考虑时间约束的多飞行器轨迹优化方法研究

杨卓乔 吕春红

1.北京航天自动控制研究所，北京 100854 2.宇航智能控制技术国家级重点研究室，北京 100854

0 引言

随着飞行器所要承担和执行的任务越来越具体，面对的场景越来越复杂，多枚飞行器同时实现同一任务目标的需求越来越受到各方的关注。而从同一发射场对多枚飞行器进行集群发射，不仅有着易于维护和管理的优势，也可以更好地在恶劣的环境下实现任务目标。

对于集群发射的飞行器，发射时间是一项非常关键的因素，为了提升任务效果，通常要求发射持续时间或者到达目标的间隔时间尽量短，同时在设计发射时间的时候又存在着发射时间段约束，发射安全时间间隔约束[1]等众多约束。为了更好地满足这些条件，提升集群发射的效果，则需要对飞行器的飞行时间在发射前预先进行规划。这本质上是一个飞行器轨迹的设计与优化问题。

轨迹优化是指在特定的约束条件下，寻找飞行器从初始点到目标点满足某种性能指标最优的运动轨迹。在实际工程中一般将轨迹优化问题转化为参数优化，利用非线性规划的方法进行解算。文献[2]采用改进遗传算法，提出了一种落点散布最小的优化飞行程序方法。文献[3]通过构建基于径向基函数的神经网络来模拟弹道模型，优化了导弹的最大射程。文献[4]利用改进的Gauss伪谱法，解决了有绕飞区域的再入轨迹优化问题。文献[5]采用序列二次规划方法，进行了最大运载能力的弹道优化。文献[6]采用序列凸优化的方法，提升了飞行器的机动绕飞能力。

目前虽然轨迹优化的方法已经有许多比较成熟的方法，但国内外鲜有以飞行器飞行总时间为目标进行优化的研究。本文以存在发射安全时间间隔的同一发射场进行集群发射的多枚飞行器为背景，采用序列二次规划法(SQP)，以飞行器飞行总时长为目标来进行飞行器轨迹的设计与优化，得到满足安全时间间隔和最短到达时间间隔的多飞行器轨迹优化方案。

1 飞行器主动段模型

飞行器的主动段为飞行器的有动力飞行，即发动机连续工作的时间段。飞行器主动段终点参数一旦确定，飞行器的轨迹基本就可以固定，所以飞行器的轨迹优化主要是设计主动段程序角。

1.1 飞行动力学模型

考虑地球为旋转椭球，采用标准大气模型，作用于飞行器上的力主要包括发动机推力、重力和气动力。在发射惯性系内建立飞行器质心运动方程[7]。

(1)

其中视加速度按式(2)计算：

(2)

1.2 主动段程序角设计模型

飞行器轨迹设计就是对主动段的标准程序角进行设计，在满足约束条件的情况下实现设计的目标。一般情况下，在轨迹规划时可以不考虑飞行器侧向的偏航与滚转程序，即令这两个角为0，大部分研究都集中在主动段俯仰程序角的设计上。

考虑将飞行程序分为大气层内飞行段与真空飞行段，大气层内飞行段又可以分为垂直上升段，亚音速转弯段和弹道转弯段[8]。

俯仰程序角的模型可以总结为：

(3)

式中：θ(t)为轨道倾角，而α(t)为程序转弯攻角，φcx0为t3时刻俯仰程序角的值。其模型可取为：

α(t)=4αmea(t1-t)(ea(t1-1)-1)

(4)

该经验公式中：αm为该段攻角绝对值的最大值，a为常系数，其值大小影响攻角趋向于0的速度。

由于亚音速转弯段的结束时间和真空飞行段的开始时间是确定的，可以得出，俯仰角由以下参数决定：

(5)

2 主动段轨迹优化模型

本文旨在研究，通过主动段轨迹优化，满足给定固定射程的同时，使飞行器总的飞行时间与目标时间相差最小。同时满足飞行轨迹的过程及终端约束条件。根据问题建立飞行器主动段轨迹优化模型。

