关于交换环上保持行列式的函数

戴娇凤，谭宜家(福州大学 数学与统计学院，福州 350108)

保持问题是矩阵代数中的重要研究内容之一，它在系统控制、微分方程等领域有着广泛的应用.1897年，Frobnius 研究了域上矩阵空间保持行列式的线性算子，得到了n×n复矩阵空间上保持行列式的线性映射的形式[1].之后，众多学者对保持问题的相关内容进行了研究，取得了丰富的研究成果[2-9].2011年，Yao等[10]研究了保持矩阵某些性质的函数，开辟了保持问题的一个新的方向.2019年，樊玉环和袁海燕[11]刻画了域上全矩阵空间中保持逆矩阵的函数的形式,随后,文献[12]探讨了整环上全矩阵空间和上三角矩阵空间中保持逆矩阵的函数，将文献[11]的结论拓广到整环上. 本文在上述基础上进一步探讨一般交换环上上三角矩阵空间、对称矩阵空间以及全矩阵空间中保持行列式的函数，获得了这三个矩阵空间中保持行列式的函数的形式.所得结果拓广与改进了文献[13]的结论.由于一般交换环中有零因子并且非零元不一定可逆，本文的结论和证明与文献[13]有所不同.

1 基本概念与符号

本文中, 如无特别说明,R表示一个含有单位元1的交换环.

设R是一个给定的环.我们用Mn(R)表示R上所有n阶矩阵的全体，Tn(R)表示R上所有n阶上三角矩阵的全体，Sn(R)表示R上所有n阶对称矩阵的全体.设f是R到自身的一个映射，对于任意A=(aij)∈Mn(R)，我们定义f(A)=(f(aij)).

定义1.1 设f是R到自身的一个映射，如果∀a、b∈R，均有f(a+b)=f(a)+f(b)，f(ab)=f(a)f(b)，则称f是环R的一个自同态.

定义1.2[14]设A=(aij)∈Mn(R)，定义A的行列式如下

这里Sn是集合{1, 2, …,n}的对称群，π(σ)是置换σ的逆序数.

定义1.3 设f是R到自身的一个映射，如果∀A∈Mn(R)(或∀A∈Tn(R)、∀A∈Sn(R))，映射A→f(A)=(f(aij))保持行列式，即det(f(A))=f(detA), 则称f为R上n阶全矩阵空间(或n阶上三角矩阵空间、n阶对称矩阵空间)中保持行列式的函数.

2 上三角矩阵空间中保持行列式的函数

定理2.1 设f是R到自身的一个映射，n(n≥2)是一个整数，则下列条件等价.

1)f是R上n阶上三角矩阵空间Tn(R)中保持行列式的函数；

2)f=f(1)δ，其中f(0)=0，f(1)n=f(1)，δ满足δ(xy)=δ(x)δ(y).

证明：1)⟹2)首先，取A=O∈Tn(R)，则有detA=0.因为函数f保持行列式，所以0=det(f(A))=f(detA)=f(0)，从而可得

f(0)=0

(1)

f(1)n-2f(x)f(y)=f(xy)

(2)

在式(2)中令y=1,得

f(1)n-1f(x)=f(x)

(3)

在式(3)中令x=1,得

f(1)n=f(1)

(4)

现令δ=f(1)n-2f，则由式(3)知f(x)=f(1)(f(1)n-2f(x) )=f(1)δ(x),即f=f(1)δ.

再由式(2)得f(1)n-2f(x)f(1)n-2f(y)=f(1)n-2f(xy)，即δ(xy)=δ(x)δ(y).

2)⟹1)：假设f=f(1)δ，其中f(0)=0，f(1)n=f(1)，δ满足δ(xy)=δ(x)δ(y).那么∀A∈Tn(R)，设

则detA=a11a22a33…ann，而

所以

det(f(A))=f(a11)f(a22)f(a33)…f(ann)=

f(1)δ(a11)f(1)δ(a22)f(1)δ(a33)…f(1)δ(ann)=

f(1)nδ(a11)δ(a22)δ(a33)…δ(ann)=

f(1)δ(a11a22a33…ann)(因为f(1)n=f(1))=

f(a11a22a33…ann)=f(detA).

