带奇异系数的McKean-Vlasov随机微分方程解的存在性

李钰静，马 丽，2*

（1.海南师范大学 数学与统计学院，海南 海口 571158；2.海南师范大学 海南省数学研究中心，海南 海口 571158）

设(Ω,F,P)是完备概率空间，(Ft)t≥0是其上满足通常条件的适应流。P(Rd)是可测空间(Rd,B(Rd))上所有概率测度组成的集合，且赋予弱收敛拓扑。考虑Rd上分布依赖的随机微分方程（也称作McKean-Vlasov随机微分方程）：

McKean-Vlasov 随机微分方程是系数依赖于分布的随机微分方程，也被称为分布依赖的随机微分方程或者平均场随机微分方程。该模型首先由Vlasov在文献[1]中提出，对于粒子间存在“弱相互作用”的多粒子系统，粒子间的相互作用可以有效地用平均场来刻画。文献[2]提出了用McKean-Vlasov 随机微分方程来刻画Boltzmann方程。文献[3]得到McKean-Vlasov随机微分方程解的分布刚好是一类Fokker-Planck偏微分方程的广义解。文献[4]通过非线性Fokker-Planck 方程广义解的唯一性得到相应的McKean-Vlasov 随机微分方程弱解的唯一性。反之，通过研究McKean-Vlasov随机微分方程解的性质可以研究Fokker-Planck偏微分方程的广义解。本文将研究McKean-Vlasov随机微分方程（1）弱解的存在性。

关于McKean-Vlasov 随机微分方程解的存在唯一性，目前的文献基本上是在扩散系数σσT满足一致椭圆（即非退化）条件下研究的。文献[3]在扩散系数一致非退化、有界、Hölder 连续、飘移系数可积的条件下，利用Zvonkin变换，通过偏微分方程解的正则性得到了强解和弱解的存在性，再由逐轨道唯一性得到强解和弱解唯一性。文献[5]考虑了有共同噪声的分布依赖的随机微分方程，在系数有界连续和初值p阶矩存在的条件下得到了弱解的存在唯一性。文献[6]研究了由α平稳过程驱动的随机微分方程，当漂移系数有界可测且关于测度利普希茨连续、关于第一个分量Hölder连续时，得到了弱解的唯一性，再由逐轨道唯一性得到了强解的存在唯一性。当系数不依赖于分布时，文献[7]在随机微分方程的扩散系数一致椭圆和Hölder连续的条件下，利用Zvonkin变换方法，通过偏微分方程解的存在唯一性及最大正则估计，得到随机微分方程解的存在性，再由逐轨道唯一性得到解唯一性。

当扩散系数σσT不满足一致椭圆条件时，目前没有文献研究方程（1）解的存在唯一性。当扩散系数和漂移系数不依赖于分布时，文献[8]给出在非一致椭圆条件下，偏微分方程利普希茨弱解的某些正则性仍成立，然后由Prokhorov定理和Skorokhod表示定理得到弱解的存在性。

因此，本文考虑一般情况下偏微分方程解的正则性从而得到McKean-Vlasov随机微分方程解的存在性。本文对系数的要求如下：

（H1）扩散系数退化对每个t,x,μ→σ(t,x,μ)是弱连续的，对所有t≥0,x,y∈Rd,μ∈P(Rd)，存在c0≥1，γ∈(0,1]使得

其中||⋅||HS表示矩阵希尔伯特-史密特范数。

漂移系数b满足以下两个条件之一。

（H2）对每个(t,x,μ) →b(t,x,μ)是弱连续，对一些(p,q) ∈J1，κ0> 0，

由文献[3]知（H3）可以推出（H2）。

下面给出本文的主要结果。

本文内容安排如下：第1节介绍符号和引理；第2节介绍二阶抛物方程解的正则性；第3节给出定理1的证明。本文推广了文献[3]和[7]的结果。

1 符号和定义

则称随机过程X满足Krylov估计的X的集合。

2 二阶抛物方程在(T)空间中解的正则估计

考虑R+×Rd上的二阶抛物偏微分方程

定义

由式（11）两边同时乘上ζz(x)可得

由ηz(s)的定义和（Ha）条件知ηz(s) ≥ε> 0，并由文献[12]定理13.3.10得对任意α∈[0,2)，存在常数C=C(α,d,p,c,T,λ) > 0，使得对所有z∈Rd，

因此，由文献[11]引理4.1和文献[12]推论13.3.11得，对任意α∈[0,2)，存在常数N> 0，有

证明的方法与文献[7]定理3.1的类似，详见附录。

3 主要结果及其证明

在证明定理1之前，需要以下引理。

由链式法则易得

然后由文献[14]引理2.7和式（32）得式（27）。

下面给出定理1的证明。

4 附录

当q

证毕。

定理2.2证明 由标准连续方法[17]知，只需证明先验估计式（25）即可。下面将分为三步进行证明。