民办营利养老服务机构财政补偿机制的演化博弈

孙永河，王麒翔，曾 鹤

(1. 昆明理工大学 管理与经济学院，昆明 650093； 2. 南京航空航天大学 经济与管理学院，南京 211106)

0 引 言

第七次全国人口普查数据显示，我国60岁及以上老年人口为2.6亿人，占总人口比重达到18.7%，其中65岁及以上人口比重达到13.5%.2017年新增老年人口首次超过1 000万.从1999年进入人口老龄化社会到2018年的19年间，我国老年人口净增1.18亿，是目前世界上唯一一个老年人口超过2亿的国家[1]. 随着我国的老龄人口比重逐年增加，人口老龄化程度不断加深，有效解决人口老龄化所带来的养老服务有效供给不足问题已成为社会关切的一项重大民生工程.由于老年人多样化、多层次的养老服务需求日益旺盛，对晚年生活的质量要求不断提高，因此相对于具有“兜底”保障功能的公办和民办非营利养老服务机构，民办营利养老服务机构逐渐成为养老服务业的重要组成部分.近年来，党中央为有效推进民办营利养老服务机构的发展出台了一系列政策措施.2016年12月，国务院办公厅印发《关于全面放开养老服务市场提升养老服务质量的若干意见》，明确提出要切实完善财政支持和投融资政策，确保民办营利养老服务机构的健康有序发展；2019年4月，国办又印发《关于推进养老服务发展的意见》，围绕养老服务体系重申各种具体举措，包括减轻养老服务机构税费负担、提升政府投入精准化水平、支持民办养老服务机构规模化、连锁化发展等.然而由于民办养老服务机构社会资本的性质，融资难度大，资金短缺问题已成常态[1].尽管中央出台了一系列政策措施扶持民办营利养老服务机构的发展，但当前财政补贴对民办营利养老服务机构的激励效果仍不明显，这种状况也导致大部分民办营利养老服务机构入住率低、盈利困难，生存状况堪忧[2].因此，系统探索民办营利养老服务机构的财政补偿机制具有重要的理论价值和现实意义.

目前，有关民办营利养老服务机构的研究主要集中在发展困境方面，具体包括市场定位不明确[3-4]、政策落实不到位[5-6]、协同发展能力不足[7]等.认识到上述问题，康华等[8]认为应加快公办养老服务机构改革，避免其双轨运行，挤占民办养老服务机构的生存空间.郁建兴等[9]、王立剑等[10]通过案例分析表明政府应加快制度建设和相关的法律法规建设进程，以保证财政政策落到实处.Eggink等[11]、Piggott等[12]认为政府与机构或个人应拓展合作方式、拓宽合作领域，提升养老服务供给的有效性.戴卫东[13]认为政府对营利和非营利养老机构应一视同仁，不能区别对待，促进各类养老服务机构共同发展.

随着研究的深入，部分学者也开始探索解决民办营利养老服务机构财政补偿机制不完善的问题.比如，Kulm等[14]通过对不同情形下的博弈分析，定量计算出政府的最优税收额与民办营利养老服务机构的最优服务质量.Schaal等[15]、柳光强[16]、李芳[17]指出政府应综合运用各种财政补贴方式，具体包括直接出资或资助建立养老机构、建设和运营成本补贴、由补供方向补需方转变等.孙文基等[18]指出政府应通过做好规划、整合资源、加强绩效考核等方式，提高民办营利养老服务机构的财政资金使用效益.另外，也有学者通过构建数学模型定量分析政府的财政补偿机制.于凌云[19]在考虑政府财政预算、补贴方式的基础上构建了政府财政补贴模型.岳向华、林毓铭[20]通过构建演化博弈模型，建立了促使民办营利养老服务机构高质发展的财政监管机制.

综上所述可知，已有研究虽已基本厘清了民办营利养老服务机构发展过程中所面临的困境，但对于民办营利养老服务机构财政补偿机制问题，仍存在以下几点不足.第一，研究主体单一.大多数研究以政府为主体，集中考虑政府的财政补贴方式、成本、效益及对象，忽视了民办营利养老服务机构财政补偿机制的多主体性(即存在地方政府、民办营利养老服务机构以及消费者)；第二，当前对于民办营利养老服务机构财政补偿机制的研究大多停留在定性层面上，主观性较强，系统性、实践性较差，鲜有学者通过构建数学模型对此问题进行科学定量分析.需要强调指出，虽也有学者通过构建数学模型来分析财政补偿机制的内在机理，但其变量的设定与实际情况有所出入，模型的合理性与科学性有待进一步验证.

