变量为五元三次型的除数函数均值问题

王琳琳

(华北水利水电大学 数学与统计学院,河南 郑州 450046)

0 引言和主要结果

除数函数

表示不定方程x1x2…xk=n的正整数解的个数,其中k≥2.它是经典解析数论中的一个重要研究对象.特别地，d2(n)称为狄利克雷除数函数，以下简记作d(n).

1993年Gafurov[1]研究了变量为二元二次型的除数函数均值问题，得到渐近公式

定理1

其中

符号说明：e(x)表示e2πix；ε表示充分小的正常数；γ是欧拉常数；S(a,b,q)表示高斯和形式的指数和，即

1 预备知识

在本文中,x是充分大的正实数.对任意α∈R，y>1,定义

我们有

为了应用圆法,我们引进两个参数P,Q且满足以下条件：

logxx2+ε，PQ≤x3.

(1)

其中a,q均为整数且满足1≤a≤q≤Q以及(a,q)=1.记M(a,q)为形如式(1)的α的集合，定义主区间M和余区间C(M)如下:

我们有

S(x):=S1(x)+S2(x),

(2)

其中

于是问题转化为给出S1(x)的渐近公式和S2(x)的上界.

我们还需要用到以下几个引理，其中引理1和引理7是众所周知的.

引理1

引理2[12]设实值函数f(t)在区间[t1,t2]上连续可导，且存在正数Δ使得|f'(t)|≫Δ，∀t∈[t1,t2]，则有

引理7 设复数列{bn}n≥1的和函数为

其中M(u)在区间(0，∞)上连续可导.若函数f(u)在区间[u1,u2]上连续可导，其中u1≥0，则有

2 S1(α;x)在主区间和余区间上的估计

指数和S1(α;x)的估计在定理证明中非常重要，下面我们讨论S1(α;x)在主区间和余区间上的估计.首先给出以下引理，其证明详见[14,Theorem 4.1].

现在研究S1(α;x)在余区间上的估计.根据狄利克雷有理逼近定理，对任意α∈C(M)，存在整数a和q使得

根据引理6有

(3)

由上式可得以下引理.

3 S2(-α;5x3)在主区间上的估计

采用与文献[4]中相同的记号，我们设整数r满足1≤r≤q，且对u>0，记

现在引用Heath-Brown[15]中有关D(u;q,r)的结果：

D(u;q,r)=R(u;q,r)+Δ(u;q,r),

其中

(4)

A(q,r)和B(q,r)分别定义为

Δ(u;q,r)满足

(5)

和

(6)

估计式(5)和(6)分别是文献[4]中的估计式(7.10)和(7.12).

于是在引理7中取M(u)=R(u;q,r),E(u)=Δ(u;q,r),可得

其中

我们先处理J1.记

我们可以将式(4)重新表示为

R(u;q,r)=c1(q,r)ulogu+c2(q,r)u.

由此可得

现在，我们定义

由[4]中的(7.6)和(7.7)可知

因此，

作变量替换u=vx3，logu=3logx+logv，上式变为

接着处理J2，先用两次分部积分，再利用式(5)和式(6)，我们有

这里QP≤x3.由此我们得到以下引理：

4 定理1的证明

首先处理主区间上的积分，我们有

(7)

因此，

(8)

其中H1(λ)和H2(λ)的定义在定理1中给出.

(9)

根据分部积分公式和式(9)中的第一个估计,我们有

因此我们得到

并且当U≥2时我们有

(10)

将上述两个估计式代入式(8)，我们有

(11)

合并式(7)和式(11),得

3x5logxC1I1+(C1I2+C2I1)x5+

(12)

(13)

其中Ci和Ii(i=1,2)的定义在定理1中给出.

现在研究余区间上的积分.我们有

由[16]中的Theorem 2可得

由[14]中的Lemma 2.5可得

再结合引理9便可得

(14)

最后，由(2)、(13)和(14)得

其中Ci和Ii(i=1,2)的定义在定理1中给出.证毕.