X滑移型负泊松比结构设计及特性分析

范启东，黄 斌，姚子辉，钟俊炜

（佛山科学技术学院机电工程与自动化学院 广东 佛山 528225）

1 引言

负泊松比材料由于具有不同于普通材料的物理性能，在超材料中扮演重要角色，对航空航天、半导体器件、光学元件、精密仪器以及建筑材料等领域发展具有重大意义[1]。经典弹性理论已经提出了负泊松比材料存在的可能性[2]，而且早期研究也发现某些天然材料存在负泊松比特性，Love[3]在1944年首次证明了黄铁矿晶体存在负泊松比特性。Baughman等[4]发现负泊松比特性是许多立方体结构金属的共同特征，而Keskar等[5]和Wang等[6]分别发现α方晶石和二维结构的δ磷也具备负泊松比特性。另外，在生物组织上，松质骨骼[7]、猫皮肤[8]、奶牛乳头皮肤[9]等都存在负泊松比特性。除了生物组织以外，细胞也同样存在负泊松比行为，如红细胞的细胞骨架[10]。利用体细胞负泊松比特性，Yan[11]制造了用于预测多能干细胞神经元细胞分化的各种负泊松比聚氨酯支架模型。

目前，大多数负泊松比材料是通过人工设计制造，其主要实现方式是利用材料内部结构变形以实现材料的负泊松比特性，典型的变形机理可以分为内凹结构、旋转刚体结构、手性/反手性结构、纤维/节点结构、折纸结构、褶皱结构、屈服-诱导结构以及其他结构等[12]。从本质而言，人工负泊松比结构是利用胞元内部的空隙隐藏体积，在特定的条件下释放，形成负泊松比。大多数人工负泊松比结构材料的实现方式是采用类似于铰链结构，利用材料转动变形产生负泊松比特性。但是铰链结构并非是机械结构上的铰链，而是利用材料变形产生位移达到铰链效果，这样对材料性质以及几何尺寸的要求非常高，而且对脆性材料非常不友好。

由于大多数人工负泊松比结构材料采用机械结构中的铰链实现拉胀特性，而铰链在机构学又是转动副的典型代表，因此有理由相信机构学里面的其他运动副也可以实现负泊松比结构。Ravirala等[13]在核反应堆的石墨砖结构提出了联锁六边形模型，当受拉伸时，会产生负泊松比效应。联锁六边形结构由多个六边形刚体组成，相邻两刚体互相扣接，形成锁结，这种互扣锁结，与机构学中的移动副结构，说明了利用机构学中的运动副，可以设计出负泊松比结构。

2 滑移型联锁结构设计

为验证以运动副方式获得负泊松比结构的可行性，本文从日常生活中的伸缩吸管中找到参考。伸缩吸管在拉伸过程中由于吸管壁上下层之间发生了相对转动，呈现了轴向拉长、径向收缩的正泊松比特性（图1a）。假设吸管的拉伸不是靠转动，而是由吸管壁间的滑动来实现，在保持吸管最小直径时，伸缩吸管将呈现负泊松比特性（图1b）。

图1 伸缩吸管的拉伸状态

实际上，吸管壁的环状结构会限制吸管上下移动，难以在现实中达到拉胀的效果。假设吸管壁是平面二维的，将不受环形的约束；进一步假设两个吸管并肩放置，将会呈现X型的结构（图2a）。考虑到人工负泊松比材料多为以多个相同胞元组合的结构材料，将该X结构提取作为结构材料的滑移胞元（图2b）并以移动副方式组成网格（图2c）。进一步观察，可以发现该胞元组成的网格可能具备滑移拉胀特性（图2d）。

图2 X滑移结构的设计过程

但该X滑移胞元仅为个体胞元，尚未能实现胞元间的连接，需对该X滑移胞元进行进一步改良。图3为X滑移胞元的改进过程，在X滑移胞元臂上添加槽和倒钩，利用槽和倒钩与其他X滑移胞元臂以移动副方式结合；在此基础上，利用弹簧连接X滑移胞元臂，并形成X滑移胞元间的形状联锁。图4所示为2×3构型X滑移胞元网格，在受到外部拉力的作用下，网格呈现拉胀的负泊松比特性。

图3 X滑移胞元的改进过程

图4 X滑移胞元网格的拉胀特性

3 X滑移胞元特性分析

因X滑移胞元为对称结构，对其理论分析可以集中在胞元的一条结构臂上，见图5。假设胞元臂长为O1A=c，AB=2t，BC=d，臂宽为t，胞元之间的移动距离为m，胞元臂与水平方向夹角为θ。

图5 X滑移胞元的参数设置

根据图5 建立x及y方向的长度方程：

化简得：

由图5可知，在受外部载荷后，其伸长量均与γ有关，因此由式（2）可推导出x及y方向的在受外部载荷后的伸长量：

化简得：

因此，x及y方向的应变为：

则X滑移胞元的泊松比为：

由X滑移胞元结构可知，夹角θ的取值范围从0°～90°，当θ在（0°，90°）时，由于c和t均为正数，μ恒为负值。因此，胞元结构为负泊松比结构，以该胞元组成的复合材料为负泊松比材料。当θ为90°时，cosθ为0，第二项为无穷，在这种情况下，胞元则呈现零泊松比特性。另外，式（6）显示，调整臂长/臂宽的比值也会影响泊松比的大小。

在此基础上，利用SolidWorks对胞元结构进行修改， 如将两个X滑移胞元进行正交组合或将X滑移胞元弯曲，可以得到空间X型胞元结构，见图6，将空间X型胞元结构组合可以得到空间负泊松比结构，见图7。

图6 空间型X滑移胞元

图7 空间型负泊松比结构

5 结语

本文提出X滑移胞元结构，并在此基础上分析了该胞元的结构特性。分析结果显示，X滑移胞元结构的胞元臂与水平夹角θ在(0°，90°)时有负泊松比结构的特性，当θ为90°时，胞元则呈现零泊松比特性。通过调整臂长/臂款的比值也会影响泊松比的具体大小。另外，通过整合X滑移胞元的几何结构，可以得到不同的空间负泊松比结构材料。