针对上述不足，本文运用演化博弈的相关理论，在充分考虑各主体成本和收益、财政补贴额度、罚金等变量的基础上，构建地方政府相关职能部门、民办营利养老服务机构和消费者三主体的财政补偿机制动态演化博弈模型，并在此基础上进行数值模拟和仿真分析.

1 民办营利养老服务机构财政补偿机制的三方演化博弈模型构建

1.1 博弈主体分析

由于民办营利养老服务机构财政补偿机制的合理构建需要地方政府相关职能部门、民办营利养老服务机构和消费者的共同参与，因此，下文以这三类主体为研究对象，系统分析其演化博弈机理，显然这三类主体在财政补偿系统中是有限理性且具有学习和随环境的动态变化调整并优化自身策略的能力.其中，地方政府相关职能部门具有提供社会养老服务的责任和义务，同时是民办营利养老服务机构发展的倡导者、支持者和监督者，与财政补偿机制直接或间接相关的政府部门主要包括民政、财政、国土、建设、立法、物价等部门.在本文的演化博弈中，地方政府相关职能部门的策略包括推进与不推进.民办营利养老服务机构指的是社会力量举办的具有营利性质的养老服务机构，且本文中的民办营利养老服务机构群体均符合政府规定的接受补偿标准si(i=1,2,3，…).民办营利养老服务机构是养老服务重要的供给源，直接为消费者提供养老服务，在演化博弈中其策略包括积极合作与消极合作.消费者是养老服务产品的购买者，在演化博弈中其策略包括参与和不参与.三者的关系如图1所示.地方政府相关职能部门作为管理者，会对民办营利养老服务机构给予政策支持和财政补贴，这种行为同时可以增强消费者对民办营利养老服务机构的信任，促进老年消费者入住民办营利养老服务机构.民办营利养老服务机构作为供给者向老年消费者提供养老服务，同时会帮助地方政府减轻社会养老服务压力和提高社会福利水平.消费者向民办营利养老服务机构购买养老服务和产品，同时会向地方政府相关职能部门反馈消费信息.

图1 博弈主体关系图Fig.1 Game subject relationship diagram

1.2 基本假设与变量设定

假设1民办营利养老服务机构在选择积极合作策略时，会在原有固定投资成本的基础上通过强化软硬件设施标准、增加专业护理人员数量等措施来提升机构的服务质量和服务水平，以期能为消费者提供多类型多层次养老服务的同时，减轻地方政府的财政和社会养老压力，净收益记为PE1.此时，消费者若选择参与策略，则记民办营利养老服务机构的额外投资成本为CE1；若消费者选择不参与策略，则记额外投资成本为CE2.由于消费者的参与可以使民办营利养老服务机构床位空置率下降，进而降低其单位运营成本，因此CE1

假设2民办营利养老服务机构积极合作为地方政府相关职能部门带来社会福利增益PG1，消极合作时地方政府相关职能部门需承担社会福利损失PG2.地方政府相关职能部门为激励民办营利养老服务机构提升服务质量和服务水平，会对采取积极合作策略的民办营利养老服务机构给予财政补贴，补贴额度记为S.同时，地方政府相关职能部门会对民办营利养老服务机构的行为进行严格的监管(部分机构会利用政策支持骗取财政补贴，服务质量和服务水平仍停留在原有基础上)，严查骗补行为，付出监管成本CG.另外，地方政府相关职能部门会对消极合作的民办营利养老服务机构进行惩罚，罚金记为T.

假设3地方政府相关职能部门选择推进策略，而民办营利养老服务机构选择消极合作策略，那么地方政府相关职能部门投入的成本将成为沉没成本，民办营利养老服务机构仍可以获得收益PE2.同理，民办营利养老服务机构选择积极合作策略，而地方政府相关职能部门选择不推进策略，那么民办营利养老服务机构投入的成本将成为沉没成本，地方政府相关职能部门仍可以获得社会福利增益PG1.

