广义BBM-KdV 方程的两种孤波解及其守恒律

王 希，傅 浈，胡劲松

（西华大学理学院，四川 成都 610039）

非线性发展方程是众多偏微分方程中一类重要的方程，可利用非线性发展方程刻画许多不同类型的物理模型，包括原子物理、等离子物理、固态物理、可压缩材料物理、光纤、流体力学、弹性介质、统计算法、生物学、地球化学等中观察到的波现象[1-14]。寻找非线性发展方程的显示解析解是众多数学家、物理学家们长期以来一直重点关注的一个问题，并在许多自然科学和工程领域中有着广泛的应用。目前，求某些非线性发展方程的精确（行波）解一般都是将方程改写成多变量或特殊函数的多项式形式，从而化简为一个更简单的方程再求解，如双曲函数展开法、Backlund 变换法、Jacobi 椭圆函数展开法、分离变量法、Sine-Cosine展开法、He’s 变分原理、Lie 对称方法等[12-18]。

本文讨论如下一类广义BBM-KdV 方程

（k，λ，γ，θ均为常数，n≥2是正整数）的孤波解。特别地，当n=2时，方程（1）即为通常的BBM-KdV方程。

当θ=0时，方程（1）即为广义Benjamin-Bona-Mahoney（BBM）方程，也被称为正则长波（RLW）方程：

当λ=0时，方程（1）即为著名的Korteweg de Vries（KdV）方程[3,14]：

BBM 方程（2）和KdV 方程（3）都是弱非线性色散介质中长波单向传播的重要模型，它们都有稳定的孤波解。BBM-KdV 方程是BBM 方程和KdV 方程的推广形式，文献[19]对广义BBM-KdV方程（1）给出了两个物理守恒量，但并未给出严格的理论证明。本文将首先给出广义BBM-KdV 方程（1）两个物理守恒量的理论证明，然后用ansätze 方法[20-21]，分别给出其双曲正割形式孤波解和双曲余割形式孤波解。

1 方程（1）的守恒量

由于广义BBM-KdV 方程（1）的物理边界满足：

于是关于广义BBM-KdV 方程（1）的守恒性质有如下结论：

定理1广义BBM-KdV 方程（1）具有如下两个物理守恒量（t＞0）：

证明：由方程（1）得

于是，有

结合边界条件（4）分别有：

2 方程（1）的双曲正割孤波解

定理2方程（1）有如下形式的孤波解：

这里a、c、A是常数，且满足：

证明：对广义BBM-KdV 方程（1）考虑双曲正割-ansätze 方法，假设方程（1）的孤波解为：

其中，A，a，c为待定常数；为方便后面的讨论，简记

将式（15）—式（19）代入方程（1），得

令pn=p+2，则

将式（21）代入式（22）、式（23），即有式（12）、式（13），从而得到广义BBM-KdV 方程（1）的双曲正割孤波解为（11）。

3 方程（1）的双曲余割孤波解

定理3方程（1）有如下形式的孤波解：

这里a、c、A是常数，且满足：

证明：对广义BBM-KdV 方程（1）考虑双曲余割-ansätze 方法，假设方程（1）的孤波解为：

其中，A、a、c为待定常数。则有

将式（27）—式（31）代入方程（1），得

令pn=p+2，则

将式（33）式代入式（34）、式（35），即有式（25）、式（26），从而得到广义BBM-KdV 方程（1）的双曲余割孤波解为（24）。

4 结束语

本文用最有效最直接的ansätze 方法构造了广义BBM-KdV 方程（1）的两种不同形式的孤波解，从定理2 和定理3 可以看出，只需要给定一个常数a，就可以确定常数c和A，从而到广义BBM-KdV 方程（1）的双曲正割形式孤波解（11）或双曲余割形式孤波解（24）。同时也进一步验证广义BBMKdV 方程（1）所满足的物理边界条件（4）。