和空间的科学，世界上一切东西都有数量可稽，都占据一定的空间，可见算学无所不在，无所不包，进而举例说明，可以看出数学是“科学界的女王”，从而激起读者对数学的崇拜和浓厚的兴趣。那么数学既然这样有用而又这样重要，所以每个人都得学习它，应用它，并企图进一步发展它，这就要求我们必须在中学时代打好基础，激发学生对中学数学学习的兴趣。

书中第二节写到数学的特点—数学没有假的。算学像一座大建筑物，壁垒森严，每一部分都是必要的。算学又像是有组织的军队，异己分子是参杂不进去的。所以我们学习数学，这给予我们一种精神上的训练，训练我们的思维及行动必须系统，精密严正而完整，做事有根据合逻辑。而这种习惯在生活和学习中都很重要，可见学习数学的重要。那么它究竟是什么样的科学？这么独特又这么重要？从而激发了学生对数学学习的兴趣，想进一步了解它，研究它。

书中还多次提出兴趣的重要性。比如有些人认为自己天生不愿意学习数学，其原因可能是一开始对数学有了坏的印象，从而失去兴趣，不努力去学导致的。再比如有些人见了数字就害怕也是因為他对数字没有兴趣。可见数学学习兴趣对数学学习至关重要。

本书讲到数学游戏对于数学的正规学习是很有帮助的，它可以增进学生的兴趣，启发对于数学的好奇心，使人不知不觉地跨入数学的领域。不论是有没有受过教育的人，对于数学上奇妙有趣的问题总是乐于加以思索，能够得着正确的解答就感到莫大的快乐，这是基于人类共同的求知欲和创造欲，我们如果能把这因势利导，对数学教学大有益处。我们注重的不在于猜谜似的去猜出数学游戏的答案，而在于用正确的数学理论导出解答来，譬如流行的一首歌谣“一百馒头一百僧，大僧一人得三个，小僧三人一个分，问有几多馒头几多僧？”这是个很有趣的数学问题。我们可以设大僧x人，则小僧就有（100-x）人，则有 解得x=25，所以大僧25人，小僧75人。数学游戏不仅可以提高数学的趣味性，而且还能表示出数学的推理方法及应用。虽然是游戏题，但我们还得把它看成同正式题一样做，数学可以用在游戏上，但游戏却不能用在数学上。

2.关注学生数学学习心理。

现代教育心理学认为，学生的学习心理决定学习的效果，学生的学习活动是智力因素和非智力因素共同参与的过程，学习效果是两种因素相互作用的产物。学生数学学习心理表现成为影响数学教学质量的一个重要因素，调查结果显示在数学差生中，40%是由智力因素造成的，由非智力因素造成的占57%。传统的数学教学注重向学生传授数学知识，忽视对学生学习心理的研究。余介石在《算学学习法》中已经意识到关注数学学习心理，克服数学学习心理障碍对数学学习起到的积极作用。文中对于学生认为的“学习数学是苦事和难事”，“天生不进数学”，“见了数字就害怕”等问题予以了详细的讲解。

2.1数学学习并非苦事也并非难事

我们常常听到有人说我见到数学就头痛，或者说数学是最难学的一门功课。果真数学是这样难学可怕吗？实际上并不是这样。如果说学习数学很苦很难，那么学习别的课程何尝不苦何尝不难？学英语要记单词和语法，语文要学作文，史地要记人名、地名、年代等等，甚至音乐画画都得记五线谱，学写生。严格来说，任何一门学问或艺术，在学习过程中都得经过一番刻骨的训练，而各种课程的学习，也各有其特殊困难之点。不过这些困难都不是不可超越的绝对困难，这些只是相对的困难，是在发展过程中难以避免的困难。大家想必都有这种经验，经过了艰难的困苦，到后来自然会感到无上的乐趣，足以把学习时的努力与辛苦抵偿而有余。譬如把一个难题找到解答，或者把一条较为深刻的定理了解清楚，那时就感到有说不出的愉快。又如我们打破从算术到代数的难关，回过头来弄算术，就感到较以前容易得多。所以苦乐是相生的，难易是相成的，而苦后之乐，难中之易，却要超过原来的苦与难，这无论是在读书、做事都是如此，不独在学习数学才这样。

总结起来说，数学学习不是一件绝对困难的事，当然也不是绝对容易的事。数学正和我们所学的别的科目相仿，也并不比别的科目特别困难，只是各科有各科的特殊困难点就是了。学习就像爬山一样，我们向山上爬去，自然是很费力的，但越爬得高越能看到前所未有的美景，我们自会觉得心旷神怡。但如果我们只是站着不动而空想向上飞腾，这当然绝对不可能的。劳而后获这条规律，无论在哪里都适用。

2.2所谓“天生不近数学”