1.3 支付矩阵的构建

假设地方政府相关职能部门选择推进策略的概率为x，那么(1-x)为其选择不推进策略的概率；民办营利养老服务机构选择积极合作策略的概率为y，那么(1-y)为其选择消极合作策略的概率；消费者选择参与的概率为z，那么(1-z)为其选择不参与的概率.基于上文假设，在各主体不同的策略选择下，地方政府相关职能部门、民办营利养老服务机构和消费者三方主体的支付矩阵如表1、表2所示.其中，BG表示地方政府相关职能部门的收益，BI表示民办营利养老服务机构的收益，BC表示消费者的收益.

表1 消费者参与(z)下三方演化博弈支付矩阵

表2 消费者不参与(1-z)下三方演化博弈支付矩阵

1.4 动态复制方程的计算

通过上文1.2部分对地方政府相关职能部门、民办营利养老服务机构和消费者三方博弈群体的分析和假设，用动态复制的思想对三者的行为策略进行描述较为合适[21-24].因此，根据动态方程原理[25-28]，计算各主体的平均期望收益从而得到动态复制方程，以此寻求演化博弈的均衡点.

基于表1、表2所示的三方演化博弈支付矩阵，可以得到地方政府相关职能部门选择推进策略和不推进策略的期望收益分别为E11、E12：

E11=yz(PG1-CG-S)+z(1-y)(T-PG2-CG)+y(1-z)(PG1-CG-S)+(1-y)(1-z)(T-C-PG2)
E12=yzPG1-z(1-y)PG2+y(1-z)PG1-(1-y)(1-z)PG2

由此可以得到地方政府相关职能部门的平均期望收益为：

E1=xE11+(1-x)E12

地方政府相关职能部门选择推进策略的复制动态方程G(x)为：

(1)

同理，可以得到民办营利养老服务机构选择积极合作策略与消极合作策略的期望收益分别为E21和E22:

E21=xz(PE1+S-CE1)+z(1-x)(PE1-CE1)+x(1-z)(PE1+S-CE2)+(1-x)(1-z)(PE1-CE2)

E22=xz(PE2-T)+z(1-x)PE2+x(1-z)(PE2-T)+(1-x)(1-z)PE2

民办营利养老服务机构的平均期望收益为：

E2=yE21+(1-y)E22

民办营利养老服务机构选择积极合作策略的复制动态方程E(y)为：

(2)

消费者选择参与策略和不参与策略的期望收益分别为E31和E32：

消费者的平均期望收益为：

E3=zE31+(1-z)E32

消费者选择参与策略的复制动态方程H(z)为：

(3)

1.5 博弈主体的渐进稳定性分析

在本文的三方演化博弈模型中，各主体的成本与收益、地方政府相关职能部门的财政补贴额度、对民办养老服务机构的罚金等损益变量制约和影响着各行为主体的策略选择.因此，对式(1)、(2)、(3)求导，则有：

G′(x)=(1-2x)[-y(S+T)+T-CG]

(4)

E′(y)=(1-2y)[x(S+T)+z(CE2-CE1)+PE1-PE2-CE2]

(5)

(6)

接下来，我们分别对地方政府相关职能部门、民办营利养老服务机构和消费者进行渐进稳定性分析.

1.5.1 地方政府相关职能部门的渐进稳定性分析

G′(x)|x=0=-y(S+T)+T-CG

(7)

G′(x)|x=1=y(S+T)-T+CG

(8)

对地方政府相关职能部门复制动态方程G(x)的求解可得到其演化稳定过程，见图2.

1.5.2 民办营利养老服务机构的渐进稳定性分析

E′(y)|y=0=x(S+T)+z(CE2-CE1)+PE1-PE2-CE2

(9)

E′(y)|y=1=-[x(S+T)+z(CE2-CE1)+PE1-PE2-CE2]

(10)

(1) (2)图2 地方政府相关职能部门策略选择演化相位图Fig.2 Evolution phase diagram of strategy selection of relevant functional departments of local government

(1) (2)图3 民办营利养老服务机构策略选择演化相位图Fig.3 Evolution phase diagram of strategy choice of private profit pension service institutions

(1) (2)图4 消费者策略选择演化相位图Fig.4 Evolutionary phase diagram of strategy selection of consumer

对民办营利养老服务机构复制动态方程E(y)的求解可得到其演化稳定过程，具体见图3.

