高速飞行器编队队形快速成形设计方法

陆浩然 邱 薇 孙海亮 郑 伟

1.国防科技大学，长沙 410073 2.北京宇航系统工程研究所，北京 100076 3.火箭军研究院，北京 100089

0 引言

高速飞行器具有速度快、升阻比大、航程远、机动性强等特点，已成为各种空间力量发展的重点方向。与单个飞行器相比，高速飞行器编队在协同感知、博弈对抗、多维运用等方面具有更为广阔的应用前景，因此研究其编队控制问题具有重要意义。

针对多飞行器编队控制问题，国内外学者开展了大量的研究，主要方法有PID控制、最优控制、高斯伪谱、滑模控制等。韦常柱等[1]建立了导弹的相对运动模型，将领弹的运动状态视为输入扰动，采用线性二次(LQR)最优控制理论设计了导弹编队飞行保持控制器。张磊等[2]采用仿射非线性系统最优控制理论，设计了基于领弹-从弹法的多导弹编队控制器，使之能够在领弹机动地情况下快速、稳定地实现编队队形的形成和保持。Wen等[3]基于最小化队形代价得到了一种队形冲突预报和协调的算法，并通过仿真分析证明了其有效性。Wang等[4]考虑多种约束的编队队形最优轨迹，利用跟踪算法实现了在多种扰动条件下的队形形成与稳定控制。李文等[5]面向多导弹协同饱和攻击同一目标需求，设计了综合考虑脱靶量、攻击时间、攻击角度和视场角限制的三维协同制导律。但是，上述研究对象是弹道式或巡航式导弹，其气动力常被忽略或简化为常值，与实际偏差较大，而对于高速飞行器而言，先后经历宽速域、大空域的复杂飞行环境，高动态气动特性是必须重点考虑的因素。

近年来，伪谱法(Pseudospectral Method, PM)引起了学者们的广泛关注，在航空航天飞行器轨迹优化领域得到深入研究。王芳等[6]基于高斯伪谱法，提出编队形成-保持-攻击一体化的时间最优控制算法，实现了导弹编队协同攻击全过程快速控制。姚寅伟等[7]提出了一种基于“初值轨迹生成+Gauss伪谱法+SQP求解NLP”的高超声速飞行器多维再入轨迹优化方法，既利用了Gauss伪谱法收敛快#精度高的特点，又结合初值轨迹生成算法，弥补了Gauss伪谱法对初值敏感的不足。雷虎民等[8]提出一种自适应更新的伪谱法，以较小的网格规模获得较高的精度，并成功应用于最优控制问题。

本文针对高速飞行器编队控制问题，设计了一种基于伪谱法的编队成形队形自适应优化方法。该方法通过分析高速飞行器的运动状态，利用最低能量原则和最小偏转角度对编队队形成形的位置进行设计，避免了初始状态与期望队形偏差过大时问题无解的情况；同时设计出期望的队形成形状态，将原编队控制问题转化为轨迹设计问题，采用Radau伪谱法对轨迹设计问题进行求解；通过数值仿真验证了该编队设计方法的有效性，结果表明高速飞行器能在一定范围内的初始状态下形成稳定的空间构型。

1 动力学方程及约束

在地心坐标系下，高速飞行器运动方程为：

(1)

式中：r为地心距，是飞行器质心到地心的距离；λ和φ分别为飞行器所在位置的地心经度、地心纬度；V为飞行器相对地球的速度大小；γ为速度倾角，是速度矢量与当地水平面的夹角；ψ为速度方位角，是速度矢量与正北方向的夹角，顺时针为正；σ为倾侧角，是速度系与航迹系绕速度轴旋转的角度，以逆时针为正；D和L分别为阻力加速度、升力加速度。

实际上，阻力、升力满足以下关系式：

(L,D)=f(α,β,v,h)

(2)

式中：α为攻角，β为侧滑角，h为飞行高度，均与飞行器当前运动状态有关。需要说明的是，在仿真过程中，上述函数是通过对标准气动参数插值得到的。

高速飞行器在大气层内机动飞行时，除了需要满足高度、速度等终端约束外，还必须满足热流、动压、过载等过程约束条件。

1)热流约束

高速飞行器在大气层内飞行时，与来流发生剧烈碰撞和摩擦，导致了严重的气动加热问题。在理论研究中，一般选择驻点热流密度来表征气动加热的严重程度，如式(3)所示：

(3)

为避免驻点处热流密度超出约束，应满足：

(4)