2.1 性能指标

本文研究的主要优化目标包含射程和飞行时间2个方面，需要同时满足射程和时间的要求，是一个多目标优化的问题，这2个分目标的函数分别为[9]：

(6)

式中：J1表示飞行器的实际飞行总时间相对目标时间的偏差绝对值最小；J2表示飞行器的实际射程相对目标射程偏差绝对值最小。

引入“权系数”，a1,a2对其进行调整，可以将多目标优化问题转化成单目标优化问题进行分析，获得唯一的一个优化性能指标，如式(7)所示。

(7)

2.2 优化参数约束

由于飞行器结构约束和飞行轨迹约束等要求，在优化参数的同时需要对过程参数进行限制，具体如下：

3)为了给飞行器后续有足够的时间进行轨迹修正，要求真空飞行段时间:0s≤t4-t3≤25s；

4)攻角约束：αmin≤α≤αmax；

2.3 优化变量

(8)

3 序列二次规划算法(SQP)求解方法

本文将飞行器的主动段优化设计转化为参数优化问题，设置主动段程序角特征参数作为优化变量，并通过非线性规划的理论与方法求解。目前对于这类非线性规划问题的求解方法已经发展的非常成熟，例如单纯形法、共轭梯度法、拟牛顿法以及SQP算法都是有效的工具。SQP算法包含了所求解问题的二阶导数信息，所以在拥有全局收敛性的同时，在局部可以实现超1次的收敛性，是目前求解光滑的非线性规划问题所广泛使用的算法之一[10-11]。

其基本原理就是在给定的近似点处通过二次近似逐渐得到一个更好的迭代点，这需要通过求解二次规划子问题得到。在当前迭代点处进行一系列二次规划子问题的求解，使得迭代点逐渐接近原优化问题的最优点，最后收敛至最优解，令我们所要解决的飞行器轨迹非线性规划问题为P，其简要计算步骤如下[12]：

2)求解二次规划子问题的表达式：

(9)

4)一维搜索：转化为一维最优化问题minP(xk+λdk,r)，求出最优步长λ(k)，令x(k+1)=x(k)+λd(k)

5)更新矩阵H(k)：用BFGS公式更新矩阵H(k)确定新的正定对称矩阵H(k+1)，令k=k+1返回第2步。

根据上一节建立的飞行器轨迹优化模型，采用SQP算法，对其进行优化设计和仿真，其计算流程如图1所示。

图1 SQP算法轨迹优化流程图

4 基于RBF神经网络的模型计算

在飞行器轨迹的设计和上一章的优化中，需要多次对飞行器动力学模型积分求解，得到飞行器轨迹。采用传统龙格库塔等数值积分方法，计算量大，且1条轨迹的计算时间较长，为了提高计算效率，在优化参数前，先拟合轨迹模型。本文采用径向基函数(Radial Basis Function，RBF)方法对飞行器模型进行拟合。

径向基函数是用于多变量函数插值的一种传统方法。与其他类型的人工神经网络相比，RBF神经网络具有深厚的生理学基础，其简单的网络结构、快速的学习能力和优良的逼近性能，已在许多领域得到广泛应用[13]。

RBF神经网络是一种三层前向神经网络，输入层由一些感知单元组成，不对信号做任何处理，传递信号到隐层；隐层采用径向基函数作为激活函数，通常具有较多的神经元个数，完成从输入空间到隐层空间的非线性变换；输出层对隐层输出进行线性组合，从而对输入信号做出响应。RBF网络的一大显著特点是隐节点的基函数采用高斯函数、多二次函数、薄板样条函数等形式的距离函数。本文所选取的基函数为高斯函数，其形式如式(10)：

(10)

本文将RBF神经网络的输入层设置为飞行器轨迹积分模型的输入，输出则为射程和时间这2个重要的性能指标，所使用的RBF网络结构如图2所示，是具有2个输入，多个隐层神经元及2个输出的三层RBF神经网络结构。