1.5.3 消费者的渐进稳定性分析

(11)

(12)

对消费者复制动态方程H(z)的求解可得到其演化稳定过程，具体见图4.

2 民办营利养老服务机构财政补偿机制的三方演化博弈均衡点及其演化稳定策略

2.1 演化博弈均衡点

在民办营利养老服务机构财政补偿机制的演化博弈中，当地方政府相关职能部门、民办营利养老服务机构和消费者3类有限理性主体通过不断试错、学习达到稳定状态时，说明博弈三方最终找到了有效的纳什均衡.为了寻求民办营利养老服务机构财政补偿机制的三方演化博弈均衡点，设:

(13)

由式(13)，可以得到该演化博弈的8个均衡点：(0,0,0)、(0,1,0)、(0,0,1)、(0,1,1)、(1,0,0)、(1,1,0)、(1,0,1)和(1,1,1)，这8个点构成了三方动态演化博弈解域的边界：{(x,y,z)|0≤x≤1;0≤y≤1;0≤z≤1}.

2.2 演化稳定策略

我们计算得到了演化博弈系统中的8个均衡点.然而，均衡点的稳定性有赖于进一步判断才能成为系统的演化稳定策略.根据李雅普诺夫的稳定性理论，系统在均衡点处的稳定性可以通过雅可比矩阵的定号性进行判断，且系统达到演化稳定的充要条件是雅可比矩阵的特征值均具有负实部[29].因此，首先对三方博弈主体的复制动态方程求一阶偏导数构造雅可比矩阵，具体详见式(14).

(14)

将8个均衡点带入雅可比矩阵，依次求出每个均衡点的特征值并判断其正负性(具体见表3)，进而判断该均衡点是否为系统的演化稳定策略及形成演化稳定策略的条件(参见表4).接下来，我们以均衡点(0,0,0)为例说明判断均衡点能否成为演化稳定策略的过程. 均衡点(0,0,0)的雅可比矩阵为：

表3 10个均衡点的特征值及其演化稳定性

表4 演化稳定策略及其条件

在均衡点(0,0,0)处，雅可比矩阵的特征值为：λ1=T-CG，λ2=PE1-PE2-CE2，λ3=UH2-CH.因此，如果T-CG<0，PE1-PE2-CE2<0和UH2-CH<0，那么均衡点(0,0,0)即为演化稳定策略.

3 数值模拟和仿真分析

由2.2部分稳定性分析及其稳定条件可知，在三方演化博弈中，任一博弈主体的决策行为受另外两方博弈主体决策行为的影响和制约.本文致力于研究推进民办营利养老服务机构财政补偿机制的发展，促使地方政府相关职能部门、民办营利养老服务机构和消费者的三方博弈最终演化到地方政府相关职能部门“推进”、民办营利养老服务机构“积极合作”、消费者“参与”(x=1,y=1,z=1)的理想决策状态.由于地方政府相关职能部门、民办营利养老服务机构和消费者三方合作的概率x、y、z在演化博弈过程中不断变化，因此不能仅仅通过调整概率的初始状态来推动该三方博弈向各个预期的稳态进行演化.

为了验证本文所构建演化博弈模型的合理性，同时进一步分析相关变量对民办营利养老服务机构财政补偿机制中三方主体行为演化趋势的实际影响，利用MATLAB软件对该模型进行数值模拟，对财政补贴额度、罚金、监管成本、消费者不参与和参与下民办营利养老服务机构的成本差、消费者的参与成本等进行了仿真分析.

3.1 财政补贴额度对三方行为演化趋势的影响

地方政府相关职能部门财政补贴额度的数值分别设置为S=1、S=3、S=7,基于动态复制方程的仿真结果如图5所示.

