转动系问题浅析

戴正宇

解决物理问题时，常常需要用到变换参考系以简化问题。但是，在选择转动参考系时常常容易出错。 本文则从转动系的坐标变换出发，推导出各个量在转动参考系中的变换式，厘清整个思路，并指出其中容易出现问题的地方。

1 转动系中的坐标变换以及导数变换

首先，简单起见，考虑二维转动系，角速度垂直于该平面，并假设两个参考系原点重合，且在t=0时刻两坐标轴重合。某一时刻两坐标系的位形如下图。

根据几何关系可以导出，同一矢量在两个系中的坐标满足如下坐标变换：

由此，我们得到了矢量导数的坐标变换式。是转动效果的体现。习惯上取t=0（亦即在观测时矢量在两个系中有相同的分量），则。（2）式就变为很多教材上讲述的“绝对导数和相对导数的关系”。

2 转动系中的线速度，线加速度的变换

在上一节我们已经得到矢量导数在两个坐标系之间的变换。这个矢量若是位矢，则导数变换式就是线速度变换式。

以上推导出了转动系之间速度，加速度的变换式。

应该强调的一点是：ω是原系相对于新系的角速度，而不是新系相对原系的角速度。这一点可以从第一节导数变换的推导中看出来。同时，v是相对于原系的速度，而不是相对新系的速度。这两点是在使用上面的公式时最容易出现的错误。

运动学中物体之间的加速运动具有对称性，但是在动力学中，由于惯性的存在，物体间的加速运动不再对称。不论是从S系换到S系还是从S系换到S系，一项总是向心的，若反向换系，牵连加速度却不完全反向，会不会导致不自洽？答案是否定的。我们来考察两次连续换系：从S系换到S系，再从S系换回到S系。

全部带入可得，这也是必然的。科里奥利加速度那一项中v与v‘的差异修正了一项一直向心带来的问题。最终没有出现不自洽。

现在把我们的问题做推广：1从二维到三维 2从原点不动到原点运动

我们已经把加速度变换式写成了矢量式，可以证明，三维情况下该矢量式仍然成立。其基本思想和以上所述是一样的，只是要用到更难的矩阵知识，此处便不再赘述。对于原点运动的转动系，我们可以换两次系：第一次是跟随原点运动的平动参考系，第二次是绕运动原点的转动系。相应的变换公式可以写成：

3 转动系中的角速度，角加速度的变换

几乎所有教材对于转动系的讨论到以上的（3）（4）（5）（6）式，便没有继续了，并未给出角速度，角加速度的变换。下面我们给出转动系中的角速度，角加速度的变换式。

角位移与线位移不同，它不是矢量，只有无限小角位移是矢量。因此，在推导角速度變换式的时候不可以套用（2）式。

以上便是角速度，角加速度变换式。弨弹弩式中的最后一项在二维情况下等于0（原因是Ω//ω）很多人并没有通过严格的推导得出角速度、角加速度的变换式，默认有和。这在二维情况下时正确的，但是在三维运动下，并不为0。这也是一个非常容易出错的地方，要引起重视。这里的ω时相对于原系的角速度，这和之前加速度变换式十分类似。

顺便一提，旋转系的原点的加速运动不会影响角速度，角加速度的变换式。

4 总结

我们首先采用一个新思路：从矩阵表述的坐标变换出发，导出了旋转系中矢量导数的变换，进而推出了线速度，线加速度的变换以及角速度，角加速度的变换;并以运动学的对称性为基础，验证了转动系变换理论的自洽性。

以上的讨论仅限于理论推导，应用于实际问题时把变换式当作结论即可，要想清楚每一个物理量的意义，切勿混为一谈。

参考文献：

[1] 舒幼生.力学（物理类）[M].北京：北京大学出版社，2005.

[2] 郑永令，贾起民.力学[M].3版.北京：高等教育出版社，2018.

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[6] 程稼夫.中学物理奥林匹克竞赛物理教程-力学篇[M].2版.合肥：中国科技大学出版社，2013.