到底该如何寻找排列规律

褚克艳

[摘 要]对于某些操作性强的知识，学生可以通过操作无师自通，教师的作用看似不大，殊不知，这正是教师转换角色、转变职能的时机。教师要深入辨析学生对某些知识是否已经彻底弄懂，从而适当点拨。

[关键词]规律;排列;基本循环组

[中图分类号] G623.5[文献标识码] A[文章编号] 1007-9068（2021）29-0035-02

在观摩公开课“寻找排列规律”时，笔者发现一个有趣的现象：几乎每位教师对这节课的教学都驾轻就熟，每位学生的表现也是可圈可点，学得非常透彻扎实。笔者曾大胆设想：这节课倘若教师“无为而治”，学生单凭自学能否发现其中的规律？对于一些简单问题，学生能够独立解决吗？由此，笔者进行了一次测试。测试使用的题目来源于课本中的“练一练”（如下所示）。测试时间限定为6分钟，测试对象为五年级某班学生，学生当堂做完所有题目，笔者亲自督考，待学生答题完毕后当场收卷。

根据一定的规律，推测出每组第32个图案是什么，并填写在题后的括号里。

结果令人喜出望外：全班44名学生中，共有38人做对了这3道测试题，约占全班人数的86.4%。而且他们采用的方法均是除法求余，先找出基础循环组，数出其含有各种图案的数量，然后用32除以这个基本组的图形数量，所得余数是几，就是基本循环组中的第几个图形。大家都很聪明，没有费劲地去一个个画图。然而仍有6人做错了，约占全班被测人数的13.6%。这6人其实只错了一道题，其中3人列出了正确的算式，只是最后的计算结果出现错误，有1人则是粗心大意出错，其余2人则是一窍不通，只是想当然地认为哪个图形出现的次数多，要填的图形就是哪个。整体来看，多数学生都能做到无师自通。

一、调低测试年级带来的收获

笔者再次大胆设想：如果将这些题拿来测试四年级的学生，又会是怎样一番景象呢？于是，笔者用同一套试题来考查四年级学生，样本容量为一个班，得出的结果与五年级的惊人的相似。笔者又想：如果用這套题来考查三年级学生，结果又会怎样呢？于是，笔者再次在三年级测试同一套测评卷，得到如下结果：全班48名学生中，有37人做对，约占全班人数的77.1%。其中，采用除法求余算术方法的有29人，约占全班人数的60.4%;按照排列规则和次序，一个一个将32个图案依次画出的有8人，约占全班人数的16.7%。而做错的有11人，约占全班人数的22.9%。其中，只做错1题的有9人，约占全班人数的18.8%;做错2题的有2人，约占全班人数的4.2%。在采用的解题策略上，有12人不约而同地采用了一一画图的方法，这样做的人占到全班人数的25%，其中有5人做错6题;采用除法求余法的有36人，占答题总人数的75%，其中有7人尽管列出了正确的算式，但却功亏一篑，不知道余数对应基本循环组中的第几个图案。