由图5可知，不同的补贴额度对三方策略选择的影响是不同的.1)当补贴额度处于低等水平时，地方政府相关职能部门推进的意愿逐渐上升；当补贴额度处于中等水平时，地方政府相关职能部门选择推进策略的概率比较稳定，但低于补贴额度处于低等水平时地方政府相关职能部门选择推进的概率；而当补贴额度处于高等水平时，地方政府相关职能部门则会趋向于选择不推进策略.这表明过高的财政补贴额度会加重地方政府的财政负担，制约地方政府相关职能部门推进民办营利养老服务机构财政补偿机制发展的积极性.2)随着补贴额度的增加，民办营利养老服务机构积极合作的概率在不断增加，表明地方政府相关职能部门的财政补贴政策能推动民办营利养老服务机构的发展.但是，当S=7时民办营利养老服务机构选择积极合作的概率有所下降.这表明财政补贴政策的激励效果是有一定限度的，当补贴额度过高时，激励效果反而不如中等水平的补贴.3)随着补贴额度的增加，消费者参与的概率仅有略微的增大，说明补贴额度的增加对消费者的行为演化影响较小.

图5 补贴额度对三方行为演化趋势的影响Fig.5 Influence of subsidy amount on the evolution trend of tripartite behavior

3.2 罚金对三方行为演化趋势的影响

罚金分别设置为T=1、T=5、T=9.基于动态复制方程的仿真结果如图6所示.

图6 罚金对三方行为演化趋势的影响Fig.6 Influence of fine on the evolution trend of tripartite behavior

从图6可以看出，罚金的不同导致地方政府相关职能部门和民办营利养老服务机构策略选择的不同.

1)民办营利养老服务机构在罚金较低时积极合作的概率在逐渐下降.原因在于罚金较低意味着消极合作付出的代价较小，民办营利养老服务机构基于自身利益最大化的考虑，消极合作所带来的收益与罚金之差大于积极合作所带来的收益，则民办营利养老服务机构会忽视罚金的存在采取消极合作策略.当罚金不断增加甚至高于消极合作所获收益时，民办营利养老服务机构无法忽视罚金的存在，此时积极合作的意愿非常强烈.

2)随着罚金的不断增加，地方政府相关职能部门采取推进策略的概率整体呈下降趋势.因为罚金是地方政府相关职能部门促进和规范民办营利养老服务机构发展的有效手段，当罚金到达一定数额时民办营利养老服务机构的合作意愿非常强烈，随着时间的推移民办营利养老服务市场逐渐成熟，所以地方政府相关职能部门会退出市场.

3.3 监管成本对三方行为演化趋势的影响

监管成本分别设置为CG=1和CG=3,基于动态复制方程的仿真结果如图7所示.

图7 监管成本对三方行为演化趋势的影响Fig.7 Influence of regulatory cost on the evolution trend of tripartite behavior

由图7可以看出，地方政府相关职能部门监管成本的变化对三方的影响是深刻的.1)当CG=1时，地方政府相关职能部门选择推进策略的概率整体呈增长的趋势，民办营利养老服务机构积极合作的概率也不断增加.这表明地方政府相关职能部门对民办营利养老服务机构进行监管可以有效规范其行为，促进双方合作，但此时对消费者的行为几乎无影响. 2)CG=3时，随着监管成本的提高，地方政府相关职能部门选择推进策略的概率有所下降，民办营利养老服务机构选择积极合作的比例随之下降，消费者参与的可能性也在下降.这说明过高的监管成本致使三方选择合作的意愿都会下降，从而不利于推进民办营利养老服务机构财政补偿机制的发展.因此，地方政府相关职能部门在进行监管的同时也要注重将自身的监管成本控制在一个合理的范围内.

3.4 民办养老服务机构成本差对三方行为演化趋势的影响

由于要探究民办营利养老服务机构成本差CE2-CE1增大对三方行为演化趋势的影响，因此，假定CE2固定不变，设置CE1的数值分别为CE1=2.5、CE2=1.5和CE3=0.5.基于动态复制方程的仿真结果如图8所示.

由图8可知，随着CE1的不断降低，地方政府相关职能部门选择推进策略的比例基本维持不变，民办营利养老服务机构选择积极合作的概率不断增加，消费者选择参与的可能性也随之增加.说明消费者参与下民办营利养老服务机构成本的降低，有利于民办营利养老服务机构将节约的成本投入到扩大机构规模、增加专业护理人员数量、强化软硬件设施标准等方面，切实提高机构的服务水平和服务质量，形成竞争优势，以此吸引更多的潜在养老服务需求者.而消费者在购买养老服务产品的过程中会优先考虑性价比较高的养老服务机构，因此二者会形成良性循环，即民办营利养老服务机构倾向于积极合作，消费者倾向于参与.

