基于问题驱动的“概率论与数理统计”课程混合模式的教学改革

苏 婷，董胜伟

（安阳工学院数理学院，河南安阳455000）

大学数学专业“概率论与数理统计”是研究随机现象统计规律的基础课程，分为概率论和数理统计两部分。概率论主要有随机变量、随机变量的数字特征、大数定律和中心极限定理等内容；数理统计主要有参数估计、假设检验、因子分析、方差分析和回归分析等内容[1-2]。这些内容（特别是数理统计部分）因其概念多且抽象、公式繁杂而难以理解，学生的学习热情往往不高[3]。2020年初新冠疫情暴发后，传统教学模式受到了极大挑战，各种在线学习和教学平台便为传统教学模式的改革提供了契机[4-5]。引导学生充分利用线上资源自主学习“概率论与数理统计”课程，提高教学质量和效率，培养基本功扎实、具有较强创新意识和动手能力的新世纪人才是广大教师极为关切的问题[6-7]。

1 “概率论与数理统计”课程教学状况

受课时和先修课程的限制，“概率论与数理统计”课程教学中主要存在以下问题：一是教学内容重推理轻应用，致使许多学生学习积极性不高，理论知识不扎实，或者只懂某些理论而无法解决实际问题。二是教学手段滞后，数理统计的规律往往是通过大量的重复实验归纳出来的，但是现有教学手段不能很好地展示数据的统计规律。三是教学模式单一，没有及时运用先进的科技手段，无法突出学生在教学过程中的主体地位。四是考核模式单一，期末考试成绩占有绝对地位，部分学生通过期末刷题来提高考试成绩，忽略了创新思维能力和动手能力的养成。

“概率论与数理统计”是一门应用性很强的课程，只有学以致用才能激发学生学习的兴趣，但是现有教材中的例题与现实问题所需要的数据量相比差别很大，仅仅依靠手算无法解决实际问题。随着科学技术的发展，数学软件技术日趋成熟，MATLAB、Minitab等软件已在科研和教学中得到较好应用，这类软件可以很好地将教学内容形象化和具体化，能够将基础知识、问题建模和计算机技术融合在一起，提高学生的创新能力，培养其探索未知知识的意识。

在现有的教学平台中，大学MOOC平台有丰富的教学资源，如何充分地利用好这些资源也是现在老师在教学过程中需要注意的问题。雨课堂和钉钉平台可以通过留言、签到等功能加强教师与学生之间的互动，提高学生的参与度。雨课堂的在线测试功能可以很方便地在每章节结束后进行随堂测试，及时总结发现课堂教学中存在的问题。钉钉有较强的作业提交和资源发布功能，能够提醒学生及时查阅相关资料和按时提交作业，督促学生保质保量地完成学习任务，及时反馈学习情况。

综上所述，进一步整合网络资源，借助数学软件和学习平台进行线上线下混合教学，培养学生的自学和创新能力十分必要。

2 “概率论与数理统计”课程教学模式的改革与实践

在教学实践中，我们所进行的教学模式改革与实践主要集中在以下3个方面：教学方式、课堂设计和考核方式。

2.1 教学方式

我们所采用的教学方式主要是以案例作为问题驱动切入点的案例教学法。具体做法是根据教学内容，将贴近生活并有一定挑战性的问题提练为教学案例，利用MATLAB和excel展示数据特征，与学生一起探究解决问题的方法，引导学生深度思考，加深对相关内容的理解。

基于问题驱动的线上线下混合模式的教学方式主要分为3个阶段。

第1阶段是课前准备阶段，即预习阶段，一般提前1天把相关的MOOC资源通过钉钉发布到班级，提出与授课内容相关的具体案例，引发学生的思考，使之对将要学习的内容有大致的了解。

第2阶段是课堂教学阶段，是教学的重点，决定着教学效果的成败。在该阶段，首先提出以实际生活为背景的具体案例，由此激发学生对此问题的思考，并通过MATLAB软件直观展示与实际问题所对应的数据，引导学生发现数据背后的规律，探寻解决问题的思路，和学生一起归纳出有关数理统计的概念。其次在提出相关概念的基础上，引导学生发现解决实际问题的方法，并对相关教学内容进行归纳总结。最后通过雨课堂的在线测试，分析学生掌握各知识点的情况，对掌握薄弱的地方进行强化讲解。

第3阶段是巩固拓展阶段，根据学生掌握的情况分层次进行巩固与拓展训练。对于程度一般的同学，只要求他们完成基本教学内容的作业即可；而对于学有余力的同学，则通过发布相关学科的前沿资料和待解决的问题，开拓他们的思路，提高他们的自主学习和创新能力。

2.2 课堂设计

基于问题驱动的线上线下混合教学模式，主要根据具体的案例提出问题，然后借助MATLAB或者excel软件分析数据，引导学生找出相关概念和解决方案，以期取得较好的教学效果。下面就以线性回归的有关概念为例设计课堂教学过程。该教学案例总共分为6个步骤，主要包括提出问题、分析问题、解决问题、总结问题、拓展问题和随堂测试等6个方面。

