伏安法测电阻实验的改进及误差分析

张晓燕，牛中明，谌正艮，李 刚

（安徽大学物理与材料科学学院，合肥230601）

电阻是电学中的基本物理量，其测量方法有很多，如伏安法和电桥法等[1]。相比其他方法，伏安法测电阻实验电路简单，使用方便，是一种广泛采用的电阻测量方法。该方法利用欧姆定律估算电阻的阻值，因此有助于加深学生对欧姆定律的认识，已成为物理教学中的基本电学实验之一。

在伏安法测电阻实验中，利用电压表测出待测电阻两端的电压值U，电流表测出流过待测电阻的电流值I，利用欧姆定律R=U/I求出待测电阻的阻值R。但在实际测量电路中，按电流表的接线位置，分为内接法和外接法两种方式，实验电路如图1所示。对于内接法，电流表测出流过待测电阻的电流I，而电压表给出待测电阻和电流表串联后的总电压UR+UA；对于外接法，电压表测出待测电阻两端的电压U，而电流表给出待测电阻和电压表并联后的总电流IR+IV。因此，内外接法的测量值分别为电阻和电流表内阻之和R+RA，以及电阻和电压表内阻并联值R·RV/(R+RV)。在电表内阻未知的情况下，其对测量结果的影响不可避免，由此导致的误差称为系统误差。因此，为了减小电表内阻对结果的影响，当待测电阻阻值较大时，一般采用内接法；当待测电阻阻值较小时，一般采用外接法。对于较大较小的标准以及误差分析，也进行了详细的通论，有很多评判标准[2]。

图1 伏安法测电阻电路图（左右图分别对应内接法和外接法）

为了避免电表内阻对测量结果的影响，已提出电桥平衡法、电路补偿法和等效替代法等，并基于这些方法，详细讨论了如何减小电阻测量的系统误差[3]。然而，这些方法的测量电路一般较为复杂，实验操作也相对困难。本文将提出一种不增加测量电路复杂度便可消除电表内阻影响的新方法，并利用Origin软件进行数据分析，估算待测电阻的阻值及其不确定性，最后通过与标准值进行对比以验证方法的可靠性。

1 实验原理

设待测电阻、电流表内阻和电压表内阻分别用R、RA和RV表示，由上面的讨论可知，内接和外接法得到的电阻测量值Ri和Re分别为

如果实验中采用内接和外接法测量两个电阻R1和R2的阻值，由公式（1）和（2）可得

其中，R1i和R1e（R2i和R2e）分别为采用内接和外接法得到的电阻R1（R2）的测量值，可以由实验测量的U-I数据确定。由公式（3），即可消除电表内阻对测量阻值的影响，得到被测电阻的阻值

其中 δi=R2i-R1i，δe=R2e-R1e.

2 结果

为了验证新提出方法的可靠性，本实验将采用标准值为100 Ω和200 Ω的电阻进行测量。实验所使用电源的输出电压为8 V，电流表和电压表的准确度等级均是0.5，量程分别为75 mA和7.5 V，因此，测量电流和电压的仪器误差限分别为0.375 mA和0.037 5 V。

实验中，调节滑动变阻器，改变被测电阻两端电压，采用内接法和外接法对两只待测电阻各测量30组U-I数据，图2给出了100 Ω电阻（上图）和200 Ω电阻（下图）对应的内接和外接法的伏安特性曲线。

图2 内接和外接法测量的100 Ω电阻和200 Ω电阻的伏安特性曲线

为了比较各种方法的可靠性，图3给出了各种方法得到的电阻测量值与标准值之差。因电表内阻未知，图中内接和外接法的测量误差仅包括统计误差，未考虑系统误差。

图3 不同方法得到的电阻测量值与标准值之差

从图3可见，内接法在误差范围内与标准值相吻合，而外接法的结果与标准值相差较大，即使在3倍的误差范围内都无法与标准值吻合，这说明本实验所采用的两个待测电阻的阻值都相对较大，使用外接法会引起很大的系统误差。与此相比，使用本文提出的新方法，可以消除系统误差的影响，最终结果与标准值非常接近。尽管该方法估算的误差比内接和外接法略大，但是由于已经消除了电表内阻的影响，并按照误差传递公式估算了所有测量误差对最终结果误差的贡献，因此给出了更为全面的误差估计，测量结果在误差范围内与标准值完全吻合。

3 结论

伏安法测电阻实验的测量结果会受到电表内阻的影响，甚至造成较大误差，从而影响伏安法测量电阻的可靠性。本文提出了一种不增加测量电路复杂度便可消除电表内阻影响的新方法，采用标准值为100 Ω和200 Ω的电阻进行测试，利用Origin软件进行数据分析，估算了待测电阻的阻值及其不确定性。结果发现，测量结果在误差范围内与标准值完全吻合，验证了该方法的可靠性。