一道三角最值问题的解法探究*

江苏省南京市金陵中学 (210005) 郭建华

求解与解三角形有关的最值问题时，正弦定理和余弦定理是解题的关键，基本不等式和导数是解题的工具．下面，笔者以一道三角最值问题为例，从题目条件表征的多个维度探寻解题的突破口．以此让学生体会解决该类问题方法的多样性和灵活性．

题目在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知acosB=6，c=4，则C的最大值为．

要解决这个题目，可以让学生作如下思考：它是一个什么问题?它要求的是什么?现在有哪些材料?有哪些工具?还需要哪些条件?还缺少哪些条件?能否从现有的条件中寻找?如何用这些条件和结论?是否还有其它条件可有利用?如何利用?等等．

本文给出以下四种解题思路，并简要分析每种解题思路中条件表征的形式和解法的获得．

思略1整体代换

评注：结合题设条件和求解的目标，很容易想到利用余弦定理进行边角互化．为求角C的最小值，先用余弦定理将cosB代换，得边a，b满足的关系式，再利用减元思想将cosC表示为关于边b的一元函数，最后结合基本不等式求cosC的最小值即可．

评注：对a2-b2=32，巧妙利用c=4的代换，探寻边a，b，c之间的关系，通过减元思想，将cosC表示成关于边a，b的二元函数，再利用基本不等式求cosC的最小值即可．

思路2射影定理

评注：由acosB联想到三角形中的射影定理acosB+bcosA=c，挖掘其隐含的条件bcosA=-2，再结合条件的结构形式，便可迅速找到解题的突破口．

思路3化斜为直

图1

评注：由bcosA=-2，得线段AC在直线AB上的投影长为2，将斜△ABC补成Rt△BDC，即化斜三角形为直角三角形，更容易表达目标∠ACB=∠BCD-∠ACD，再结合两角和差的正切公式和基本不等式求解．

思路4夹角公式

图2

评注：充分整合条件acosB=6，c=4，联想数量积公式，通过建立适当的平面直角坐标系，探究动点C的轨迹(为一条定直线l)，再结合向量的夹角公式求解．

只有深刻理解题意，才能充分整合题设条件，准确表征条件，并挖掘其隐含条件，多维度探究解决问题的突破口，将学生所学的知识融会贯通．利用一题多解，深化学生对理解基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验，提高从数学角度发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力，促进学生实践能力和创新意识的发展．