二、调查结果引发的思考

对于“寻找排列规律”，四、五年级的学生在日常活动中接触较多，他们积累了丰富的直接经验和认知表象，如每天的作息时间表、每周的课表、列车时刻表等。加之在以前的一些学习中对找规律也有所涉猎，积累了一定的经验，对找规律形成了自己的一套办法，有了自己的心得和秘诀。因此，这些学生在“寻找规律”时，能够眼疾手快地发现规律，并能准确无误地运用规律。对于三年级学生来说，他们在找规律方面则稍欠火候，能力薄弱。一些学生模模糊糊感到有规律，但是很朦胧，也很迷糊，受年龄和经验“拖后腿”，他们尚未找到简明的解题之法，对除法的意义还是一知半解、似懂非懂，更遑论运用自如、融会贯通。不少三年级学生的思维还局限在形象思维层面，必须亲眼看到才能得出答案，缺乏想象推理能力，无法抽象、整体、变化地看待问题，只能逐个推演出结果。因此，笔者认为在三年级编排“寻找排列规律”较为合适。如此安排可以把学生的生长点卡在最近发展区，趁机发展学生的推理想象力和抽象思维能力。因为三年级学生已学过除法的意义，对除法运算也能做到熟能生巧，算法和技巧都具备一定的根底，此时教学“寻找排列规律”正当时，不仅能帮助学生夯实除法的概念，还能让学生初步尝试数学建模的滋味，让学生见识到数形结合的魅力。一个图案排列问题完全转化成算术计算问题，这个规律完全可以用数字代表，进而尝试找规律。笔者还认为，“寻找排列规律”甚至可以提前至“植树问题”前，因为“植树问题”中蕴含的规律比“寻找排列规律”蕴含的规律更加复杂，更难以掌握。先教学“寻找排列规律”，不仅便于学生掌握用算术方法来推算和揭示图形排列规律，而且能让“植树问题”中间隔数与植树棵数的对应关系变得更加明朗，有利于学生在一一对应的基础上推断加1还是减1。

三、改进教学的几个建议

1.要切实重视“找”的过程。要让学生反复感受规律，揣摩其中规律。根据问卷调查反馈，一些学生根本没有找到基本循环组，而是看题目中出现几个图案，就把它定为一个周期。例如，把题（1）中所展示的9个图案定为一个基本循环组，把题（2）中所展示的8个图案定为一个基本循环组……这警示教师：一定要让学生实事求是地琢磨出其中的规律，准确无误地找到基本循环组;要指导学生学会观察和表达，反复比照和核对，精准锁定基本循环组。教师还要学会变通处理，如在题（1）中的第9个图形后添加1个“△”和1个“○”，让学生重新寻找基本循环组，以训练学生对规律变化的辨别力。

2.要及时渗透转化思想。调查发现，一些学生执拗地坚持画图法，笔者认为这是转化思想渗透不足所致。教师要创设有趣、具有挑战性的情境，以激起学生的探究动机和热情，促使学生多方寻找图形排列中蕴含的规律。如上题可以设计这样的问题：按照各组图案的排列规律，分别画出每组的第132、320个图案。在学生犯难时，教师可以趁机引导学生进行转化，将困难、生疏、棘手的问题转化为容易、熟悉、顺手的问题。这样，学生就能感受到转化法的巨大魅力，从而愿意学习和运用转化思想去解决问题。

3.要发展学生的建模思想。根据测评结果可以看出，面对上述问题，有的学生深陷于画图法无法自拔，原地打转;有的学生先画图，发现此路不通，于是改用除法求余法;有的学生一开始就用除法计算……对于这些生成性的教学资源，教师可以加以利用，集中展示评议，稳健有序地从复杂走向简单、从具体走向抽象、从特殊走向一般，从图示法到算术法，不断突出数量关系的主导性，引导学生逐步建立一个除数为定值的除法求余数学模型，从而用余数来确定图案的排列，把思考和推理升华到高级形态。

4.要让学生体悟到一一对应思想。调查中还发现，一些学生虽然明知该用除法计算，也确实求出了余数，也隐隐约约感到余数与图案顺序有关，但就是卡在了最后一步：余数是数字，如何确定图形形状？这告诉教师学生还没有察觉到“寻找排列规律”中蕴含的一一对应思想。教师应让学生明白，寻找基本循环组至关重要，各个基本循环组里排序相同的图案都一样，它们依次不断地重复出现。而余数正好指向基本循环组中的某个图形。教师还可以将图案的排列方向由横向改为纵向。

如题（3）中的图形改变摆放方向：

这样，学生容易发现：除法运算的商表示整组数，余数是几，就表示多出几个图案，其中最后一个图案就是对应循环组的第几个图案，没有余数就对应着最后一个循环组完结。

总之，查清学情，以学定教，是一条亘古不变的教育真理。

（责编 吴美玲）