从一道八省联考题谈函数切线问题的求解

江苏省兴化市楚水实验学校 (225700) 袁小强

1.引例

(1)人教版《数学选择性必修第二册》第99页习题5.3第12题：利用函数单调性证明下列不等式，并通过函数图象直观验证：ex>1+x,x≠0.

本题要求通过函数图象直观验证，如图1，从函数图象上看，y=ex图象恒在y=x+1的上方，从而ex≥x+1，并且发现这两个函数相切于点(0,1)处，但是从不等式证明角度来看，严格的逻辑证明只能是从定义、定理公式、法则等出发，不能通过图象作为证明依据，于是通过构造函数h(x)=ex-x-1，利用研究导数单调性求出函数最值，从而解决问题，由h′(x)=ex-1，当x<1时，h′(x)<0，h(x)单调递减；当x>1时，h′(x)>0，h(x)单调递增.因此h(x)≥h(x)min=h(0)=0，因此不等式得证.

图1

(2)人教版《数学选择性必修第二册》第97页练习第1题：利用函数单调性证明下列不等式，并通过函数图象直观验证：sinx

显然该式可以推广到一般情况：sinx0)，sinx

图2

2.联考题及解答

例1 (2021八省模考22题)已知函数f(x)=ex-sinx-cosx，g(x)=ex+sinx+cosx.

(2)若g(x)≥2+ax，求a.

图3

(2)由g(0)=2发现函数g(x)过(0,2)，而y=2+ax也过(0,2)，两个函数有公共点，如图4，从图象上联想到可能是切线，也就是函数g(x)=ex+sinx+cosx在(0,2)处的切线就是y=ax+2，从而通过函数导数性质及零点存在性定理“小心求证”，从而掌握研究导数问题的一般方法：从“直观感知”到“推理论证”.

图4

2°、当x≥0时，令y=x+1-sinx-cosx≥x-sinx，令φ(x)=x-sinx，则φ′(x)=1-cosx≥0，从而φ(x)在(0,+∞)单调增，φ(x)≥φ(0)=0，于是x+1≥sinx-cosx；

(2)令G(x)=ex+sinx+cosx-2-ax，则G(0)=0.

1°、当a=2时，G(x)=ex+sinx+cosx-2-2x，则G′(x)=ex+cosx-sinx-2，G″(x)=ex-sinx-cosx≥0，于是G′(x)单调增，又G′(0)=0，从而G(x)在(-∞,0)单调减，在(0,+∞)单调增，G(x)≥G(0)=0成立，因此a=2；

综上a=2.

3.变式

变式1 (2020泉州模考题)已知函数f(x)=sinx，g(x)=2x2-1.

图5

解析：(1)F(x)的单调增区间为(0,+∞)，单调减区间为(-∞,0)(过程略).

综上，a≥-1.

1°、当a=0时，不等式恒成立，因此a=0；

4.结语

曲线的公切线问题一直是高考的热点，其中涉及证明、求值或求范围问题.此类问题研究对象在变，但思想方法不变，研究套路不变，精准地把握函数导数问题的切入点“切线”，才是解决导数问题的“王道”.研究两个函数(直线与曲线、曲线与曲线)之间的关系，借助切线(或公切线)这个纽带和桥梁，从而巧妙地转化为直线与曲线的关系，并用严格逻辑推理证明“猜想”.此类问题解题方向明确：一般是先找切线，再导数证明.导数搭台，切线唱戏，多题归一，从直观感知到推理论证，这样培养了学生的科学精神和创新意识，能引导学生感悟数学的科学价值、应用价值、审美价值，从而实现数学解题的育人价值.