设而不求 整体建构 优化运算

王飞燕

[摘  要] 平面解析几何中各类“弦”的运算是教学的一个重点，更是一个难点，以“弦”的运算和设而不求的方法为中心作为一个研究主题的微专题教学因势而生. 文章以设而不求、整体建构、优化运算为目标的微专题教学为例，对基于核心素養之数学运算导向的微专题的教学设计进行阐述.

[关键词] 核心素养;解析几何;微专题;设而不求;数学运算

[?]概述

核心素养是课程落实“立德树人”这一根本任务的具体表现，是当前数学课堂教学的价值取向和实践的内驱力. 史宁中教授提到“开展核心素养的教学，应当把一些具有逻辑联系的知识点放在一起进行整体设计，无论这些整体称为‘单元还是‘主题，总之，要把这些内容融为一体进行教学设计”[1]. 设而不求是解析几何常用的解题方法，其实质是运用方程思想在整体结构上的变式和整体运算的应用. 根据不同的问题背景合理设置点的坐标而灵活选择运算路径，以减少运算量为目的进行问题的解决. 其精彩之处在于设而不求，巧妙建立未知和已知之间的联系，化繁为简，简化运算过程，直达问题的解决目的. 设而不求优化了学生的解题思路，学生面对烦琐的运算，能通过阅读、运算和画思维导图等显性化的活动来分析问题的本质，进而明确转化方向，并利用数学概念的多元联系表示，将问题转化为简单的、直观的表示方式，从而创造性地建构从已知到未知的桥梁，并最终实现问题的解决[2]. 让学生获得更大的学习信心，培养学生优秀的学习品质. 因此笔者设计了这个微专题在此呈现，以期起到抛砖引玉的作用.

[?]教学片段

1. 设而不求类比处理两弦关系问题

涉及两直线与圆锥曲线的相交弦的问题，常需先设一条直线方程和其弦端点的坐标，设而不求，联立直线方程和圆锥曲线方程，消元产生对应的一元二次方程，利用韦达定理搭建相关的桥梁，获得一个关联式;再通过类比，同理产生另一关联式. 这样处理的优化运算能起到事半功倍之效.

例1（2021·全国卷Ⅰ）：在平面直角坐标系xOy中，已知点F（-，0），F（，0），点M满足

MF-

MF=2.记M的轨迹为C.

（1）求C的方程;

（2）设点T在直线x=上，过T的两条直线分别交C于A，B两点和P，Q两点，且TA·TB=TP·TQ，求直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和.

解：（1）易求C的方程为x2-=1（x≥1）.

（2）设T

，n

，A（x，y），B（x，y），设AB的方程是y-n=k

x-

，由

y-n=k

x-

，

x2-

=1，得（16-k）x2+（k-2k1n）x-k-n2+kn-16=0，所以x+x=，xx=，TA=·

x-

，TB=

x-

，所以TA·TB=（1+k）

x-

x-

=. 设PQ的方程是y-n=k

x-

，同理得TP·TQ=. 因为TA·TB=TP·TQ，所以=，即1+=1+，所以k-16=k-16，即k=k. 因为k≠k，所以k+k=0.

2. 设而不求同构处理切点弦问题

涉及圆锥曲线两切线的问题时，若先设切点坐标（切线方程），设而不求，得到两切线方程，进而同构处理切点弦方程，将会减少运算量，优化解题过程.

例2（2019·全国卷Ⅲ）：已知曲线C：y=，D为直线y=-上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B.

（1）证明：直线AB过定点;

（2）若以E

0，

为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求四边形ADBE的面积.

解：（1）设D

t，-

，A（x，y），B（x，y），因为y′=x，所以k=x=. 又x=2y1，整理得2tx-2y+1=0. 同理得2tx-2y+1=0. 所以直线AB的方程为2tx-2y+1=0，故直线AB过定点

0，

.

（2）由（1）得直线AB的方程为y=tx+，由y=

，

y=tx+，可得x2-2tx-1=0，所以x+x=2t，xx=-1，则y+y=t（x+x）+1=2t2+1，AB=

x

-x=·=2（1+t2）. 设d，d分别为点D，E到直线AB的距离，则d=，d=. 因此，S=·AB（d+d）=（t2+3）. 设M是线段AB的中点，则M

t，t2+

. 因为⊥，而=（t，t2-2），与向量（1，t）平行，所以t+（t2-2）t=0，解得t=0或t=±1. 当t=0时，S=3;当t=±1时，S=4. 故四边形ADBE的面积为3或4.