证毕.

在定理2.1中, 当R是一个域时,如果f(1)=0, 那么f(x)≡0；如果f(1)≠0, 那么f(1)n-1=1.于是,我们有

推论 2.1[13]设F是域，f是F到自身的一个映射，那么f是Tn(F)中保持行列式的函数的充要条件是下列之一成立：(1)f≡0；(2)f=cδ，其中cn-1=1，δ满足δ(xy)=δ(x)δ(y).

3 对称矩阵空间和全矩阵空间中保持行列式的函数

定理3.1 设f是R到自身的一个映射，n(n≥3)是一个整数，则下列条件等价.

1)f是R上n阶对称矩阵空间Sn(R)中保持行列式的函数；

2)f是R上n阶全矩阵空间Mn(R)中保持行列式的函数；

3)f=f(1)δ，其中f(1)n=f(1)，δ是R上的非零自同态.

证明1)⟹3)：先取A=O∈Sn(R)，则有detA=0，因为函数f保持行列式，所以 0=det(f(A))=f(detA)=f(0)，从而可得

f(0)=0

(5)

由det(f(B))=f(detB)，计算得

f(1)n-3(f(x)f(-y)f(-z)-f(-y)f(v)2-

f(-z)f(u)2)=f(xyz+yv2+zu2)

(6)

在式(6)中，令x=0，u=v=1，可得

-f(1)n-1f(-y) -f(1)n-1f(-z)=f(y+z)

(7)

在式(7)中取z=0和y=0, 分别可得

-f(1)n-1f(-y)=f(y)

(8)

-f(1)n-1f(-z)=f(z)

(9)

将式(8)、(9)代入式(7)得

f(y+z)=f(y)+f(z)

(10)

在式(10)中 令y+z=0，得z=-y，同时0=f(0)=f(y+z)=f(y)+f(z),所以

f(-y)=-f(y)

(11)

将式(11)代入式(8)得

f(1)n-1f(y)=f(y)

(12)

在式(12)中令y=1，可得

f(1)n=f(1)

(13)

又在式(6)中，令z=1,u=v=0，可得

f(1)n-3f(x)f(-y)f(-1)=f(xy)

(14)

利用式(11)，式(14)变为

f(1)n-2f(x)f(y)=f(xy)

(15)

如果f(1)≠0，令δ=f(1)n-2f，则由式(12)得f(y)=f(1)(f(1)n-2f(y) )=f(1)δ(y),即f=f(1)δ,因此δ(1)≠0.进一步,在式(10)中令z=x并在两边同乘f(1)n-2,可得δ(x+y)=δ(x)+δ(y)，再在式(15)两边同乘f(1)n-2可得δ(xy)=δ(x)δ(y)，所以δ是R的非零自同态.

如果f(1)=0，则对于任意x∈R，均有f(x)=f(1)n-1f(x)=0，此时任取R的一个非零自同态δ，均有f=f(1)δ.

3)⟹2)：设f=f(1)δ，其中f(1)n=f(1)，δ是R上的非零自同态，那么，对于任意x∈R,均有δ(-x)=-δ(x).因此，对于任意A=(aij)∈Mn(R)，有

f(detA)=f(1)δ(detA)=

2)⟹1)：显然.证毕.

由于任何域是交换环，并且域上任何非零自同态均为单自同态，所以由定理3.1的1)和3)可得：

推论3. 1 设F是任意域，f是F到自身的一个映射,n(n≥3)是一个整数，则f是Sn(F)中保持行列式的函数的充要条件是f=f(1)δ，其中fn(1)=f(1)，δ是域F的单自同态.