图2 基于RBF神经网络的飞行器轨迹参数计算模型

根据图2构建的基于RBF神经网络的飞行器轨迹参数计算模型，进行适当的学习训练，即可代替图1中的“积分解算轨迹”模块，提升运算速度。

5 仿真校验

5.1 飞行器轨迹参数计算模型的拟合与校验

以某轴对称式飞行器为例，仿真验证本文的轨迹优化方法。首先根据式(1)～(2)以及飞行器模型参数，对飞行器轨迹积分模型进行建模。再通过SQP方法，仅以射程为目标，设计出1条性能较好的标准轨迹。依据此条标准轨迹所使用的参数，选择合适的区间进行RBF网络的设计。

从样本数据集中提取1900组数据作为训练样本，余下100组作为测试样本，用于检验神经网络计算精度。在对样本进行标准化处理后，选取合理的初始参数，确定目标误差，并对网络进行训练，最后用测试样本对径向基网络估算出的射程和飞行时间偏差进行检验，两者的检验结果如图3～4所示，射程的平均相对误差约为1.93*10-5%，时间的平均相对误差约为1.73*10-5%。所得精度符合要求，即将所得网络代入到后续的SQP优化流程之中。

图3 RBF神经网络测试样本射程相对偏差

图4 RBF神经网络测试样本飞行时间相对偏差

5.2 多飞行器轨迹优化

在考虑多枚同一发射场集群发射的多枚飞行器完成同一任务时，既要考虑发射时的安全时间间隔的要求，又要使到达时间间隔尽可能最短，这就需要我们对于同一发射点和目标点的飞行器设计多条不同的轨迹，并且令这些轨迹有着不同的飞行时间和相同的射程。

假设发射时的安全时间间隔为5s，那么第n枚发射的飞行器的飞行总时长就需要尽可能的比第1枚的减少5ns。根据5.1节，将仅以射程为目标所设计出的标准轨迹为第1枚飞行器所使用，总共对同一目标发射4枚飞行器。以每枚飞行器的时间和射程为优化目标，以上面得到的标准轨迹中的参数作为优化变量的初值，利用第2章所建立的优化模型，“权系数”a1,a2设置为1、1800，采用SQP方法进行优化，可以得到结果如表1。

表1中的优化结果1～3分别为第2枚至第4枚发射的飞行器所设计的飞行轨迹，表中给出了其飞行总时间和射程相对于标准轨迹的偏差。根据前文所设定的安全时间间隔飞行器将以5s的间隔发射，可以看出每枚飞行器的飞行时间的偏差都与其和第1枚飞行器的发射间隔相近，而射程的偏差不大，符合多飞行器同时到达的任务要求。如果多枚飞行器都采用传统设计方法设计轨迹的话，每枚飞行器的总用时是相同的，因为每枚发射之间有5s的间隔，假设各飞行器的结构、发动机、质量等参数相同，则在不进行轨迹优化的情况下，4枚飞行器到达目标点的最长时间间隔约为15s。而采用本文方法，针对第2～4枚飞行器轨迹进行优化，使得其与第1枚飞行器尽可能同时到达目标点。采用SQP方法进行优化后，通过仿真结果可以看出，4枚飞行器到达目标点的最大时间差约为0.182s左右，实现了同时到达目标点的需求，可以看出本文研究的方法可大幅提升飞行器的任务效果。

表1 多枚飞行器的优化结果

6 结论

考虑多枚飞行器集群发射的需求，采用了飞行总时间和射程作为优化目标，选取了飞行过程中易于调整、且有着关键作用的参数作为优化变量，建立了飞行器俯仰程序角的优化模型。采用RBF神经网络对飞行器轨迹参数计算模型进行拟合，利用SQP算法对多枚弹道进行了弹道的优化与仿真计算，同时保证了优化计算的效率与精度。

结果表明，该方法在保证了同一发射场部署的多枚飞行器发射的安全性的同时，大幅降低了其到达任务目标点的时间间隔，保证了多枚飞行器在时间和空间上的一致性，对于集群发射的飞行器共同执行同一任务有着较大的意义。