3. 设而不求的点差法处理四类相交弦问题

圆锥曲线与直线的相交弦问题，常见的有“中点弦”“轴对称弦”“中心对称弦”以及“过焦点的弦”等问题背景，对于这四类弦都可以实施设而不求的方法，利用圆锥曲线方程构建点差法快捷解决相交弦的运算问题.

（1）处理”中点弦“问题. 直线与圆锥曲线的相交弦问题若涉及中点和斜率，常采用设而不求构建点差法进行处理，能达到简洁明快之效果.

例3（2020·湖北八校联考）：已知点M

，

在椭圆C：+=1（a>b>0）上，且点M到椭圆C的左、右焦点的距离之和为2.

（1）求椭圆C的方程;

（2）设O为坐标原点，若椭圆C的弦AB的中点在线段OM（不含端點O，M）上，求·的取值范围.

解：（1）易求椭圆C的方程为+y2=1.

（2）设A（x，y），B（x，y），则AB的中点

，

在线段OM上. 由已知得k=，所以x+x=2（y+y）. 联立

+y

=1，

+y

=1，两式作差得（x1+x2）（x1-x2）+（y1+y2）（y1-y2）=0，k==-= -1. 设直线AB的方程为y=-x+m，联立

+y2=1，

y=-x+m，得3x2-4mx+2m2-2=0. 由Δ=8（3-m2）>0，所以m2<3且x+x=，x·x=. 又=∈

0，

，所以0

-，

. 所以·的取值范围是

-，

.

（2）处理“轴对称弦”问题.涉及圆锥曲线的“轴对称弦”问题，实施设而不求的点差法进行处理，能较大降低运算量，简化求解过程.

例4：已知M，N是椭圆+=1（a>b>0）上的两点，线段MN的垂直平分线与y轴交于点Q（0，t），求t的取值范围.

解：设M（x，y），N（x，y），联立

+

=1，

+

=1，两式作差得（x1+x2）（x1-x2）+（y1+y2）（y1-y2）=0，所以k== -. 又因为MN的垂直平分线的斜率k==，所以-·= -1，求得t=

1-

·

. 因为y≠y，所以-b<

-，

.

（3）处理“中心对称弦”问题. 利用中心对称关系设弦的端点坐标，用设而不求的点差法处理圆锥曲线“中心对称弦”问题，常能出奇制胜.

例5：已知M，N是双曲线-=1上关于原点对称的两个点，P是双曲线上任意异于M，N的点，求证：MP与NP的斜率之积为定值.

解：设M（x，y），P（x，y），则N（-x，-y），所以-=1，-=1. 所以k·k=·===.所以MP与NP的斜率之积为定值.

（4）处理“焦点弦”问题. 通过设弦的端点坐标，利用设而不求或韦达定理，实施点差法处理圆锥曲线的“焦点弦”问题，使问题的解决显得明快、高效.

例6：已知双曲线-=1（a>0，b>0）的右支与焦点为F的抛物线x2=2py交于M，N两点，且MF+NF=4OF，求双曲线的离心率.

解法一：设M（x，y），N（x，y），所以MF+NF=y++y+=4OF=4×，即y+y=p. 由x2=2py，

-

=1，得a2y2-2pb2y+a2b2=0，所以y+y==p，求得=，求得e=.

解法二：设M（x，y），N（x，y），同上求得y+y=p，k===. 由

-

=1，

-

=1，两式作差得·（x1+x2）（x1-x2）-（y1+y2）（y1-y2）=0，所以k===·=，求得=，所以e=.

[?]体会和启示

在解析几何问题的求解中运用设而不求的方法，能够开拓学生的思维，增强学生灵活处理问题的能力. 设而不求的方法能帮助学生灵活、快速、简洁、高效地解答问题，很大程度上提高了解题的正确率，能极大激发学生的学习热情，优化学生的思维品质.

微专题是为知识的迁移而教，为培养学生的核心素养而教. 微专题教学要立足于学生原有的认知基础，要从学生思维的最近发展区设计教学，激活学生的知识，让学生构建解决问题有较为清晰的“思维路线图”，促进学生深度学习. 让不同层次的学生获得不同程度的收获与体验，在日常教学中重视数学思想和方法的渗透，对提升学生数学核心素养是极为有益的[2].

参考文献：

[1]  史宁中，林玉慈，陶剑，郭民. 关于高中数学教育中的数学核心素养——史宁中教授访谈之七[J]. 课程·教材·教法，2017（04）.

[2]  黄云. 直面问题 展现思路 积累经验——基于“数学基本活动经验”下的问题解决讲评[J]. 数学通报，2017，56（10）.