2)过载约束

高速飞行器在大气层内飞行时，为避免出现结构性破坏，需对气动过载加以约束，如式(5)所示：

(5)

式中：n为气动过载，nmax为飞行器能承受的最大气动过载，g0为地球引力加速度。

3)动压约束

动压是飞行器最重要的特征量之一，其极限值主要取决于热防护材料强度和气动控制铰链力矩。动压必须限制在一定范围内，以确保表面绝热材料结构不受破坏，不超过对应于控制气动操作面所要求的最大铰链力矩允许动压。

动压约束q的表达式为：

(6)

式中：qmax为约束的最大动压。

2 编队队形快速成形实现方法

高速飞行器在编队飞行过程中，期望队形根据任务要求设计，当编队开始时刻飞行器位置相对于期望队形存在较大偏差时，如果对编队成形队形直接赋值，将会在初始状态和气动力约束下出现无解现象。针对该问题，本节分析编队控制过程中飞行器机械能的变化，并以此为原则设计编队成形时的队形位置和过渡时间，确保从初始状态到终端期望队形存在可行解。

2.1 问题转化

高速飞行器在大气层内飞行时，主要受地球引力和气动力作用，升力控制速度方向，阻力改变速度大小，动能转化为热能散掉，整个飞行过程中的机械能逐渐降低。因此，对于多飞行器编队控制，将以最低能量飞行器作为参考，设计编队成形状态。

为确定编队形成时的飞行器与初始时刻飞行器的对应关系，设计一种以最小偏转角度为原则的飞行器标号识别方法。假定飞行器k的速度和速度倾角不变，经过一段时间Δt后到达一虚拟位置，计算该虚拟位置与起点连线的虚拟方位角ψ1k。对于一种确定的终端编队飞行状态，存在n!种不同队形和对应关系的排列，分别计算该位置相对于起点的方位角ψk，并计算方位角偏转角度绝对值|ψ1k-ψk|的总和。通过优化方法寻找最小方位偏转角度的编队队形，从而确定初始时刻与编队形成时刻飞行器的对应关系。

设计的队形确定方案如下所示：

a)计算初始时刻各飞行器的机械能，找出能量最低飞行器，并按照机械能大小由低到高依次排列

i={i∈(1,2,…,n)|Ei=min(E1,E2,…,En)}

(7)

b)对机械能最低的飞行器，利用伪谱法优化T时间内的运动轨迹和终端状态，使下式所示的指标J最优，其中T是选择的编队成形时间

(8)

c)若以机械能最低的飞行器T时刻状态为参照，对于最终期望的编队队形，可以得到n种不同的编队成形队形，以及n!种“成形时刻—初始时刻”飞行器的一一对应状态，利用下式求解不同情况下的方位角偏转角度

(9)

d)寻找方位角偏转角度最小的情形，确定飞行器间的对应关系

j={j∈(1,2,…,n!)|Ei=min(A1,A2,…,An!}

(10)

至此，确定了初始时刻飞行器的编号和状态以及编队成形时刻飞行器的编号和状态，编队成形过渡时间由T确定，将原编队成形问题转化为轨迹优化问题。

2.2 轨迹设计

本文采用Radau伪谱法，求解各飞行器满足动压、热流、过载、终端状态等约束的飞行轨迹，实现由散乱的初始状态形成期望的编队队形。

在伪谱法中，取新的自变量τ∈[-1,+1]对时间做单位化，将间隔τ∈[-1,+1]划分为由K个网格间隔[Tk-1,Tk]，k=1,…,K组成的网格，其中(T0,T1,…,TK)是网格点。

在每一个k∈[1,…,K]间隔内部，状态量使用N+1次拉格朗日多项式逼近：

(11)

对状态作微分可以得到：

(12)

目标函数为：

(13)

动力学方程为：

(14)

式中，i=1,…,Nk；Ui是控制量的近似，控制量由N+1阶多项式逼近，D(微分形式)表示如下：

(15)

式中：i=1,…,Nk，j=1,…,Nk+1，k=1,…,K。

路径约束为：

(16)

式中：i=1,…,Nk。

积分约束为：

(17)

式中：i=1,…,Nk，j=1,…,nq。

通过上述处理将原连续问题离散逼近，进一步求得关于离散优化问题的梯度、雅可比矩阵等信息，通过调用IPOPT、SNOPT等二阶或一阶求解器解决上述离散系统非线性优化问题。