图8 民办营利养老服务机构成本差对三方行为演化趋势的影响Fig.8 Influence of cost difference of private profit pension service institutions on the evolution trend of tripartite behavior

3.5 消费者成本对三方行为演化趋势的影响

消费者成本设为CH=5,CH=8,CH=11,基于动态复制方程的仿真结果如下图9所示.

图9 消费者的参与成本对三方行为演化趋势的影响Fig.9 Influence of consumer participation cost on the evolution trend of tripartite behavior

随着消费者参与成本的增加，其行为向不参与方向演化，而地方政府相关职能部门和民办营利养老服务机构向不合作方向演化，且消费者的演化速度远远快于地方政府相关职能部门和民办营利养老服务机构.原因在于消费者具有有限理性且追求自身效用最大化，过高的参与成本导致消费者不会选择民办营利养老服务机构进行养老.在这种情况下，居家养老、社区养老或公办机构养老是消费者更愿意选择的养老模式.同时，由于消费者不参与的比例不断增大，民办营利养老服务机构的营运收入减少，甚至出现入不敷出的情况，因此民办营利养老服务机构更倾向于选择消极合作或退出养老服务市场.另外，民办营利养老服务机构选择积极合作策略的概率不断降低，导致其提供的社会福利极为有限，同时也没有帮助地方政府有效缓解财政压力和社会养老压力，此时地方政府相关职能部门会选择不推进.综上，消费者参与成本的提高对于推进民办营利养老服务机构财政补偿机制的发展极为不利.

4 结论与建议

4.1 结 论

针对当前财政补偿机制对于民办营利养老服务机构激励效果不明显的问题，本文以地方政府相关职能部门、民办营利养老服务机构和消费者为主体，基于动态演化博弈相关理论构建财政补偿机制模型以及稳定性分析，并进一步运用MATLAB软件进行数值模拟研究了变量对三方行为演化趋势的影响.通过系统分析得到：中等水平的补贴利于地方政府相关职能部门与民办营利养老服务机构合作；提高罚金有利于增强民办营利养老服务机构合作的意愿.当罚金到达一定金额时，地方政府相关职能部门会逐渐退出市场；合理的监管成本将推动三方主体的协同发展；消费者参与下民办营利养老服务机构成本的降低有利于在民办营利养老服务机构和消费者之间形成良性互动；消费者参与成本的提高，对于促进民办营利养老服务机构和地方政府相关职能部门合作具有负向作用.

4.2 相关建议

为了推进和完善我国民办营利养老服务机构财政补偿机制的发展，本文提出以下措施建议：

1)有针对性的对积极合作的民办营利养老服务机构进行适当补贴，切实强化政策性动力机制，提高财政补贴对民办营利养老服务机构的激励效果，但财政补贴额度不宜过高，否则会适得其反.地方政府相关职能部门对消极合作的民办营利养老服务机构要加大惩罚力度，提高罚金.通过惩罚机制的运用，提升民办营利养老服务机构自身的造血功能，强化其营利性的内在动力机制.

2)地方政府相关职能部门在提高监管的频率和覆盖范围的同时，应采取措施将监管成本控制在一个合理的范围内，避免过高的成本加重财政负担，阻碍民办营利养老服务机构财政补偿机制的发展.例如，地方政府相关职能部门可以制定“举报有奖”类政策激发社会公众监督民办营利养老服务机构行为的积极性，对消极合作的民办营利养老服务机构进行检举；利用网络社交媒体对有损消费者权益行为的民办营利养老服务机构进行曝光，充分发挥网络社交媒体对企业的监督作用.

3)地方政府相关职能部门应继续在财政补贴、税费优惠、贷款贴息、金融支持等方面给予民办营利养老服务机构支持，降低其成本，以此形成民办营利养老服务机构积极合作，消费者积极参与的良性循环.

4)地方政府相关职能部门应在统筹考虑民办营利养老服务机构建设、运营成本和消费者支付能力的基础上制定合理的收费标准，防止民办营利养老服务机构“漫天要价”.通过政府定价的形式降低消费者入住养老机构的费用，提升民办营利养老服务机构对消费者的吸引力，并加强消费者对民办营利养老服务机构的信任.