第1步是提出问题部分。与线性回归相关的教学案例有车辆堵塞问题，如研究堵塞时间（y）和车辆数（x）之间的关系。某地段的车辆与堵塞时间（min）数据如表1所示。

表1 某地段车辆数与堵塞时间表

第2步是借助数学软件分析相关数据。首先利用MATLAB软件给出车辆数和堵塞时间的散点图（图1），引导学生从中发现堵塞时间与车辆数之间既存在线性关系，而又无一条可以使所有点都落在其上的直线，由此提出本节的问题：能不能寻找一条直线，使得所有已知点到其距离的平方和最小？如何表示点到直线的距离？还有没有其他的解决途径？在这一步中，要启发学生大胆提出解决问题的方案，一一进行分析，逐步引导学生找到解决此问题的最小二乘法。

图1 车辆数与阻塞时间数据散点图

第3步是确定解决问题方案阶段。引导学生发现数据点总是在目标直线的上下两侧随机波动，该波动可以通过点与目标直线方程的误差来描述。启发学生认识到，由于误差的不确定性，误差的分布与期望为0呈正态分布。在此基础上，设堵塞时间为y、车辆数为x的线性函数：y=β0+β1x+ε，即建立简单的线性回归模型，其中ε表示随机误差。建立线性回归方程后，可以引导学生归纳出线性回归的基本概念，然后提出本节重点讲解的内容：如何求解回归方程的系数。

第4步是解决问题阶段，教学重点是探索回归方程中参数的求法和统计意义。通过图2图像的展示，引导学生找到一个较好的标准来评价所选直线的好坏，由此得出选择最优直线参数的函数极值模型：

利用前期的最小二乘法，由公式（1）的正定方程求得参数 β0,β1的具体表达式：

在此基础上探索出两参数的几何意义：分别代表直线的斜率和截距。主要的知识点讲解完成后，需要对本节课有关线性回归的知识点进行归纳总结，到此为止，有关线性回归的基本教学目标已完成。

第5步是拓展阶段，主要利用补充线性回归的MATLAB实现方式，通过软件直观展示，使学生不仅能理解线性回归的理论，而且能利用软件解决实际问题。先是介绍在MATLAB中有关实现回归分析的函数和其相关用法，其中包括求解回归系数的函数regress和做残差分析的rcoplot函数。然后向学生展示通过MATLAB求解具体案例的过程。通过regress函数得到的线性回归方程为y=0.003 1x，告诉学生通过决定系数的取值判断所得线性回归方程的好坏，在此实际问题中模型所得的决定系数R2=0.81，从数据上可以做出接受此回归方程的决定。为了更好地展示该问题的求解结果，可以引导学生通过原始数据散点图、回归曲线对比图与残差图（图2、图3）来直观展示所建线性回归方程的求解结果，使对该案例的分析和求解更丰富。

图2 数据散点图和回归直线对比图

图3 回归方程残差图

通过MATLAB对具体案例的求解，不仅使学生掌握求解回归模型的方法，而且可以解决有关车辆堵塞的实际问题。更进一步地，可以对相关内容进行拓展，启发学生利用所建回归模型进行预测，得到不同车辆数对应的阻塞时间。通过MATLAB软件的拓展，不仅能使学生较好地掌握基本知识点，而且培养了学生用数学软件辅助解决实际问题的能力。在本阶段的教学过程中，充分发挥了学生的主观能动性，提高了学生解决实际问题的热情和探索未知领域的能力。

第6步是课堂教学效果的评价阶段。通过设计与本节内容相关的小问题进行随堂测试，根据测试情况对章节内容进行重点讲解和小结。

2.3 考核方式

课程考核方式是评价教师教学效果和学生知识点掌握情况的重要手段，科学合理的考核方式可以极大地激发学生的学习热情。为了弥补传统期末考试“一锤定音”考核模式的不足，可以采用过程化的考核方式，提高平时成绩的比例（提高到50%），激发学生平时学习的兴趣，减少考前刷题现象。为了比较好地评价学生学习效果，在平时成绩中增加课堂讨论、章节思维导图和撰写课程论文等内容，具体分配比例为课堂讨论占10%，课后作业占10%，章节知识点思维导图占10%，撰写小论文（研究报告）占20%。在这些平时成绩考查项目中，课堂讨论可以保障在教学过程中学生的主体地位，提高学生的课堂参与度。章节思维导图可以督促学生对各章知识点进行归纳，找出各章节之间的逻辑关系。撰写课程论文过程不仅锻炼了学生借助MATLAB软件分析问题的能力，而且鼓励学生独立探索前沿知识，不断激发和培养学生学习的主动性和自主创新潜力。通过增加这些项目的考核，可以极大地激发学生在课程学习过程中的积极性和主动性，有利于学生综合素质的提高。

3 结束语

基于问题驱动的线上线下混合教学模式，可以极大减轻学生对“概率论与数理统计”课程内容的恐惧感，激发学习的热情和兴趣。引入与教学内容相关的具体案例，可以极大地提高学生学习的兴趣，培养学生分析问题解决问题的能力。借助MATLAB软件对数据进行直观展示，使教学内容和过程更加生动。通过该教学模式的探索和实际，可以弥补传统的教学方式的不足，提高教学效果。