3 仿真分析

不失一般性，以3个高速飞行器编队初始控制为例验证本文所提出算法的有效性，飞行器初始状态如表1所示。

表1 高速飞行器初始运动状态

其中，假设3个飞行器的气动参数相同，其质量、参考面积、升阻力系数参照CAV-H。3个飞行器位于同一高度上，且编队时的纬度相同，沿不同经度成一字形排列，相邻两个飞行器间的距离为10km。

令最低能量飞行器伪谱法求解的飞行时间T=30s，控制量为攻角、倾侧角，设置范围为0～30°，±90°，攻角和倾侧角变化率范围为±10(°)/s和±40(°)/s，采用GPOPS进行离散化处理，路径约束包括过载、热流、动压约束，范围分别为0～10g、0～104kW/m2、0～100kPa，相对求解精度设置为1e-4，并调用IPOPT求解器求解如上非线性规划问题，仿真结果如图1所示。

图1 飞行器状态变化历程图

图1给出了3个飞行器状态变化历程，其中实线代表最低能量飞行器，点划线为中间能量飞行器，虚线为最高能量飞行器。由结果可知，在高度上三者的变化相对较为平缓，其中点划线所对应飞行器平滑过渡到实线的高度上，而虚线则相对而言有一个跃起的过程。在经纬度平面上，虚线相对实线有聚拢的趋向，点划线则相对实线有一定的偏离。最终三者能够形成期望的队形，其三维图像如图1(c)所示，三角表示编队成形时的位置。在图1(d)中，可以明显地看到虚线所对应的飞行器在轨迹末段有较大的机动减速过程，而点划线所对应飞行器速度的变化集中于过渡前段，这与高度的变化规律是一致的。

攻角、倾侧角变化历程如图2所示。由图2(a)可知，点划线对应飞行器的大攻角集中于轨迹前段，虚线对应飞行器集中于轨迹后段，与上述关于机动的分析一致。由图2(a)，可以看到在前20s范围内，虚线与点划线的变化基本上相反。根据初始时刻对应飞行器的相对位置可以给出解释，即虚线对应飞行器过于远离最低能量飞行器，而点划线飞行器则过于靠近，因此形成了2种不同的倾侧角变化方式。

图2 攻角和倾侧角变化历程图

表2给出了飞行过程中过载、动压、热流约束的最大值。由计算结果可知，过载、动压、热流均满足过程约束要求，其中动压、热流密度相对较小，而最大过载相则对较大，在7.09g左右，结合图2可知，是由于虚线对应的飞行器在轨迹末段机动所致。

表2 飞行过程约束最大值

在飞行器不同初始状态下，对本文所提方法的鲁棒性进行验证，认为初始时刻飞行器位置、速度在基本初始状态下有如表3所示的偏差分布。

表3 初始运动状态偏差分布

在飞行器不同初始状态下，对本文所提方法的鲁棒性进行验证，认为初始时刻飞行器位置、速度在基本初始状态下有如表3所示的偏差分布。同时，为更好的表现仿真打靶结果，定义多个飞行器系统的队形偏差为：

(18)

式中：Hi0，λi0和φi0是由当前时刻最低能量飞行器和理想队形为基准确定的其他飞行器的期望高度、经度、纬度，Hi，λi和φi为第i个飞行器的高度、经度和纬度。在达到期望队形后，上述系统高度偏差ΔH、经度偏差Δλ和纬度偏差Δφ应当收敛为0。

100组仿真打靶结果如图3所示。

图3 打靶仿真结果

可以看到，对于给定初始状态偏差条件下的3个飞行器，经过上述方法后均可形成最终的稳定队形。图3(a)中所有曲线均在30s处收敛于0，即满足最终队形的同一高度要求。图3(b)中，偏差同样在30s处收敛于0，满足稳定状态下的经度要求。在图3(c)中，可以看到绝大部分曲线呈缓慢下降趋势，在30s处收敛于0，极少部分曲线其偏差变化集中于最后5s以内，但总体而言均同样满足稳定状态下的纬度要求。

4 结论

研究了一种考虑多种路径约束的高速飞行器编队队形快速成形设计方法，利用最低能量原则和最小偏转角度原则确定了编队形成时期望编队队形的位置和“成形时刻—初始时刻”飞行器的一一对应关系，避免了初始状态与期望队形偏差过大时问题无解的情况，从而将编队成形问题转化为轨迹设计问题，并基于伪谱法对多飞行器轨迹设计问题进行求解。仿真验证了该编队控制方法的有效性，结果表明多个高速飞行器最终能够形成期望的稳定队形，打靶结果表明该方法具有一定的鲁棒性，能够适应一定范围内的初始状态。