有人说，“我很知道数学并不是绝对地难学，因为别的人能够学的很好，可这在我这却又是另一回事，我天生学不会数学啊。”固然各人都有特长和所短，智力的发展在一切方面并不一致，这我们是承认的，可是某个人的天性对于某件事到底近不近却不是一下子就可以决定的。一般说起来，对于数学有很好的天资的人固然很少，但反过来说，对于数学学习能力极低的人也占很少数。多以主要是后天的问题，先天的问题只对于极少数一部分人才值得注意。许多自以为对数学天性不近的人，实际上十有七八是被自己欺骗了，他们有的是因为在开始就得到坏的印象，从而失去兴趣，不努力去学;有的是因为学习方法不当，如学几何只是拼命背定理，学代数只是带公式或硬记书上的方法，虽努力而难有效果;有的是因为在学习的过渡阶段没有转换好，或跳过必要的阶段，如从算术到代数，从代数到几何的转换过程中没有弄清楚各部分的特征或特殊方法，或者学习三角而跳过几何，这样就难于继续学习去。因为这些原因以及其他的原因就感到失望和灰心，但又不明了原因所在，或者知道了原因而不能克服，于是只得一半自慰一半自嘲地说，“我天生不近数学”，其实这种态度也就是自暴自弃的态度。即便是真的天生不近数学，对数学学习能力很低的人，对于数学也绝对不应该完全放弃。让我们举个例子，是否有人天性不近于说话？是否有人天生不近于写文章？有的，有些口才拙，文思差的人就是，可是没有口才的人虽然虽不能成为演说家，欠缺文思的人虽不能成为文人，他们无论如何总得会日常用语，以及书信，写便条。他们虽然不近天性，但必须努力学习起来，达到社会所需最低限度的水准以上。同样对于天生学不会数学的人也一样，我们并不是要求大家都成为数学家，正如并不是要求大家都成为演说家或文人一样，这让一部分特殊的人去做好了，但我们每个人必须具备最低限度的数学知识及技能。随便说几样，我们必须会计算加减乘除，会比例及简单的方程式，会计算简易的面积、体积，会了解并运用简易的表格及图解等等。这是社会所要求每个人特别是受教育的人中，知识条件的一部分。

2.3不要见了数字就害怕

为什么有些人会害怕数字呢？主要是因为他们对数字不习惯，并对这没有兴趣。他们对于数字抱有错误的概念，认为数字是干枯的、死板的、抽象的东西。他们不知道数字和文字一样，可以是死的，呆的，但也可以是活的，有意义的。一篇文章里如果只有“人生于世”、“今天”、“明天”之类的语言，自然谁见了都会头痛;做算术习题如果只做“3+5=8”，也使人久久生厌。可是我们如果提到“2018年调研研究显示，我国中小学儿童青少年总体近视患病率已高达53.6﹪”，这个53.6﹪就不是空洞的数字，而是极有意义的，足以使人警惕。我们学习数学的目的，不是玩弄抽象的数量，在数字里面翻筋斗，而是使我们数量的关系及运算，能够把这些应用于实际方面。虽然我们在数学里常常遇到抽象的数字，但这些只是供演习用，等我们演习的相当熟练，就应该把数字和实际的事物联系起来，同时也就是把数学与生活打成一片。这样我们不但不害怕数字，反而更喜欢数字，数字也就变得有意义。

3.体现数学各分科的相互联系

数学是最有系统最为严密的学问，虽然在数学中分成各部门，可是这些部门并不是支离割裂各不相关的，而是相互关联，互相连带，称为统一整体的。

我们知道，代数是普遍化的算术，而三角是几何的一個特殊部门，所以代数与算术，几何与三角，在相互间有着密切关系，所以的算术问题都可以用代数的方法来做，而有些代数题也可用于算术的方法，全部三角在其根本上必须用几何来作为证明，而有些几何题用三角函数来解却更为简便。至于代数与几何，虽然是一个研究数量，一个研究图形，表面上看来似乎是各不相关的，但数量与图形在数学中却是两种相对应的元素，可以互相表示。这在解析几何及其他的高等数学有详细的探讨，比如我们学习的解析几何，就是用解析的方法来研究几何的图形。

在初等数学里，我们也有好多地方讲到图形与数量的关系。比如 这公式，就可以用一大一小两个正方和相等两个长方形合在一起组成一个更大的正方形来表示，如图：

大正方形的面积等于两个小正方形的面积加上两个长方形的面积，平方和公式也就一目了然。

我们既然了解数学各部门的联系性，就应该活学活用，在研究某一部门的时候，最好能用别的部门作为参照，在使用某种方法解答问题以后，最好能用别的方法再做一次，这不仅有趣，而且对于学习数学是非常有益的。

五、结束语

由于数学本身的严谨性，抽像性和广泛性等特点，学起来确实不那么容易，这就需要一代代数学家和数学教育者潜心研究和掌握正确的教育思想方法，帮助学生习得有效的学习方法，并对数学知识应用于实际。