解答与三角形有关的最值问题的路径

何宇

解三角形中的最值问题涉及的知识点较多，不仅考查了正、余弦定理的应用、三角恒等变换的技巧、三角函数的图象和性质，还考查了求最值的方法.由于此类问题的综合性较强，因此我们可以从不同的角度入手，来寻找解题的思路.下面结合例题来谈一谈解三角形中最值问题的解法.

一、采用基本不等式法

基本不等式是解答最值问题的工具.在运用基本不等式法求最值时，我们首先要根据题意求得目标式，然后合理进行恒等变换，构造出两式的和或积，并使其一为定值，这样便可运用基本不等式求得最值.

例题：已知在△ABC中，BC=3.若sin2A-sin2B-sin2C=sinBsinC，求△ABC的周长的最大值.

解：因为sin2A-sin2B-sin2C=sinBsinC

所以a2-b2+c2=bc，

所以a2=b2+c2-2bcsinA=b2+c2+bc=9

即（b+c）2-b·c=9，

而    （當且仅当b=c时等号），

所以，

所以    （当且仅当b=c时等号），

所以△ABC的周长的最大值为    .

我们首先根据正余弦定理求得关于b、c的关系式，然后借助基本不等式将目标式转化为只含有b+c的不等式，通过解不等式求得b+c的最值，进而求得△ABC的周长的最大值.

二、借助换元法

有些目标式中含有多项式，且结构比较复杂，我们需把目标式中的某一部分用新字母代替（即换元），从而将目标式转化为关于新元的函数式，利用函数的性质便可求得目标式的最值.采用换元法解题，能使复杂的问题简单化，明朗化.

以上述例题为例.

解法一：因为sin2A-sin2B-sin2C=sinBsinC，

所以a2-b2+c2=bc，

所以a2=b2+c2-2b·cosA=b2+c2+b·c=9

即    .

可设，，，

可得，    .

所以，

所以当时，，即△ABC的周长的最大值为    .

我们借助三角函数中的重要关系式sin2θ+cos2θ=1进行换元，分别设，，，最终得到一个关于θ的表达式，再根据正弦函数的性质求得三角形周长的最值.

解法二：因为，所以，

所以可设，，，

因为BC=3，，，

所以    .

当θ=0时，b+c取最大为，此时，

即△ABC的周长的最大值为    .

我们由已知条件可以发现A、B、C三角之间的关系，于是引入角θ，通过换元，将b+c转化为关于θ的三角函数，再根据余弦函数的性质便可求得△ABC的周长的最大值.

虽然解三角形中最值问题的难度较大，但是我们只要仔细分析问题，灵活运用正、余弦定理、三角函数中的基本公式求得目标式，再运用基本不等式，通过换元，便可将问题转化为不等式、函数问题来求解.同学们还要注意培养思维的敏捷性、发散性以及创新性，这样才能快速破解难题.

（作者单位：江苏省栟茶高级中学）